羅爾定理應用中構造輔助函數的兩種方法

邱永利

【摘要】本文介紹了羅爾定理應用中構造輔助函數的兩種方法——導數法和常數法.

【關鍵詞】羅爾定理；輔助函數；構造

【項目】河套學院教學研究項目（HTXYJY16001）

微分中值定理是溝通導數值與函數值的橋梁，是利用導數的局部性質推斷函數整體性質的工具.羅爾定理是微分中值定理的基礎定理.在羅爾定理的應用過程中，構造輔助函數是重點，也是難點.構造輔助函數的方法很多，為了與教材同步，便于學生理解掌握，這里只介紹兩種輔助函數構造方法：導數法和常數法.

一、導數法

所謂導數法就是應用我們熟悉的導數知識構造輔助函數的方法.具體地，將要證明的結論中的ξ換為x，移項使結論變為f′（x）=0的形式，需要找到一個函數F（x），使其導數為f（x）或f（x）的一個因式.

情形1結論為ξf′（ξ）=λ的形式.

[f（x）-λlnx]′=f′（x）-λx=xf′（x）-λx，當[f（x）-λlnx]′x=ξ=0時，[xf′（x）-λ]x=ξ=0，可構造輔助函數F（x）=f（x）-λlnx.

例1設0

證明將待證結果變形為ξf′（ξ）=f（b）-f（a）lnb-lna，

設輔助函數F（x）=f（x）-f（b）-f（a）lnb-lnalnx，F（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，并且F（a）=F（b）=f（a）lnb-f（b）lnalnb-lna，由羅爾定理可知，在（a，b）內至少存在一點ξ，使得F′（ξ）=f′（ξ）-f（b）-f（a）（lnb-lna）ξ=0，即 f（b）-f（a）=ξf′（ξ）lnba.

情形2結論為nf（ξ）+ξf′（ξ）=0的形式[1].

[xnf（x）]′=nxn-1f（x）+xnf′（x）=xn-1[nf（x）+xf′（x）]，

當[xnf（x）]′x=ξ=0時，[nf（x）+xf′（x）]x=ξ=0（x≠0）.

可構造輔助函數F（x）=xnf（x）.

例2已知函數f（x）在閉區間[0，1]上連續，在開區間（0，1）內可導，且f（1）=0.

證明至少存在一點ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=-2f（ξ）ξ.

證明將結果變形為2f（ξ）+ξf′（ξ）=0，設輔助函數F（x）=x2f（x），F（x）在[0，1]上連續，在開區間（0，1）內可導，且F（0）=F（1）=0，由羅爾定理可知，

2f（ξ）+ξf′（ξ）=0，即f′（ξ）=-2f（ξ）ξ.

情形3結論為f′（ξ）+λf（ξ）=0的形式[1].

[eλxf（x）]′=λeλxf（x）+eλxf′（x）=eλx[λf（x）+f′（x）].

當[eλxf（x）]′x=ξ=0時，[λf（x）+f′（x）]x=ξ=0（eλx>0）.

可構造輔助函數F（x）=eλxf（x）.

例3已知函數f（x）在[0，a]上連續，在（0，a）內可導，且f（0）=f（a）=0.

證明至少存在一點ξ∈（0，a），使得f′（ξ）-2f（ξ）=0.

證明設輔助函數F（x）=e-2xf（x），顯然，F（x）在[0，a]上連續，在（0，a）內可導，且F（0）=F（a）=0，由羅爾定理知，在（0，a）內至少存在一點ξ，使得

F′（ξ）=-2e-2ξf（ξ）+e-2ξf′（ξ）=0，

e-2ξ[-2f（ξ）+f′（ξ）]=0，即f′（ξ）-2f（ξ）=0.

二、常數法

所謂常數法就是首先將結論變形，使常數部分分離出來并令其為常數k，然后通過恒等變形，使等式一端為a及 f（a）的代數式，另一端為b及f（b）的代數式，觀察關于端點的表達式是否為對稱式或輪換對稱式.若是，只需將a寫成x，f（a）改寫成f（x），換變量后的端點表達式即為輔助函數F（x）.

例4設a>0，b>0，試證存在ξ介于a，b之間，使得aeb-bea=（1-ξ）eξ（a-b）.

證明將結論變形為（1-ξ）eξ=aeb-beaa-b，

令aeb-beaa-b=k，

則eaa-ka=ebb-kb，設F（x）=exx-kx，顯然F（x）滿足羅爾定理條件，由羅爾定理可知，至少存在一點ξ介于a，b之間，使得F′（ξ）=ξeξ-（eξ-k）ξ2=0，

ξeξ-eξ+k=0，即aeb-bea=（1-ξ）eξ（a-b）.

【參考文獻】

[1]王蘭芳.例談中值定理應用中輔助函數的引入[J].高等數學研究，2011（1）：32-33.