從“動手”到“動腦”

黃芬+李連華

【摘要】在數學教學中，引導學生借助活動經驗展開數學想象，幫助學生真正實現知識的內化：在觀察比較中初步建立“平均分”的表象，在比較思辨中突出“平均分”的意義，在細節中精致“倍”的內涵，在分分圈圈中完善“平均分”的建構，在數學想象中內化“平均分”的內涵。

【關鍵詞】觀察 思辨 想象 操作 討論

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考。在教學中，我們不僅要創設讓學生動手操作的機會，更應當重視由“動手”向“動腦”轉變，切實促進學生由單純的操作經驗向相關知識的深刻理解轉變。鄭毓信說：我們所希望的就是由“動手”過渡到“動腦”，使學生將注意力由如何實際地完成相應的動作轉移到對其內在屬性的思考。結合蘇教版數學二年級下冊《認識平均分》的教學，談談如何引導學生從“動手”過渡到“動腦”，讓學生借助活動經驗展開數學想象，幫助學生真正實現知識的內化。

一、找準知識點，在觀察比較中初步建立“平均分”的表象

片段1：平均分的認識

師：同學們，你們看老師這里有6個桃子，準備把它們分成2份，可以怎么分？

生1：6個可以分成3個和3個。

生2：6個可以分成2個和4個。

生3：6個可以分成5個和1個。

根據學生的回答，師擺出各分法：

①○○○ ○○○

②○○ ○○○○

③○○○○○ ○

師：6個桃，如果分成三份，可以怎么分呢？

生：可以分成1個、1個、4個；可以分成1個、2個、3個；還可以分成2個、2個、2個。

根據學生的回答，師擺出各分法：

④○ ○ ○○○○

⑤○○ ○○ ○○

⑥○ ○○ ○○○

師：同學們，你們能想出這么多種分法，真是了不起！那你們覺得在這些分法中，哪些方法很公平？

生：第一種和第五種分法很公平！

師：大家同意嗎？（師取走其他的，剩下公平的）

師：同學們，為什么你們都覺得這樣分是公平的呢？

生：因為它們分得一樣多。

師：同學們的意思是它們每份都是一樣多，是吧？一起看一下！

師邊指邊問：第一份幾個？第二份呢？它們每份都是3個。（指問○○○ ○○○）

這里的第一份幾個？第二份呢？第三份？它們每份都是2個。（指問○○ ○○ ○○）

師：像這樣，每份分得同樣多。（板書：每份分得同樣多）分得很公平，就叫“平均分”。

（板書：平均分）

師：這種公平的分法叫什么？

生：平均分。

師：什么是平均分？再讓我們流利地說一遍。

5.揭題：今天我們就來認識平均分。

評析：

尤納斯指出：“在面臨各個特定的數學概念的教學任務時，數學教師應當仔細研究學生在日常生活中是否已經用到了這一概念，并努力弄清在日常概念與算法背后的不變因素。因此，在大多數情況下就只有通過對大量實例進行綜合分析，而不是單個實例的考察，我們才能順利地發現其中的共同成分，并由此引出相應的普遍性結論?！薄胺痔摇被顒邮菍W生熟悉的感興趣的活動，從學生已有的知識經驗出發，讓學生把6個桃不僅分成2份，還分成3份，在兩次動手分的基礎上，不僅讓學生對分的過程有了足夠的感知，而且為學習新知提供了足夠多的材料，再讓學生把剛才分的情況看一看、比一比，在比較的基礎上，引導學生對操作模式的共同屬性進行抽象概括，學生很快就從共同特征中抽象出“平均分”這個概念的本質屬性：每份分得同樣多叫平均分。

二、提供反例，在比較思辨中突出“平均分”的意義

片段2：手勢判斷

師：說說下面哪種分法是平均分，你認為是平均分的就用對的手勢，不是就用錯的手勢。

師分批出示圖片，學生手勢判斷：

師：你們為什么認為蘋果、松鼠不是平均分呢？

生1：因為它們分得不是一樣多。

生2：它們每份不一樣多。

師：同學們看，松鼠的第一組2只，第二組也是2只，是一樣多的呀，為什么它們不是平均分呢？

生：可是它們第三組有3只，平均分一定要每份都是一樣多才行！

師：明白了！雖然松鼠第一組和第二組是一樣多的，但是第三組不一樣多，也就是每份不一樣多，所以不是平均分。

評析：

所謂反例，就是故意變換事物的本質屬性，使之質變為其他事物，然后在引導思辨中，從反面突出事物的本質屬性，從而幫助學生準確深刻地理解概念?！稊祵W教學心理學》指出：在確認了事物的關鍵屬性，概括成概念以后，教師應該采取適當的措施，使學生認知結構中的新舊概念分化，以免新舊概念混淆，新概念被舊概念所湮滅。在上述片段中，學生對平均分的認識還是初步的，通過對一組組不同事物分法的比較與思辨，幫助學生從對錯誤的反省中引發對知識更為深刻的正面思考：平均分的時候每份都是一樣的，學生對平均分的認知就在這樣的思辨中再次被強化了。其中，教師對松鼠分法的追問：松鼠的第一份2只，第二份也是2只，這一樣多為什么不是平均分呢？讓學生進一步感知到平均分的特殊性：一定要每份都分得同樣多才是平均分，讓學生對概念的認識又深了一步，進一步加深了學生對平均分的認識。典型反例的恰當提供，不僅能突出概念的內涵，還可以對錯誤“防患于未然”，把將發生而未發生的錯誤消滅在了萌芽狀態，幫助學生建立了正確的概念意象。

三、界定概念要素，在細節中精致“倍”的內涵

片段3：“每份數”和“份數”

出示圖片：

師：同學們，都是把8個蘋果平均分，它們的分法一樣嗎？哪里不一樣？

生：他們的分法不一樣。第一排每一份是2個，下面每一份是4個。

師：是嗎？一起來看一看！第一份幾個？第二份？第三份？第四份？

生：2個，2個，2個，2個。

師：每一份都是2個，我們就說：每份2個。一起說一下?。ǔ鍪荆好糠?個）

師：分成幾份？

生：4份。

師：伸出小手一起來圈一圈，數一數！

師點課件圈畫，生伸出手指書空圈數。

師：確實是4份。（出示：分成4份）

師：下面一排蘋果每份幾個？分成幾份？

生：下面一排蘋果每份4個，分成2份。

師：是嗎？一起伸出小手數一數！

師點課件圈畫，生伸出手指書空圈數。

師：看來它們確實分得不一樣！雖然兩排蘋果都是平均分，但是第一排是每份2個，分成4份；第二排每份4個，分成2份。同學們，我們在看平均分時一定要看清每份幾個，分成幾份。

師：剛才你們認為五角星也是平均分，那你能說出：每份幾個，有幾份嗎？同桌互相說一說。

評析：

《數學教學心理學》指出：在數學學習中，概念精致的實質就是對概念的內涵與外延進行詳盡的“深加工”，對“概念要素”進行具體的界定，以使學生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，對概念的細節把握得更加準確，理解概念的各個方面，獲得概念的某些條件限制等。平均分這個概念涉及兩個要素，一個是每份數，另一個是份數，這兩個要素學生理解時很容易混淆，但這兩個要素對理解平均分很關鍵，而且對學生后續的數學學習也非常重要。為了幫助學生加深對這兩個要素的理解，教學到此停了停，用8個蘋果的兩種平均分設置問題情境：把8個蘋果平均分，這兩種分法一樣嗎？哪里不一樣？引起學生對平均分這兩個要素的關注，讓學生圈一圈、數一數、說一說，在細膩的引導下，讓學生清晰地建立了這兩個要素的表象，加深了對這兩個要素的理解，使學生對平均分的分法把握得更到位，認識也更到位了。

四、動手操作，在分分圈圈中完善“平均分”的建構

片段4：“每幾個一份”分一分

師：剛才我們不僅知道了平均分，而且還知道每份幾個，有幾份。那怎樣才能做到平均分呢？接下來，我們就一起來研究。

（貼板書：12根小棒，每2根一份，可以分成（ ）份）（讀題）

師：每2根一份，你想怎么分？

生：2根2根地分。

（一生板演，其余自己分）

師：他分得對嗎？一起數一數，分成幾份？

師：完整讀一讀題目。

師（小結）：12根小棒，每2根一份就是2根2根地分，可以分成6份。

師（再來考考你們）：

（課件出示：12根小棒，每3根一份，可以分成（ ）份）

（課件出示：12根小棒，每4根一份，可以分成（ ）份）

師：該怎么分呢？請同學們動手分一分。

（學生動手分）

師：說說你是怎么分的？分成了幾份？

師（小結）：像剛才那樣把12根小棒進行每幾個一份地分，就是我們今天要學習的內容。

片段5：“每幾個一份”圈一圈

師：同學真聰明！不僅認識了平均分，而且還會動手平均分了。獎勵你們一些餅干糖果。

課件出示：

師：現在要把它們平均分，但沒有餅干、巧克力、糖可以擺，你有沒有什么好方法，讓大家一眼就看出，你也是在平均分？

生1：可以用畫小豎線的方法。

生2：圈一圈。

師：都可以。今天我們就用這個圈一圈的方法，先圈一圈，再填一填。

（學生獨立完成練習，并交流）

師：生活中也經常會遇到平均分的問題呢！

課件出示：有8個桃，每個小朋友分2個桃，可以分給（ ）個小朋友。

師：每只小猴分2個桃是什么意思？就是怎么分？

生：每只小猴分2個桃就是每2個一份地分。

（學生圈分，交流）

評析：

著名心理學家皮亞杰說：“兒童的思維是從動作開始的，切斷動作與思維的聯系，思維就不能得到發展。”所以在小學數學教學中，教師應充分利用學具，加強學生的實踐操作，讓學生在學具操作中發揮潛力。學生在認知“平均分”這一概念時，讓學生多次動手分一分小棒，在動手操作中幫助學生建立平均分的表象，并及時推動學生分析、綜合、比較、抽象、概括，加深對平均分的認識。在此基礎上進一步讓學生對餅干等進行圈分，半具體半抽象的圈分促使學生思維又進了一步，對平均分的感知又深了一層，這樣的安排既符合低年級學生認知概念的心理，又促進學生的思維一步步深入，對平均分這個概念的認識也一步步加深?？梢?，學生的認知在操作中得到發展，又在操作中得以完善。

五、抽象概括，在數學想象中內化“平均分”的內涵

片段6：想象平均分

出示圖文題：有12個桃，每個小朋友分2個桃，可以分給（ ）個小朋友。

師：不分你能猜出分給幾個小朋友嗎？

生：6個。（個別學生反應很快）

師：到底是不是6人呢？一起圈一圈（課件演示：邊圈邊數，1次、2次……）

師：確實是6次。剛才還沒分，你怎么就知道是6次的呢？

生：每2個一份，就是2個2個地分，想幾個2是12，6個2是12。所以是6個小朋友。

師：是不是呢？一起來想：1個2，2個2……6個2，6個2就是12，所以拿6次。

出示無圖文字題：20個桃，每人4個，分給幾人？

師：這次沒有圖了，你能猜出分給幾人嗎？

生：5人。（有停頓，但是一會兒就有學生舉手了）

師：確定嗎？一起驗證一下！1個4是4，2個4是8……5個4是20，確實，20里面有5個4。可以分給5人。

課件出示：12個桃，每個小朋友分3個，可以分給幾個小朋友？教學過程同上。

評析：

通過讓學生有圖想象分驗證，再過渡到無圖想象分，一步一步地幫助學生內化平均分的認識，在一次次的驗證過程中，真正使“活動內化”，使學生從一個水平的認知提升到下一個水平，對平均分的認知也越來越清晰明朗。由此也激發了學生根據已有的知識經驗解決實際問題，通過想“12里面有（ ）個2”的方法來幫助解決實際問題，甚至有學生想到用乘法口訣來解決。這一個環節很好地幫助學生從具體形象思維過渡到了抽象思維，幫助學生把新知納入了他已有的知識結構中，把平均分這個概念與已有的概念建立了廣泛聯系，真正理解了平均分這個概念。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：3.

[2]曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2006：141.

[3]鄭毓信.小學數學概念與思維教學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014：53，58.

[4]王林.小學數學課程標準研究與實踐[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2011：8.