一道課本例題引發(fā)的反思與變式

黃淑珍

世界著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育大師荷蘭的弗賴登塔爾教授精辟指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”，“通過(guò)反思才能使（學(xué)生）的現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)化”。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：“教師應(yīng)注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，要不斷地運(yùn)用直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表現(xiàn)、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與構(gòu)建等思維過(guò)程。”課標(biāo)還指出，評(píng)價(jià)應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否能夠?qū)ψ约旱臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不斷進(jìn)行反思，能夠及時(shí)有效地調(diào)整學(xué)習(xí)方法。在此基礎(chǔ)上教師要合理地利用教材，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行教材整合，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠獨(dú)立自主地進(jìn)行觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、反思。教師要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究的空間。由此可見，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)反思能力是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。

著名教育學(xué)家顧泠沅先生有一句樸素而富有哲理的名言：“聽懂的東西做出來(lái)，做出來(lái)的東西說(shuō)出來(lái)。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何才能完成顧先生所提出的“聽懂—做出—說(shuō)出”的過(guò)程呢？顧泠沅教授提出了變式過(guò)程模式，它是實(shí)施課堂有效教學(xué)的有效手段。在新課程背景下數(shù)學(xué)變式問(wèn)題設(shè)計(jì)的實(shí)踐與研究，應(yīng)是課堂有效教學(xué)的策略和方法的優(yōu)先選項(xiàng)。

變式教學(xué)是廣大教師在課堂實(shí)踐中經(jīng)常使用的教學(xué)方式之一，變式、反思這兩個(gè)詞對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，但要做到在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生能自覺反思、主動(dòng)變式，還需要教師來(lái)培養(yǎng)。我通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐，探究如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思、變式，使學(xué)生逐步獲取核心要素，形成反思能力，把握概念、原理、性質(zhì)、問(wèn)題的本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的提高。我以一道課本例題為例，談?wù)勎以趯?shí)踐中的操作模式。

人教版A版教材選修1-1中2.3《拋物線定義及其幾何性質(zhì)》課本61頁(yè)例4：斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)。

結(jié)合橢圓、雙曲線時(shí)處理弦長(zhǎng)問(wèn)題的方法，引導(dǎo)學(xué)生一題多解，得到：

解法1：直接聯(lián)立方程，解出兩根，兩點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)距離公式求解；

解法2：聯(lián)立方程，得到一元二次方程，用弦長(zhǎng)公式求解；

解法3：聯(lián)立方程，得到一元二次方程，應(yīng)用拋物線定義AB=x1+x2+p求解。

通過(guò)一題多解，讓學(xué)生體會(huì)到應(yīng)用定義的幾何法的簡(jiǎn)便，引導(dǎo)學(xué)生反思：為什么可以應(yīng)用拋物線的定義。拋物線焦點(diǎn)弦這個(gè)公式能通用嗎？關(guān)注弦長(zhǎng)、坐標(biāo)變化，可以拓展得到第一系列的

變式。

變式1：經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F任作一條直線l與拋物線交于A（x1，y1）B（x2，y2）兩點(diǎn)，則AB=x1+x2+p。

變式2：x1x2=，y1y2=-p2

變式3：焦點(diǎn)弦的兩個(gè)焦半徑的關(guān)系+=；

變式4：以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

變式5：以AF及BF為直徑的圓與y軸相切；

變式6：分別作AA1垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)A1，BB1垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)B1，則∠A1FB1=90°；

變式7：BC∥x軸，則直線AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O；反之，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸。

變式8：過(guò)拋物線焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線互相垂直；

變式9：拋物線的準(zhǔn)線是其焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的切線的交點(diǎn)的

軌跡；

變式10：直線AB過(guò)點(diǎn)M（a，0），D在直線x=-a上且A，O，D三點(diǎn)共線，BC∥x軸，這三個(gè)條件中，以任兩個(gè)為條件，就能推導(dǎo)出第三個(gè)。

借助書本例題，我們通過(guò)反思、變式、拓展，解決了“拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題”，同時(shí)我們可以繼續(xù)改編課本例題，引導(dǎo)學(xué)生解決“拋物線的最值問(wèn)題”，得到第二系列的變式，如：

已知P為拋物線y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)。

變式1：求點(diǎn)P到點(diǎn)A（-1，1）的距離與點(diǎn)P到直線x=-1的距離之和的最小值；

變式2：若B（3，2），求PB+PF的最小值；

變式3：已知P為拋物線y2=2px（p>0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，B（3，2）為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，PB+PF的最小值為4，求拋物線方程；

變式4：則點(diǎn)P到直線x-y+3=0的距離的最小值為 ，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；

變式5：點(diǎn)P到直線l1∶x-y+3=0的距離為d1，點(diǎn)P到直線l2 x=

-1的距離為d2，則d1+d2的最小值是 ；其中準(zhǔn)線也可以換成平行于準(zhǔn)線的其他直線；

變式6：已知x，y實(shí)數(shù)滿足方程y2=4x，則函數(shù)z=的最值是多少？

變式7：點(diǎn)（x，y）在拋物線y2=4x上運(yùn)動(dòng)，求函數(shù)z=x-y的

最值。

變式8：已知P為拋物線y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A（-1，0）是一個(gè)定點(diǎn)，則的最小值是 ；

變式9：Q為圓x2+（y-4）2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是 ；

變式10：已知定長(zhǎng)為5的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離是 ；

變式11：已知定長(zhǎng)為5的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。

變式12：已知定長(zhǎng)為3的線段AB的兩端點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。

變式13：直線y=x+b被拋物線y2=4x截得的線段長(zhǎng)為5，求直線方程；

變式14：求直線y=x+b被拋物線y2=4x截得的線段中點(diǎn)的軌跡方程；

變式15：拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A、B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB=120°，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N，則的最大值是 ；

變式16：已知P為拋物線y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A（-2，0），

B（-4，0），求·取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；點(diǎn)Q（a，0）都滿足PQ≥a，則a的最大值為 ；

綜合以上變式，我們形成了數(shù)學(xué)命題系，構(gòu)建了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：如何應(yīng)用“將軍飲馬問(wèn)題”解決直線、橢圓、雙曲線、拋物線的最值問(wèn)題，圓錐曲線最值問(wèn)題有哪些類型和解法。

對(duì)于課本例題，可以引導(dǎo)學(xué)生從以下方面反思：（1）原題解法；（2）一題多解；（3）特殊性質(zhì)到一般規(guī)律；（4）改變題目條件；（5）變換數(shù)學(xué)語(yǔ)言；（6）題設(shè)與結(jié)論互換；（7）融合知識(shí)點(diǎn)變換題型；（8）類型題變式，多題通法。

每一步的反思聯(lián)想，都會(huì)有新的變式，每一次解決新的變式，我們應(yīng)該有進(jìn)一步的反思。反思、變式就這樣交替出現(xiàn)，問(wèn)題引領(lǐng)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，這樣的課堂就是一個(gè)無(wú)限延展無(wú)限發(fā)散的舞臺(tái)，學(xué)生的反思能力得到進(jìn)一步的提升，進(jìn)而思維品質(zhì)也得到

發(fā)展。

著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞曾形象的指出：“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個(gè)。”變式教學(xué)培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)反思能力，就是一題多用，一題多變，多題重組，借題發(fā)揮，讓學(xué)生理解新知把握本質(zhì)，主動(dòng)反思主動(dòng)變式，主動(dòng)聯(lián)想主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，使知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，從一個(gè)例題引出一系列問(wèn)題，提高課堂效率，讓學(xué)生思維得到充分的鍛煉和發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]紀(jì)宏偉.例習(xí)題教學(xué)中的變式教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2014（5）.

[2]楊光明.變式教學(xué)：提高數(shù)學(xué)課堂有效性的嘗試.中學(xué)數(shù)學(xué)參考，2009.

編輯 趙 強(qiáng)