淺析概念擴(kuò)張?jiān)谡麛?shù)指數(shù)冪中的應(yīng)用

李會(huì)思

【摘要】數(shù)學(xué)概念教學(xué)既是課堂教學(xué)的重要組成部分又是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心。概念擴(kuò)張又在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中極為常見(jiàn)，本文以概念擴(kuò)張?jiān)谡麛?shù)指數(shù)冪中的應(yīng)用為例進(jìn)行探析。旨在使學(xué)生經(jīng)歷整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)展的過(guò)程中，體會(huì)到一套新概念擴(kuò)張的研究方法。

【關(guān)鍵詞】整數(shù)指數(shù)冪 數(shù)學(xué)思考 學(xué)生參與度

【中圖分類號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）01-0240-02

整數(shù)指數(shù)冪是在正整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到自然數(shù)指數(shù)冪后的又一次擴(kuò)充，將指數(shù)的范圍擴(kuò)大到整數(shù)。旨在使學(xué)生在經(jīng)歷整數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)展的過(guò)程中，體會(huì)到一套新概念擴(kuò)張的研究方法。本節(jié)課是我們引導(dǎo)學(xué)生怎樣認(rèn)識(shí)、探索數(shù)學(xué)世界的一個(gè)很好的切入點(diǎn)。在教學(xué)設(shè)計(jì)方面的要求在指數(shù)概念和運(yùn)算性質(zhì)的擴(kuò)充過(guò)程中，注重知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，注重學(xué)生的思維參與度。下面基于A、B老師在授課中兩個(gè)重要環(huán)節(jié)進(jìn)行闡述分析： 一、如何由a0=1類比得出a-p=1/ap（其中a≠0，p是正整數(shù)）

A老師提出同底數(shù)冪相除的性質(zhì)在m、n是正整數(shù)，且m

B老師提問(wèn)同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)在m不大于n的情況下，還能否使用呢？計(jì)算a3÷a5。在a3÷a3 =a0=1（a≠0）提供了方法上參考的前提下，蘊(yùn)含類比的思想方法，由同底數(shù)冪除法法則可得a3÷a5=a3-5=a-2，由分式的基本性質(zhì)，約分可得a3÷a5=1/a2（a≠0），即a-2=1/a2（a≠0）。接著B(niǎo)老師為暗示學(xué)生思考數(shù)學(xué)問(wèn)題采取從特殊到一般的思想并提出：為了讓同底數(shù)冪除法的運(yùn)算性質(zhì)能夠適用于m

二、正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)的擴(kuò)展

A老師首先回顧正整數(shù)指數(shù)冪中同底數(shù)冪乘法、冪的乘方及積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)。然后提出問(wèn)題：現(xiàn)在我們已經(jīng)把指數(shù)擴(kuò)展到全體整數(shù)，那么正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)整數(shù)指數(shù)冪是否仍然成立呢？指數(shù)冪概念的擴(kuò)展并不能直接帶來(lái)冪運(yùn)算法則的擴(kuò)展，相反新的概念對(duì)原有的法則是否適用，是否帶來(lái)矛盾，是需要認(rèn)真對(duì)待的，在這里A老師仍采取從特殊到一般的思想，進(jìn)行舉例驗(yàn)算，A老師分析到學(xué)生的困難在于：一是不理解為什么對(duì)指數(shù)m、n取值要求及取值的多樣性。二是不知道檢驗(yàn)的方法。為化解難點(diǎn)，先由A老師板演一個(gè)具體的驗(yàn)算過(guò)程和方法，然后給了學(xué)生自由發(fā)揮的空間，以小組合作的方式，設(shè)置了一個(gè)自己舉例驗(yàn)算的小環(huán)節(jié)。A老師規(guī)定了哪個(gè)小組檢驗(yàn)?zāi)臈l運(yùn)算性質(zhì)。這樣既節(jié)省了時(shí)間又能讓學(xué)生在舉例驗(yàn)算的過(guò)程中感受法則推廣的推導(dǎo)過(guò)程，再次感受負(fù)整數(shù)指數(shù)冪規(guī)定的合理性。最后是學(xué)生示例環(huán)節(jié)，可以使學(xué)生通過(guò)比較，體會(huì)數(shù)據(jù)選取的多樣性及分類討論的數(shù)學(xué)思想，最后A老師提示學(xué)生：檢驗(yàn)不是嚴(yán)格的證明，慎重對(duì)待數(shù)學(xué)要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度。

B老師用活動(dòng)的方式檢驗(yàn)性質(zhì)，他先讓同學(xué)們看一下其它幾條性質(zhì)的限定條件中“正”字可以去掉嗎？然后選擇同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行驗(yàn)證。其活動(dòng)要求：1.類比同底數(shù)冪除法的研究過(guò)程，寫出幾個(gè)同底數(shù)冪乘法的算式，要注意指數(shù)的多樣性。2.先獨(dú)立思考，再小組合作，結(jié)合算式驗(yàn)證。B老師類比同底數(shù)冪除法運(yùn)算性質(zhì)的推廣，對(duì)同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行探究。學(xué)生根據(jù)活動(dòng)要求，通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流、匯報(bào)展示的方式，經(jīng)歷尋找研究素材、推理歸納的過(guò)程，進(jìn)而驗(yàn)證了性質(zhì)的正確性。對(duì)于其他幾條性質(zhì)，由于探究的方法十分相近，B老師說(shuō)明其正確性，并沒(méi)有讓學(xué)生逐一推導(dǎo)，采用課后思考完成。這樣設(shè)計(jì)既節(jié)省時(shí)間又提高了課堂的效率，同時(shí)也留白給學(xué)生，擴(kuò)大了學(xué)生思考的空間。

在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中新概念擴(kuò)張極為常見(jiàn)，整數(shù)指數(shù)冪的教學(xué)讓我們積累了一套新概念擴(kuò)張的研究方法。學(xué)生由問(wèn)題的引領(lǐng)一步一步的思考，掌握了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，提升了學(xué)生的思維參與度。為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，必須讓學(xué)生有實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思考。

參考文獻(xiàn)：

[1]張建躍.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J]數(shù)學(xué)通報(bào)，2006

[2]郝利華.猜想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]學(xué)術(shù)研究，2013