面向壓電智能結構精確變形的協同優化設計方法1)

吳曼喬 朱繼宏楊開科 張衛紅

(西北工業大學，航宇材料結構一體化與增材制造裝備技術國際聯合研究中心，西安710072)

面向壓電智能結構精確變形的協同優化設計方法1)

吳曼喬 朱繼宏2)楊開科 張衛紅

(西北工業大學，航宇材料結構一體化與增材制造裝備技術國際聯合研究中心，西安710072)

智能結構集智能材料與傳統材料于一體，能夠實現結構的主動控制，在航空航天等領域具有巨大的應用潛力.由于其系統復雜且具有多場耦合效應，智能結構的整體式優化設計方法成為結構控制技術研究的關鍵之一.為了提高壓電智能結構的整體性能和變形精度，提出了同時考慮壓電驅動器布局(分布位置及角度)和基體結構拓撲構型的協同優化設計新方法.采用多點約束方法(multi-point constraints,MPC)建立壓電驅動器和基體結構的連接，定義一種與測量點目標位移相關的權重函數，以實現結構的精確變形控制.通過協同優化設計，壓電驅動器可以獲得最優的分布位置及角度，同時基體結構獲得最優的拓撲構型，從而提升了壓電智能結構系統的整體驅動性能和變形精度.通過進一步分析，研究了精確變形、體分比約束與結構優化構型和整體剛度的關系，以及優化結果中可能存在的傳力路徑畸變現象.數值算例的設計結果表明，采用協同優化設計方法，能夠擴大結構的尋優空間，有效減小變形誤差，實現壓電智能結構的精確變形控制.

協同優化設計，壓電智能結構，精確變形，多點約束

引言

隨著科學技術，特別是航空航天技術的快速發展，人們對工業產品的性能要求越來越高，傳統的工業產品一旦制造為成品，便只能被動地接受環境變化的影響，難以針對環境做出適當的反應.智能結構經過20余年的發展，具有自我感知、適應性強等特點，在結構振動控制、質量檢測、變形控制等領域得到了廣泛應用[1-3].其中，結構變形控制在航天器、航空器中具有巨大的應用潛力[4-6].壓電智能材料具有體積小、響應時間短、頻率響應范圍廣、易于加工制造等優點，成為精確變形智能結構中最常使用的一種智能材料.

在結構靜力形狀控制的研究中，主要目的為減小實際形狀與預期形狀之間的誤差.大量學者以實際變形與預期變形間位移誤差的平方和最小為目標，采用不同算法對壓電智能結構系統的輸入電壓[7-11]、驅動器分布角度[12-13]及位置[1,14-16]分別進行了優化.在目前已有的靜力形狀控制設計方法中，通常只對輸入電壓、驅動器分布角度或位置中的單個因素進行研究，而忽略了多個因素之間的相互耦合關系.

結構拓撲優化作為一種先進的結構設計方法，在提高結構整體剛度、自然頻率等性能方面發揮了巨大的作用[17-19]，同時也被大量學者用于智能結構設計以實現預期的結構變形. 例如，Kgl等[20]提出了一種基于SIMP的PEMAP-P(piezoelectric material with penalization and polarization)壓電材料模型，通過序列線性規劃(sequential linear programming,SLP)優化壓電材料布局和極化方向，實現某一指定點的最大位移輸出.Kang等[21]以單通道輸入電壓為設計變量，采用移動漸近線法(method of moving asymptotes,MMA)，優化得到兩種變形模式下壓電材料的最優輸入電壓分布形式.Luo等[22]采用MIST(moving iso-surface threshold method)方法，對壓電驅動器在固定位置時的基體結構進行了拓撲優化設計，實現了兩種基礎變形控制，并與實驗結果進行了對比.

事實上，上述在靜力形狀控制方面的優化設計工作，主要針對基體結構固定時壓電驅動器/控制器位置、尺寸及控制參數的優化[8-9,11,13,15-16,23]，或者驅動器控制參數、位置、尺寸固定時基體結構材料的優化設計[20,22,24]，這兩類設計方法均未考慮智能結構系統中各因素內在的相互作用，因而限制了結構系統的整體性能.與此同時，因為在實際使用中壓電陶瓷易碎的特性，考慮多相材料包括壓電材料、電極材料和基體材料的拓撲優化[25-27]產生的復雜邊界加大了實際生產制造的難度.此外，Wang等[28]提出了一種用于智能柔性機構的協同優化方法，采用LSM(level set model)和IPDI(independent point-wise densityinterpolation)方法同時優化植入式特定形狀壓電片的位置和基體結構的材料分布.

面向壓電智能結構的精確變形控制，本文提出一種協同優化設計新方法(見圖1).

圖1 壓電智能結構協同優化示意圖Fig.1 Illustration of integrated layout and topology optimization design of piezoelectric smart structure

對具有常規外形的PZT(lead zirconate titanate)壓電驅動器分布位置、角度和基體材料拓撲同時進行優化設計，事實上拓展了優化設計的尋優空間，可以提升智能結構整體驅動性能.采用MPC(multi-point constraints)方法建立可動壓電驅動器和基體結構的連接；定義了一種基于測量點目標位移權重的形狀誤差函數，以實現更高精度的變形控制；應用Guo等[29-31]提出的有限包絡圓方法(finit circle method, FCM)近似描述壓電驅動器的外形輪廓，施加包絡圓距離約束防止壓電驅動器之間、驅動器與設計域外界的干涉.最終通過數值算例說明本文設計方法的有效性.

1 壓電材料電–力平衡方程

本文假設壓電智能結構的變形為線彈性小變形.壓電材料的本構關系可以用正壓電效應方程和逆壓電效應方程表示

式中，C,σ和ε分別為彈性張量、應力張量和總體應變張量；e,E,D和κ分別為壓電系數張量、電場強度矢量、電位移矢量和介電常數張量.

采用虛功原理[32]，式(1)的弱形式可以表示為

其中，f為體積力，p為施加在外力邊界Γt上的分布表面力；qc為表面電荷密度；u和?為位移和電勢，v和?為虛位移和虛電勢；Uad和Ψad為滿足位移邊界條件的位移場和電勢域.

有限元離散后，壓電材料電–力耦合方程可表示為

式中，Kuu，Ku?=K?u和K??分別為彈性剛度矩陣、壓電耦合矩陣和介電常數矩陣.U和?分別為節點位移和節點電勢矢量；F和Q分別為施加的外載荷和電荷矢量.

在本工作中，僅考慮逆壓電效應.在壓電片厚度方向施加恒定電場，假設電勢沿厚度方向線性變化，則相應的電場強度矢量為E=(0 0Ve/d)，其中Ve為施加的電壓大小，d為壓電片厚度.實際模型中，兩塊同樣形狀的壓電片對稱布置于平板的上下表面，施加大小相等且方向相反的驅動電壓，用于產生驅動彎矩，使懸臂板產生面外變形.結構模型如圖2所示.因壓電材料和基體結構間膠接層很薄，本文忽略了膠接層的厚度，假設壓電材料與基體結構之間為理想連接.

在施加恒定電場的情況下，壓電材料的電–力耦合關系可解耦為

其中，Fpzt=-Ku??是壓電材料受電場作用產生的驅動力.

圖2 壓電智能結構模型示意圖Fig.2 Schematic of piezoelectric smart structure

2 優化設計模型定義

2.1 基于多點約束的智能結構系統建模

MPC方法是有限元分析中用于建立連接約束的常用方法，如模擬鉚釘連接、螺栓連接以及膠接等[30].考慮到壓電材料和基體結構間膠接層很薄，本工作忽略了膠接層的剪切變形，采用MPC方法建立壓電材料與基體結構之間的連接.圖3給出了采用多點約束連接的簡化有限元模型.其中，淺色網格部分表示壓電驅動器，深色網格部分表示普通材料構成的基體結構.

圖3 MPC模擬壓電片與基體結構連接示意圖Fig.3 MPC connections to simulate bonding between piezoelectric actuators and host structure

在智能結構系統中，考慮MPC連接的平衡方程[29]可寫為

式中，H為由結構單元的形狀函數、多點約束位置和邊界條件共同決定的系數矩陣，λ為拉格朗日乘子向量.

2.2 形狀誤差函數

形狀控制的目標為最小化實際變形曲面與目標曲面的偏差，大量學者定義目標函數為測量點位移誤差的平方和[9,21-22]，表示為

式中ui和ai分別表示第i個測量點的實際位移與目標位移.這種定義方式是最小化測量點的實際位移與目標位移之差，然而對于具有不同目標位移的測量點，其精確變形控制效果在一定程度上取決于每個測量點位移所占權重的定義.本文提出一種與測量點目標位移相關的權重用于定義形狀誤差函數，表示如下

其中，wi為第i個測量點的位移權重，amax為測量點目標位移最大值.將測量點目標位移寫作列向量A=(a1a2...am)T，位移權重構成對角矩陣W=diag(w1w2...wm)，引入矩陣L，用于從整體位移向量U中提取測量點輸出位移分量，則式(7)可記為矩陣形式

以位移偏差?=ui-ai=0.1 mm，amax=1 mm為例，從表1可以看出，對于相同的位移偏差，形狀誤差函數式(7)、式(8)能很好地區分具有不同目標位移的測量點.然而之前的形狀誤差函數只取決于測量點實際位移與目標位移的偏差，因此采用此形狀誤差函數的協同優化設計能更好地實現各個測量點的精確變形控制.

表1 兩種形狀誤差函數的對比Table 1 Comparison of two shape error functions

2.3 優化模型

本工作的目標是得到能實現精確面外變形的壓電驅動器布局與基體結構拓撲構型.由于壓電驅動器產生的驅動力集中在其周圍，在協同優化過程中容易引起材料集中分布于壓電驅動器周圍的現象.為了解決這個問題，本工作通過添加面內虛擬力的方式引入一個剛度條件，如圖4所示.根據經典層合板理論，由于結構耦合剛度的存在，薄板存在拉彎耦合效應，但當多層薄板結構在幾何和材料性能上關于中面對稱時，耦合剛度矩陣為零，因而面內的虛擬力對面外目標變形不會產生任何影響.

本工作主要研究壓電智能結構中壓電驅動器布局和基體結構拓撲構型的協同優化設計，設計目標為智能結構整體柔順度最小，同時給定形狀誤差函數一個很小的上限δ.優化過程中，同時優化基體結構單元偽密度和壓電驅動器幾何位置兩類設計變量.

優化模型的數學表述可以寫作

圖4 面內虛擬力示意圖Fig.4 Illustration of virtual in-plane force

式中，ηi為基體結構第i個單元的偽密度設計變量，描述了第j個壓電驅動器的幾何位置，其中ξjx和ξjy表示驅動器的平動自由度，ξjθ表示驅動器的平面內轉動自由度；N和M分別表示結構偽密度設計變量和壓電驅動器數目.C為結構的總體柔順度；V和V0分別為基體結構材料體分比用量及其上限；?j,?j1,?j2分別為第j,j1,j2個壓電驅動器所占區域；?d為整體設計區域.

當在協同優化中引入設計相關載荷例如重力時，廣泛應用的SIMP插值模型會引起低密度區域的局部變形.為了避免這個問題，Zhu等[30]提出了一種改進的多項式插值模型.表述如下

式中，E(i)和E0(i)分別表示單元楊氏模量和實體材料時單元楊氏模量.本文采用式(10)形式的插值模型，其中，p和χ的取值分別為4和1/16.

3 靈敏度分析

壓電智能結構的整體柔順度和形狀誤差函數等響應關于兩類設計變量的靈敏度均可解析獲得，具體推導過程如下.

3.1 對偽密度設計變量的靈敏度

結構總體柔順度和形狀誤差函數的矩陣形式可分別表述為

上式兩端同時對偽密度設計變量ηi求偏導，可得

對平衡方程式(5)兩端關于偽密度設計變量ηi求偏導，得

式中，F為設計無關載荷；Fpzt=-Ku??為壓電驅動力，假設其不隨基體結構變化而變化；系數矩陣H與偽密度設計變量無關，因此等式(13)可表示為

將式(14)代入式(12)，且由式(5)得UTHT=0，因此式(12)可表示為

使用伴隨法，引入列向量q滿足

可得

將式(17)代入式(15)，可得

3.2 對幾何設計變量的靈敏度

結構總體柔順度和形狀誤差函數對幾何設計變量ξj的偏導數可類似得到

對平衡方程式(5)兩端關于幾何設計變量ξj求偏導，可得到

因矩陣系數H與驅動器幾何位置相關，驅動器幾何位置變化時，?HT/?ξj≠0.

當驅動器發生平動時，ξj為第j個驅動器的平動自由度設計變量，其變化不影響結構的剛度矩陣，因此?Kuu/?ξj=0，?Ku?/?ξj=0，則式(20)可寫為

參照式(16)引入列向量q，UTHT=0，qTHT=0.將式(21)代入式(19)，式(19)可化簡為

若ξj是第j個驅動器的轉動自由度設計變量，由于轉動影響結構的剛度矩陣，則式(20)可寫為

當驅動器發生轉動，第j個驅動器的彈性剛度矩陣、壓電耦合矩陣可以寫為

因此，式(19)可寫為

綜上，結構整體柔順度和形狀誤差函數對幾何設計變量的靈敏度可寫為

4 數值算例

考慮如圖5所示尺寸為200 mm×148 mm×1 mm的懸臂鋁板，在其上下表面通過MPC多點約束連接4對矩形壓電驅動器，尺寸均為40 mm×22 mm×1 mm，分別標記為E,F,G,H.邊界條件如圖5所示，結構變形由壓電驅動器的逆壓電效應產生.材料屬性如下.

主體結構，彈性模量E0=70 GPa，泊松比ν0=0.32.

PZT壓電驅動器，彈性模量Ep=63 GPa，泊松比νp=0.3，壓電系數d31=d32=2.54×10-10m/V.

懸臂板邊框深色區域為非設計域，內部淺色區域為設計域.主體結構材料用量上限V0為50%.為避免壓電驅動器間干涉，其幾何輪廓采用有限包絡圓近似[30-31]，如圖5(b)所示.考慮結構的對稱性，僅選取8個測量點M1～M8，約束形狀誤差函數上限從而精確控制曲面變形.

考慮結構的彎曲變形形式[10,22]，定義目標曲面函數為

圖5 壓電智能懸臂板結構示意圖(○：測量點)Fig.5 Schematic of a piezoelectric integrated cantilever plate (○：observation points)

式中，a=200 mm，θ為彎曲變形目標曲面與初始水平面夾角.

圖6 彎曲變形結構構型優化歷史Fig.6 Iterative history of optimization design of structure configuratio in bending deformation

4.1 彎曲變形

取式(28)中θ=0.25°，則彎曲變形目標曲面的表達式為

4對壓電驅動器均施加大小、方向相同的電壓70 V.在基體結構(200，0，0)mm點處施加一個面內虛擬力f1=(0，40，0)N；形狀誤差函數上限δ取為0.01 mm2.采用梯度算法GCMMA(globally convergent method of moving asymptotes)[33]對優化問題進行求解.壓電驅動器的位置、角度隨迭代過程而變動，且基體結構材料分布逐漸清晰，如圖6所示.

圖7 實際變形與目標變形曲面誤差絕對值分布優化歷史Fig.7 Iterative history of absolute value of error distribution between computed shape and desired shape

圖8 優化構型變形對比Fig.8 Comparison of computed shape and desired shape

迭代初始，由于施加電場后壓電材料周圍存在集中驅動載荷，壓電驅動器對優化目標更敏感，位置及角度更新迅速；隨后，基體結構材料支撐壓電驅動器，分布逐漸清晰；與此同時，壓電驅動器位置、角度微調以增加結構變形的精確度.最終優化構型中，壓電驅動器E的幾何中心位置從初始的(50，-35，0)mm移動到(48.80，-32.17，0)mm，角度旋轉0°，壓電驅動器F的幾何中心位置從初始的(150，-35，0)mm移動到(149.75，-33.38，0)mm，角度旋轉7.46°.形狀誤差函數值從初始的1.76 mm2減小到最終的9.60×10-3mm2，優化過程中實際變形與目標變形的誤差分布如圖7所示，最終優化構型變形如圖8所示.從表2可知，測量點最大位移誤差出現在M8處，僅5.54%.可見，通過協同優化，壓電驅動器位置、角度及基體結構材料均找到最優化的分布，從而實現了預期變形.目標函數經105次迭代收斂于1.77 mJ，如圖9所示.

表3 不同初始布局下的優化構型Table 3 Di ff erent optimized design due to di ff erent original layouts

圖9 協同優化收斂曲線Fig.9 Convergence history of objective function andErconstraint of iterative optimization design

為研究壓電驅動器初始布局對優化設計結果的影響，本文進一步分析在不同初始布局下的精確變形協同優化問題，其初始布局及最終優化構型如表3所示.在4種優化構型中，壓電驅動器均找到適宜的分布位置及角度，且基體結構材料支撐壓電驅動器形成清晰合理的傳力路徑.4種初始布局下優化問題最終收斂的目標函數值與形狀誤差函數值均相差不大，壓電驅動器均由不同初始位置、角度變化到初始布局1中的分布區域；但基體結構最終拓撲構型存在不同程度的差異，例如初始布局3和4均獲得與初始布局1和2顯著不同的基體結構拓撲構型.可見，結構優化構型依賴于壓電驅動器的初始布局，在協同優化設計中需要合理選擇結構的初始布局.由于協同優化問題的非凸性，GCMMA算法只能得到局部解[34-35].但在另一方面，局部解能為工程設計人員提供更多的設計方案，具有實用的工程設計價值.

4.2 優化過程中傳力路徑的畸變現象

進一步分析在協同優化設計方法中，形狀誤差及體分比約束條件對精確變形智能結構設計的影響規律.

仍以上述懸臂板結構為例，顯然形狀誤差函數約束上限δ衡量著結構變形的準確度，δ值越小，變形準確度越高.針對圖6(a)初始布局下的彎曲變形，依次取δ=0.001，0.005，0.010，0.015和0.025 mm2，進行協同優化設計，結果如圖10所示.當形狀誤差函數上限δ大于0.01 mm2時，隨著δ的減小，結構優化構型發生變化，并得到更加精確的實際變形，例如圖10中(Ⅴ)，(Ⅳ)和(Ⅲ).當約束過強時，結構為滿足更加嚴格的變形要求，傳力路徑發生斷裂并伴隨結構剛度的巨大損失，出現不合理的結構形式，如圖10中(Ⅰ)和(Ⅱ).在δ=0.010和0.015 mm2時，如圖10中(Ⅲ)和(Ⅳ)所示，取得較優參數匹配，且最終優化構型十分相似.上述算例表明，當精確變形約束定義過強時，雖然優化得到的柔性鉸鏈結構及中間密度單元有利于實現整體結構變形要求，但從工程設計及實際物理意義角度需將形狀誤差函數約束上限δ控制在合理范圍.

圖10 形狀誤差約束上限對結構應變能和結構構型的影響Fig.10 Compliance energy and structure optimized design under di ff erentErconstraint upper bounds

上述算例均基于體分比約束上限V0=50%，在另一方面，材料用量決定著結構的傳力路徑及整體構型.因此，本文在圖6(a)初始布局及形狀誤差函數上限0.01 mm2基礎上改變V0范圍為30%～80%，進一步研究其影響規律.如圖11所示，當材料用量約束上限V0僅為30%時，傳力路徑簡化為細桿形式，材料精簡在主傳力路徑上.但由于材料約束過強導致主傳力路徑斷裂、剛度過弱；隨著材料用量約束上限的提高，材料逐漸在中間部位堆積，并沿主傳力路徑增強；當材料用量約束上限V0提高到70%時，結構剛度進一步增大，但是傳力路徑中出現復雜的細枝、角片構型，且材料在結構中間部位過度堆積，利用率低.

圖11 體分比對結構應變能和結構構型的影響Fig.11 Compliance energy and structure optimized design under di ff erent volume fractions

5 結論

(1)提出了精確變形下壓電智能結構的協同優化設計新方法，通過定義與測量點目標位移權重相關的形狀誤差函數控制結構的精確變形，采用協同優化設計方法可同時實現壓電驅動器位置、角度更新及基體結構拓撲構型優化.本方法拓展了壓電智能結構系統的整體式優化設計方法，能夠有效控制壓電智能結構的精確變形.

(2)完成了壓電智能懸臂板彎曲變形的協同優化設計，通過數值算例驗證了所提方法的正確性，優化設計結果獲得了新的壓電驅動器布局和清晰的基體結構拓撲構型，兩類設計因素共同構成壓電智能懸臂板的傳力路徑，實現結構的精確變形.進一步討論了壓電驅動器不同初始布局對結構構型的影響，基于壓電驅動器不同初始布局能夠獲得不同的優化構型，同時能為工程設計提供更多可供選擇的設計方案.此外，深入分析了精確變形、體分比約束對于結構優化構型和整體性能的影響，發現并分析了優化過程中由于約束定義不合理將可能導致的結構設計畸變現象.

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INTEGRATED LAYOUT AND TOPOLOGY OPTIMIZATION DESIGN OF PIEZOELECTRIC SMART STRUCTURE IN ACCURATE SHAPE CONTROL1)

Wu Manqiao Zhu Jihong2)Yang Kaike Zhang Weihong
(International Joint Research Center on Design and Additive Manufacture of Aerospace Materials and Structures,Northwestern Polytechnical University,Xi’an710072,China)

Smart structures are those equipped with sensors/actuators made of smart materials,which have the capability to control structure movement in such a way that makes the design more efficient.However,due to systematic complexity and multidisciplinary objectives,the optimization design of such structures in accurate shape control becomes very challenging.This paper proposes an integrated layout and topology optimization design method for accurate shape control of smart structures with surface bonded piezoelectric actuators.The multi-point constraints(MPC)method is used to simulate the bonding connections between movable piezoelectric actuators and host supporting structures.A new weighted shape error function based on desired deflection of observation points is define to fulfil accurate shape control of piezoelectric smart structure.Through the proposed method,the optimal position and orientation of each piezoelectric actuator as well as the topology configuratio of host supporting structure are founded,which significantl improves the systematic actuating and morphing performance of piezoelectric smart structures.Further studies on the relationships of structural sti ff ness with shape morphing constraint and volume fraction constraint are carried out,and distortions of load carryingpath in optimized designs are illustrated.With several numerical results,the proposed integrated optimization method is proved to be an efficient way to decrease the error between computed and desired surface and achieve the accurate shape control of piezoelectric smart structures.

integrated optimization design，piezoelectric smart structure，accurate shape control，multi-point constraint

V214.19

A

10.6052/0459-1879-16-273

2016–09–27收稿，2016–12–23錄用,2016–12–27網絡版發表.

1)國家自然科學基金（11432011，11620101002）和高等學校創新引智計劃（B07050）資助項目.

2)朱繼宏，教授，主要研究方向：飛行器輕質結構性能優化設計、航天器結構系統整體優化設計、熱-機械耦合系統結構優化設計、面向增材制造的結構優化設計.E-mail：JH.Zhu@nwpu.edu.cn

吳曼喬,朱繼宏,楊開科,張衛紅.面向壓電智能結構精確變形的協同優化設計方法.力學學報,2017,49(2):380-389

Wu Manqiao,Zhu Jihong,Yang Kaike,Zhang Weihong.Integrated layout and topology optimization design of piezoelectric smart structure in accurate shape control.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):380-389