擺動河槽水動力穩定性特征分析1)

白玉川 冀自青 徐海玨,2)

?(天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津300072)

?(天津大學建筑工程學院，天津300072)

擺動河槽水動力穩定性特征分析1)

白玉川?,?冀自青?徐海玨?,?,2)

?(天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室，天津300072)

?(天津大學建筑工程學院，天津300072)

河流形態與水動力結構息息相關，形態約束水動力結構，水動力結構則通過泥沙運動進一步塑造形態，在自然界河流中形成一對辯證互饋關系.天然河流形態形式多樣，大致可以分為順直、微彎、分叉和散亂游蕩幾種類型，其中微彎及多個彎曲構成的河型為河流動力演化中最重要的一環.多個彎曲構成的河型可用正弦派生曲線來描述，它也是天然河流主槽與水動力結構復雜相互作用的結果.作為探討這一過程的力學作用機理，構建擺動槽道并研究槽道擺動與其內部流動結構的互饋關系，既是流體力學研究的熱點內容，也是目前河流動力過程研究的基礎內容.在此重點討論這一互饋關系前一部分，即水流對擺動邊界的響應.文中建立了隨體坐標系下擺動河槽與內部水流動力響應理論模型，通過給定擺動彎曲槽道的不同特征參數，研究討論了正弦派生型擺動邊界下的槽道水流動力穩定性特征，明確了彎曲槽道擺動對其內部主流及擾動水流結構的影響，確定彎曲槽道擺動波數、擺動頻率對擾動流發展影響的相應參數定量關系，得到了槽道彎曲度和擺動特征對其內部水流不同尺度擾動影響的閾值選擇性范圍.

河槽擺動，槽道流動，正弦派生，水流特性，水動力穩定性特征

引言

復雜邊界與內部水流的相互作用既是研究河流擺動機理的基礎，也是近來流體力學研究的熱門課題.

平行槽道內的流動在小雷諾數時為層流，其流速分布為二次分布；然而，在復雜可動邊界內流速將產生變化，此時其水動力穩定性特征也會相應變化.

目前對于復雜可動邊界內流體流動特征的研究主要沿著兩個方向進行：一個是彈性固壁在水流作用下的自由振動.這方面主要代表學者有Davies和Carpenter[1-2],Hell和Waters[3],Guaus等[4],Pitman和Lucey[5]，其核心思想是將邊壁構造成無數彈性支承的薄壁梁，對彈性邊界和內部水流分別建立控制方程，研究彈性邊壁對平面Poiseuille流、Taylor–Couette流水動力穩定性的影響.另一個是以水流減阻為主要目標，研究靜態或動態復雜邊界內層流運動的水動力穩定性和湍流擬序結構的發展.例如，Hall[6]、Thomas等[7]探討了邊壁縱向振動對平面Poiseuille流水動力穩定性特征的影響；Kuhlmann等[8]針對兩壁逆向旋轉的空腔，研究了其內部水流的穩定性；Hell和Waters[3]則針對彈性圓柱殼中的水流結構進行研究；Ren等[9]分析并得到了邊壁縱向勻速平移對內部水流水動力穩定性的影響；Sen等[10]研究了固定邊壁和可動邊壁交替出現時T-S波在邊界上的傳播.

由于研究對象的不同，以上這些成果大多研究邊壁縱向運動對內部水流結構和水動力穩定性的影響，很少有模型考慮邊壁橫向擺動對內部水流的影響.然而對于彎曲河流的演化機理[11]，槽道橫向擺動邊界內水流運動規律的研究更具有實際意義[12-13].

因此，本文首先假設河槽的擺動趨勢，建立了隨體坐標系下擺動性槽道內水流流動的理論模型，討論了正弦派生型擺動邊界下的槽道水流動力穩定性特征，其次確定了擺動波數與擺動頻率對主流流速和內部擾動發展影響的定量關系，最后分析并得到了槽道彎曲度和擺動特征對其內部水流不同尺度擾動的選擇性影響.

1 基本方程

天然河道，尤其是下游河段一般是寬淺型的(河寬與水深比值不小于1).因此，河道在下游彎曲河段會呈現出典型的三維流動特征.然而，河道的中上游河段，若經過大峽谷，則一般會形成窄深型的河道(河寬與水深比值小于1).此時，河道水深方向上變量的變化就可忽略不計，表現出典型的平面二維水流流動特征，這種河槽中的二維流動在Parker等[14]，Ikeda等[15]、Bai和Xu[16]以及Xu和Bai[17]的文中都有專門討論和分析.因此，本文也針對窄深型河槽建立平面二維坐標系統.

采用如圖1中所示的坐標系，河道中心線是沿著流向且處于河道中心位置的曲線，s?方向的其他曲線都是平行于河道中心線而n?方向是處處垂直于河道中心線并在水平面內的方向，因此s?和n?線是處處正交的關系.這種坐標系在Parker等[14]以及Ikeda等[15]的文章中首次使用，并在Bai等[18]的文章中多次討論.

圖1 正弦派生曲線邊界平面示意圖Fig.1 Sketch of sine-generated boundary

長度尺度、速度尺度、時間尺度分別用半寬B?,零階基本流流速峰值無量綱化；河道曲率用河道最大曲率無量綱化，對于正弦派生曲線

正弦派生曲線相關物理量的無量綱參數：偏角幅值θm，擺動波數αc，擺動角頻率ωc，其與實際物理量直接的關系式為

式中，uc為槽道擺動的無量綱相速度，亦可寫為uc=ωc/αc.

物理量無量綱化關系式為

擺動相位：φc=αcs-ωct；偏角寫為復數形式：θ=θmexp(iφc)；無量綱曲率函數的復數形式：c=θ,s=iαcθ；無量綱曲率幅值

無量綱形式的控制方程為

無滑移邊界條件

式中，S(s,t)為槽道中心線在拉格朗日坐標.槽道中心線伸縮比：當槽道中心線無伸縮時，?S/?s=1，亦即us0,s=0或us0=us0(t).

值得注意的是，河道形態參數很多具有復數形式，其中包括：河道波數αc、河道頻率ωc、擺動相位 φc、無量綱曲率函數c、Lame系數hs等.基本所有參數的實部具有物理含義，而虛部沒有具體物理含義，因此參數的取值一般為參數的實部.然而，在計算中需要用到參數的實部和虛部.如：偏角θ可以寫作θ=θmexp(iφc)=θmexp[i(φcr+iφci)]=θmexp(-φci)exp(iφcr).其中，φcr和φci分別是擺動相位φc的實部和虛部.因此，擺動相位實部φcr體現了河道周期性變化對偏角的影響，而其虛部φci則體現了河道非周期擺動幅度改變對偏角的影響.

2 基本流攝動解

攝動法又稱小參數展開法，就是將系統視為理想模型的參數或結構作了微小擾動的結果來研究其運動過程的數學方法.這種方法最早應用于天體力學，用來計算小天體對大天體運動的影響，后來廣泛應用于物理學和力學的理論研究.利用攝動法求解方程，也稱攝動分解，通常需要在無量綱方程中選擇一個能反映物理特征的無量綱小參數作為攝動量，然后假設解可以按小參數展成冪級數，將這一形式級數代入無量綱方程后，可得各級近似方程，依據這些方程可確定冪級數的系數，對級數進行截斷，便得到原方程的漸近解.

無量綱曲率幅值ψ=B?/r?，表示半河寬與最小曲率半徑之比，它代表了槽道的空間彎曲程度，是重要的彎曲特征參數，這個幅值越大就證明彎道越尖銳.根據實際測量資料的結果顯示，天然形成河流槽道的ψ值大多在0.05～0.1的范圍內[19-21]，幾乎沒有超過0.3的.因此，在對方程的處理中，一般認為ψ是可用于方程攝動展開的小參數量.

擺動角頻率ωc反映擺動槽道的時間特征，中心線橫向速度un0的量級為ucθm，槽道緩慢擺動時可認為其與ψ同量級.

2.1 基本流

以無量綱曲率幅值ψ為小參數，對Xψ進行攝動分解，只保留一階攝動一次諧波量，可得

式中，第 1項Xψ0為順直項部分 (ψ0)，對應 ψ=0時的直槽流，為實向量函數；第2項為一階彎曲修正項，與槽道中心線擺動同頻同波數，表示為復數形式，其幅值：頂標?表示波動量的幅值，為復向量函數

ψ0階對應固定直槽道流動，其對應基本流解為Poiseuille流流速分布

ψ1階反映了槽道彎曲對水流流動造成的影響，其解對應的方程為

對ψ1階方程(7)簡化，可得一個O-S方程形式的常微分方程

結合邊界條件，差分法求解方程，采用橫向網格數N=1000，由式(8)可解得橫向流速幅值將其代回方程(7)的連續方程和s向動量方程，可解得一階縱向流速和壓力的幅值

2.2 擺動波數αc對一階基本流解的影響

對于固定的彎曲槽道，擺動角頻率ωc=0.雷諾數Re=2000時，求解控制方程(7)，可得一階流速分量和沿n方向分布圖，見圖2和圖3.

圖2為一階流速分布在復數空間的分解，函數Re(),Im()分布表示復數的實部和虛部.實部為相位φ=0的正彎頂處的流速分布，虛部則為相位φ=-π/2的零曲率的直槽處流速分布，提前個相位.

圖2顯示，一階s方向流速呈反對稱分布，而n方向流速則呈對稱分布；一階s方向流速在近兩壁處有最大值和最小值，極值大小和所處位置隨擺動波數αc增變化而變化.

隨擺動波數αc增大，一階n方向流速隨擺動波數αc增大明顯增大；一階s方向流速極值所處位置隨擺動波數αc增大而逐漸靠近兩壁，在αc=(0,0.5)的范圍內實部逐漸增大，而虛部則先增大后減小.

圖2 一階流速沿n方向分布(復數空間)Fig.2 Distribution of first-orde velocities alongndirection(complex space)

這是因為，無量綱曲率幅值ψ是擺動波數αc和偏角幅值θm的乘積，當偏角幅值保持不變時，ψ會隨著αc的增大而增大.因此，αc增大就意味著河槽的擺動幅度增加，此時，s方向的最大水流流速會由于慣性的作用偏向凹岸一側，而且擺動幅度越大，最大流速的偏離就越嚴重，甚至開始慢慢貼近凹岸邊界.

圖3則為一階流速分布在幅值--相位空間的分解，Am()和Ph()分別表示復數的幅值和相位(弧度制).由圖3和圖2可知，縱向流速和橫向流速的幅值呈對稱分布，的相位呈對稱分布，但的相位在槽道兩側有180°的相位差，亦即

圖3 一階流速沿n方向分布(幅值--相位空間)Fig.3 Distribution of first-orde velocities alongndirection(amplitude-phase space)

2.3 擺動角頻率ωc對一階基本流解的影響

對于擺動的彎曲槽道，擺動角頻率ωc≠0.擺動波數αc=0.3,雷諾數Re=2000時，求解控制方程(1)，所得一階流速分量的橫向分布繪圖，見圖4和圖5.

圖4 一階流速沿n方向分布(復數空間)Fig.4 Distributions of first-orde velocities alongndirection(complex space)

擺動槽道的一階流速分布取決于兩方面的影響，一方面源自于槽道彎曲,即擺動波數αc的影響,一方面源自于擺動頻率ωc的影響.圖4中黑色實線為ωc=0的固定彎曲槽道中的一階流速分布，取ωc=-0.10,-0.05,0,0.05,0.10五種不同的擺動情況，并以實線和虛線區分擺動傳播方向，實線對應ωc＞0，虛線對應ωc＜0.由圖4可見，擺動向下游傳播時，擺動頻率ωc對一階流速影響比向上游傳播大，而且，整體來說，擺動頻率ωc對一階流速的影響與擺動波數對它的影響是相反的(圖2).這是因為河槽中的水流流速方向是向下游的，因此，水流的信息主要是向下游傳播的，擺動向下游傳播間接推動了水流信息的傳播效果.然而，又由于水流和河槽邊界同時向下游運動，它們之間的相對速度就減小了，就相當于間接減小了波數的影響.因此，擺動頻率對一階流速的影響與擺動波數對它的影響效果是相反的.

隨著擺動頻率ωc由零減小，一階縱向流速和橫向流速分布迅速反向，且ωc=0.05和ωc=0.10兩種擺動頻率下相差不大.

隨著擺動頻率ωc由零增大，ωc=0.05時，彎頂處兩壁附近出現一階縱向流速的反向分布 (與 ωc=0時的黑線分布對比)，這時擺動波數αc和擺動頻率ωc的影響相當；擺動頻率繼續增大ωc=0.10時，反向流速分布擴展到全斷面，這時擺動頻率ωc的影響占主導地位.直槽處的一階橫向流速分布隨擺動波數的變化與彎頂處分布相似.二者隨ωc的復雜變化規律是由于邊界流速非零，因此其近壁流速才呈現局部反向分布的現象.

圖5為一階流速分布在幅值--相位空間的分解，一階縱向流速和橫向流速的幅值和相位均呈對稱分布.

同時，從圖5(b)中可以觀察到ωc=0.10對應的藍色實線從1.0突然跳轉到-1.0，這是因為圖5(b)中第2個圖代表的是unψ1的相位，而通過反正切計算相位的值域在(-π,π)之間.這種跳轉體現了相位的值域范圍的約束，其本身只有數學上的意義，在物理上Ph(unψ1)/π仍然是一個連續函數.

圖5 一階流速橫向分布(幅值--相位空間)Fig.5 Distributions of first-orde velocities(amplitude-phase space)

3 水動力穩定性及擬序擾動發展的邊界效應

按照描述湍流擬序結構理論方法[23-25]，方程的解X=[us,un,p]T分解為基本流解Xψ與擾動解XT之和的形式，X=Xψ+XT.

與平面 Poiseuille流相比，擺動槽道基本流中的波動項部分Xψ1的使內部水流既有流動的自然失穩又有由于擺動彎曲誘發的失穩，擾動量XT=可表述為以下形式

式中，擾動相位φT=αTs-ωTt,由于基本量Xψ對ψ取一階近似，擾動解中包含-1,0,1次諧波量，故式(9)在m=±1處截斷，XT的幅值為n的復數函數，

將式(9)中的擬序擾動XT、基本解Xψ代入原始控制方程(2)～方程(4)，得到擬序擾動的控制方程為

邊界條件n=±1,usT=unT=0.

式(10)～式(12)為擬序結構擾動項控制方程.方程中既有邊界波動(拉梅系數hs)對擾動解的直接影響，也有邊界波動引起的一階基本流Xψ1對擾動解的間接影響.擾動方程的非線性使得各擾動諧波量相互耦合，這種耦合有兩方面，一種是由高階基本流(usψi,unψi)的色散作用引起，一種是由拉梅系數hs的Taylor高階展開項的色散作用引起.由于本文只保留一階基本流和三種擾動諧波量，前者只對相鄰擾動諧波起作用，而拉梅系數hs則在各擾動分量之間都能起到影響,故需保留hs的ψ的二階展開項，即

式中，c.c表示復共軛.將式(13)代入擬序擾動方程(10)～方程(12)，可得擾動幅值方程

式中，m=0,±1，式(14)～式(16)構成9元耦合方程組.αT和ωT分別為無量綱形式的擾動波數和擾動角頻率；αc和ωc分別為無量綱邊界擺動波數和擺動角頻率.

式 (14)～式 (16)代表彎曲河道水動力穩定性特征.方程組中未知量包含9個線性無關的特征變量：這些特征變量均為自變量n的特征函數，且相互耦合，以矩陣形式可表述為

系數矩陣A,B,C各元素的顯示表述可由方程(14)～方程(16)及附錄得到，限于篇幅不再贅述.系數矩陣中共有兩組參數，一組為與直槽一樣的擬序擾動參數組(αT,ωT,Re)，還有一組為邊界彎曲參數組(θm,αc,ωc).

特征值方程(17)采用時間模式，αT為實數，ωT為復數，用muller法求解擾動幅值方程的特征值.擾動角頻率ωT為(αT,Re)和(θm,αc,ωc)的函數，亦即：ωT=ωT(αT,Re,θm,αc,ωc)，其虛部即為擾動增長率：ωTi=ωTi(αT,Re,θm,αc,ωc).

正弦派生曲線河槽內的擾動波，不僅與擾動波數αT和雷諾數R的有關，還受到邊界擺動彎曲(θm, αc,ωc)的影響.直槽水流雷諾數Recr=5772.222 (Orszag[26])，而彎曲槽道流的臨界雷諾數Recr受到邊界擺動彎曲參數(θm,αc,ωc)的影響，亦即：Recr=Recr(θm,αc,ωc)，與此同時，臨界雷諾數對應的臨界擾動參數(αTcr,ωTcr)均為(θm,αc,ωc)的函數，亦即，αTcr=αTcr(θm,αc,ωc)，ωTcr=ωTcr(θm,αc,ωc).

由于 ψ=0時矩陣奇異，本文以θm=αc=1×10-6代替順直河道(θm=αc=0)來驗證臨界雷諾數及中性曲線，采用目前國際最為公認的理論和實驗結果驗證模型的準確性，并與Reynold和Potter[27]的數值結果和Nishioka和Ichikawa[28]的實驗結果進行了對比，見圖6所示.可以看出理論計算結果與已發表的最為公認的中性曲線結果吻合較好，說明程序計算順直河道計算結果的正確性.

圖6 順直河道中性曲線計算結果驗證Fig.6 Comparison of numerical results with data of straight channel

3.1 邊界擺動波數的影響

圖7為擾動頻率ωTr及擾動增長率ωTi隨擺動波數αc的變化關系，對應平面狀態參數：θm=0.1, ωc=0,擬序擾動參數：αT=1,Re=6000；圖8臨界雷諾數隨擺動波數αc的變化，對應平面狀態參數：θm=0.1,ωc=0.

從圖7(a)中可以看出，隨著擺動波數的增加，擾動頻率有持續減少的趨勢.造成這種變化趨勢的原因可能是擾動頻率與擾動波數、擺動頻率和擺動波數的一種適應過程.即，擺動波數在逐漸接近于擾動波數過程中，擾動頻率也逐漸接近于擺動頻率(ωc=0).這種結果雖然與Bai等[18]以及Xu等[17]的結果由于采用不同坐標系而產生一定的差別，但總體趨勢是一致的，體現出模型計算的合理性.

圖7 擾動頻率ωTr及擾動增長率ωTi隨擺動波數αc的變化(平面狀態參數：θm=0.1,ωc=0;擬序擾動參數：αT=1.02,Re=5772.222)Fig.7 Variation of disturbance frequency ωTrand growth rate ωTiwith swinging wave number αc(for:θm=0.1,ωc=0;αT=1.02,Re=5772.222)

圖8 臨界雷諾數隨擺動波數αc的變化(平面狀態參數:θm=0.1,ωc=0)Fig.8 Variation of critical Reynolds number with swinging wave number αc(for:θm=0.1,ωc=0)

從圖7(b)中可以看出，隨著擺動波數的增加，擾動增長率出現先增大后減小的趨勢.槽道彎曲對其內部水流各種尺度的擾動都有選擇性影響.擺動波數αcm在(0,0.48)區間上，槽道擺動加速擾動增長，水流比直槽道水流更不穩定.當擺動波數αcm=0.3，擾動增長最快，水流最不穩定，此時臨界雷諾數不足直槽流的一半.

直槽水流擾動臨界參數Recr=5772.222，αTcr=1.020，ωTcr=0.27，擺動槽道中心曲線和臨界擾動顯然受擺動參數(θm,αc,ωc)的影響.

圖9 中性曲線隨擺動波數αc的變化(平面狀態參數：θm=0.1, ωc=0,0≤αc≤0.5)Fig.9 Variation of neutral curve with swinging wave number αc(for:θm=0.1,ωc=0,0≤αc≤0.5)

圖9繪制了隨擺動波數αc增大水流中心曲線的移動，圖中給出了αc=0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5時的中性曲線.由圖9可以看出，在擺動波數αc較小時，中性曲線變化緩慢，擺動波數αc較大時，中性曲線變化迅速，且趨于平坦化.隨擺動波數αc增大，中性曲線向左移動，對應臨界擾動也隨之左移，臨界雷諾數減小，至αc=0.3時達到最小(亦可見圖8)，然后中心曲線右移，臨界雷諾數增大.

圖10只顯示了5條中心曲線的詳細信息，計算αc在(0,0.5)區間上共50條中性曲線，將各中性曲線臨界擾動對應的點列(Recr,αTcr)和(Recr,ωTcr)分別連接形成臨界擾動曲線，繪制在圖8.由圖8可見，隨著擺動波數αc增大，臨界擾動對應的臨界擾動波數αTcr先增大后減小然后再次增大，并在臨近αc=0.3附近形成一個“繩套”；而臨界擾動頻率ωTcr.則先增大后減小，形成類似于直槽中性曲線的“拇指”形狀.

圖10 臨界擾動點隨擺動波數αc的變化(平面狀態參數：θm=0.1,ωc=0)Fig.10 Variation of critical point with swinging wave number αc(for:θm=0.1,ωc=0)

3.2 邊界擺動頻率的影響

圖11為擾動頻率ωTr及擾動增長率ωTi隨擺動頻率ωc的變化關系，對應平面狀態參數：θm=0.1, αc=0.3,擬序擾動參數：αT=1.016,Re=2307，該參數組合為圖8中最小臨界雷諾數對應的擾動情況.由圖可見，槽道擺動頻率對其內部水流各種尺度的擾動有選擇性影響；擬序擾動對擺動頻率ωc非常敏感，這是因為擾動頻率的微小變化都能極大改變一階流速分布，如圖4和圖5所示，流速分布的改變進一步影響擬序擾動的發展.

由圖11擾動特征值隨擺動頻率ωc的變化曲線可以看出，不同模態之間的交叉使得曲線偶有不可導的尖點和急劇變化的區段.這是因為，任意一種流動中都包含有各種尺度不同的擾動波，這種擾動波體現在特征方程的計算中則是可以計算出一系列的特征值.而湍流流動通常是由其中最不穩定／最少穩定的特征值模態所控制，當流動條件發生改變時有時會出現第二甚至第三模態增長率急劇增加，超過了第一模態的增長率，從而發生模態交叉現象.這種現象在波紋狀底邊界[16]水流結構的討論中首次被發現，而在波狀側邊界[18]的流動中被詳細討論，是目前彎曲型河槽水流結構與順直型河槽水流結構的重要區分之一.

圖11 擾動頻率ωTr和擾動增長率ωTi隨擺動頻率ωc的變化(平面狀態參數：θm=0.1,-0.1≤ωc≤0.1;擬序擾動參數：αT=1.016,Re=2307)Fig.11 Variation of disturbance frequency ωTrand growth rate ωTiwith swinging frequency ωc(for:θm=0.1,-0.1≤ωc≤0.1;αT=1.016,Re=2307)

擾動增長率ωTi在ωc=0.085和ωc=-0.039處有極大值，在ωc=-0.006附近有極小值，該極小值處模態交叉；ωc=-0.009和ωc=0.064附近，擾動頻率ωTr分別有極大值和極小值.

層流轉捩為湍流，能量消耗會由于分子運動的加劇而急劇增加.然而根據最小耗能原理，自然的壁面邊界和水流結構的相互適應過程中會自然遵循使水流的能耗降低，即從自然現象上則表現為推遲層流向湍流的轉捩過程.Crosato[29]在論文中與VanBalen討論了蜿蜒型河道的擺動規律，發現河道的發展不僅會向下游移動，在一些特定的條件下會向上游移動，其方向主要取決于沖刷池相對于河道頂點的位置[30].在相當陡峻的(窄深型)河岸，最大近岸流速將出現在河道頂點的上游，上游的河岸在水流流速的作用下變弱，從而造成河道向上游方向遷移.在計算中就體現兩個重要的趨勢：(1)模態出現交叉，控制湍流結構的不穩定模態發生交換，從而最大的近岸流速位置出現在河道頂點的上游而非通常的下游；(2)窄深型河道在水流結構的影響下，開始向上游遷移.表現在方程特征值上則是向上游遷移的擺動頻率在一定范圍內減小了擾動增長率(如圖11(b))，即河道向上游遷移時，能量耗散更小，水流結構更加穩定，如圖12中所顯示的趨勢.

圖12為臨界雷諾數Recr隨擺動頻率ωc的變化關系，對應平面狀態參數：θm=0.1,αc=0.3.隨著擺動頻率增大，臨界雷諾數減小，內部水流更加容易失穩；與槽道擺動向下游傳播(ωc＞0)相比，槽道擺動向上游傳播(ωc＜0)時水流更加穩定.

圖12 臨界雷諾數Recr隨擺動頻率ωc的變化(平面狀態參數：θm=0.1,αc=0.3)Fig.12 Variation of critical Reynolds numberRecrwith swinging frequency ωc(for:θm=0.1,αc=0.3)

圖13為中性曲線隨擺動頻率ωc的變化關系，對應平面狀態參數：θm=0.1,αc=0.3,-0.02≤ωc≤0.02).圖中繪出了ωc=-0.015，0，0.015時的中性曲線.由圖13可以看出，隨擺動頻率ωc增大，中性曲線左移，臨界點(Recr,αTcr)向左上方移動，即臨界雷諾數Recr減小，臨界擾動波數αTcr增大，擾動頻率ωTcr減小，該變化趨勢與圖11和圖12對應一致.槽道擺動向上游傳播時，中性曲線隨擺動頻率增大的速度大于向下游傳播時減小的速度.

圖13 中性曲線隨擺動頻率ωc的變化(平面狀態參數：θm=0.1,αc=0.3,-0.02≤ωc≤0.02)Fig.13 Variation of neutral curve with swinging frequency ωc(for:θm=0.1,αc=0.3,-0.02≤ωc≤0.02)

4 結論

本文建立了隨體坐標系下槽道內水流流動的理論模型，討論了正弦派生型擺動邊界下的槽道水流動力穩定性特征，確定了擺動波數與擺動頻率對主流流速和內部擾動發展影響的定量關系，得到了槽道彎曲度和擺動特征對其內部水流不同尺度擾動的選擇性影響.具體如下：

(3)一階流速分布對擺動頻率ωc的影響相當敏感，由ωc=0向正負兩個方向增大時流速分布迅速變化，且開始出現與ωc=0時相反的分布規律；當ωc＜-0.05或ωc＞0.1時反向分布占據主導地位.

隨著擺動頻率ωc由零減小，一階流速、相位分布均迅速反向，且在ωc＜-0.05以后不再有明顯變化；隨著擺動頻率ωc由零增大，一階流速首先在兩壁附近開始反向，ωc＞0.1后反向分布占據主導地位，而流速相位則迅速反向，槽道中心處相位隨擺動頻率ωc變化及其明顯.

(4)槽道彎曲對其內部水流各種尺度的擾動有選擇性影響.擺動波數αcm在(0,0.48)區間上，槽道擺動加速擾動增長，水流比直槽道水流更不穩定.當擺動波數αcm=0.3，擾動增長最快，水流最不穩定，此時臨界雷諾數不足直槽流的一半.大擺動波數下中性曲線更加平坦.各中性曲線臨界擾動對應的點列(Recr,αTcr)和(Recr,ωTcr)分別呈現“繩套”和“拇指”形狀.

(5)槽道擺動對水流內部各種尺度的擾動有較大影響.擬序擾動發展對擺動頻率ωc變化十分敏感.隨著擺動頻率ωc增大，擬序擾動的增長率增大，臨界雷諾數減小，水流更加容易失穩.槽道擺動向上游傳播時水流更加穩定.

1 Davies C,Carpenter PW.Instabilities in a plane channel fl w be-tween compliant walls.Journal of Fluid Mechanics,1997,352: 205-243

2 Davies C,Carpenter PW.Numerical simulation of the evolution of Tollmien–Schlichting waves over finit compliant panels.Journal of Fluid Mechanics,1997,335:361-392

3 Hell M,Waters SL.Transverse fl ws in rapidly oscillating elastic cylindrical shells.Journal of Fluid Mechanics,2006,547:185-214

4 Guaus A,Airiau C,Bottaro A,et al.E ff ects of wall compliance on the linear stability of Taylor–Couette fl w.Journal of Fluid Mechanics,2009,630:331-365

5 Pitman MW,Lucey AD.Stability of plane-Poiseuille fl w interacting with a finit compliant panel.17th Australasian Fluid Mechanics Conference,Auckland,2010-12-5-9.New Zealand,2010

6 Hall P.The stability of the Poiseuille fl w modulated at high frequencies//Proceedings of the Royal Society of London,London, 1975.England,1975.453-464

7 Thomas C,Bassom AP,Blennerhassett PJ,et al.The linear stability of oscillatory Poiseuille fl w in channels and pipes//Proceedings of the Royal Society A,2011.Australia,2011.467:2643-2662

8 Kuhlmann C,Wanschura M,Rath HJ.Flow in two-sided lid-driven cavities:non-uniqueness,instabilities,and cellular structures.Journal of Fluid Mechanics,1997,336:267-299

9 Ren L,Chen JG,Zhu KQ.Dual role of wall slip on linear stability of plane Poiseuille fl w.Chinese Physics Letters,2008,25(2): 601-603

10 Sen PK,Carpenter PW,Hegde S,et al.A wave driver theory for vortical waves propagating across junctions with application to those between rigid and compliant walls.Journal of Fluid Mechanics, 2009,625:1-46

11 Friedkin JF.A laboratory study of the meandering of alluvial rivers. U.S.Army Engineer Waterways Experiment Station,Vicksburg, Mississippi,1945.USA

12 Brice JC.Platform properties of meandering processes,In:River Meandering//Elliott CM.ed.Proceedings of the conference Rivers, Louisiana,1983-10-24-26.New Orleans:ASCE,1984.1-15

13 Hooke JM,Redmond CE.Use of cartographic sources for analyzing river channel change with examples from Britain//Petts GE,ed. Historical of Large Alluvial Rivers:Western Europe,Wiley,1989

14 Parker G,Sawai K,Ikeda S.Bend theory of river meanders.Part 2. Nonlinear deformation of finite-amplitud bends.Journal of Fluid Mechanics,1982,115:303-314

15 Ikeda S,Parker G,Sawai K.Bend theory of river meanders.Part 1.Linear development.Journal of Fluid Mechanics,1981,112: 363-377

16 Bai YC,Xu HJ.A study on the stability of laminar open-channel fl w over a sandy rippled bed.Science in China,Series E:Engineering&Material Science,2005,35:53-73

17 Xu HJ,Bai YH.Theoretical analyses on hydrodynamic instability in narrow deep river with variable curvature.Applied Mathematics and Mechanics,2015,36(9):1147-1168

18 Bai YC,Ji ZQ,Xu HJ.Instability and self-adaption character of turbulence coherent structure in narrow-deep river bend.Science China:Technology Science,2012,55:2990-2999

19 HookeJM.Magnitude and distributionof rates of river bank erosion.Earth Surface Processes and Landforms,1980,5:143-157

20 Hickin,E J.Lateral migration rates of rivers bends//Cheremisino ff PN,Chereminiso ffNP,Cheng SL eds.Handbook of Civil Engineering.Lancaster,Pennsylvinia:Technomic Publishing,1988

21 Pyle CJ,Richards KS,Chandler JH.Digital photogrammetric monitoring of river bank erosion.Photogrammetric Record,1997, 15(89):753-764

22 Luo JS,Wu XS.On the linear instability of a finit stokes layer: Instantaneous versus Floquet modes.Physics of Fluids,2010,22: 054106-1-054106-13

23 Herbert T.Secondary of boundary layers.Annual Review of Fluid Mechanics,1988,20:487-526

24 Zhang ZS,Lilley GM.A theoretical model of coherent structure in a plate turbulent boundary layer//Turbulent Shear Flow III.Berlin: Springer-Verlag,1981

25 張兆順.湍流.北京：國防工業出版社，2002(Zhang Zhaoshun. Turbulence.Beijing:National DefenceIndustryPress,2002(inChinese))

26 Orszag SA.Accurate solution of the Orr-Sommerfeld stability equation.Journal Fluid Mechanics,1971,50(4):689-703

27 Reynolds WC,Potter MC.Finite-amplitude instability of parallel shear fl ws.Journal of Fluid Mechanics,1967,27:465-492

28 Nishioka M,Ichikawa Y.An experimental investigation of the stability of plane Poiseuille fl w.Journal of Fluid Mechanics,1975, 72:731-751

29 CrosatoA.AnalysisandModellingofRiverMeandering.[PhDThesis].Italia:University of Padua,2008

30 Seminara G,Zolezzi G,Tubino M,et al.Downstream and upstream influenc in river meandering.Part 2.Planimetric development.Journal of Fluid Mechanics,2001,438:213-230

附錄

式(14)～式(16)中各參數為：

HYDRODYNAMIC INSTABILITY CHARACTERISTICS OF LAMINAR FLOW IN A MEANDERING CHANNEL WITH MOVING BOUNDARY1)

Bai Yuchuan?,?Ji Ziqing?Xu Haijue?,?,2)

?(State Key Laboratory of Hydraulic Engineering Simulation and Safety，Tianjin University，Tianjin300072，China)

?(Department of Civil Engineering,Tianjin University，Tianjin300072，China)

Configuratio of river is closely related with hydrodynamic structures of fl ws,for the shape o f a channel influence the fl w structures in it,and the fl w structures also a ff ect the developing trend of the channel through the movement of sediment,forming a pair of dialectical interactions in the river system.The natural rivers are di ff erent in configurations which can generally be divided into such types as straight,bending,branching and wandering.Among them,the bending river or the river composed of several curved channels,the result configuratio of interaction between the natural river and the complex hydrodynamic fl w structure in it,become one of the most important types in the study of river dynamics.As the basis of theoretical research,the establishment of model and the study on fl ws within a moving channel has become the focus not only from researchers of flui mechanics,but also from investigators of river dynamics. Therefore,this study firs established a theoretic model on the fl w in a meandering channel with a moving boundaryby using a streamwise-transverse coordinate system.It next discussed the hydro-dynamic instability characteristics of the laminar fl w within the sine-generated moving boundaries.Then it quantitatively analyzed the influence of various character parameters to the velocity distributions of main fl w.Finally,it obtained the selective influence from the curvature and meandering properties to the fl w structure.

moving channel，fl w in channel，sine-generated curveform，fl w properties，hydrodynamic instability characteristics

O352

A

10.6052/0459-1879-16-105

2016–04–18收稿，2017–02–22錄用,2017–02–22網絡版發表.

1)國家自然科學基金項目(41576093,51279124,51321065)和天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室基金(HESS-1606)資助.

2)徐海玨，副教授，主要研究方向：流體力學、河流海岸動力學、泥沙運動力學.E-mail:xiaoxiaoxu_2004@163.com

白玉川,冀自青,徐海玨.擺動河槽水動力穩定性特征分析.力學學報,2017,49(2):274-288

Bai Yuchuan,Ji Ziqing,Xu Haijue.Hydrodynamic instability characteristics of laminar fl w in a meandering channel with moving boundary.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(2):274-288