高中函數定義存在的問題與修訂建議

趙思林++王佩++徐小琴

摘 要 分析了人教A版函數定義存在的幾個問題：一是教材中函數定義違背了“定義要相稱”的規則；二是定義中同一個符號或字母的意義不完全同一；三是教材中函數定義的敘述不夠簡明。針對這些問題，對函數定義提出了修訂建議。

關鍵詞 函數定義 下定義 修訂

數學對于人思維培養最重要的作用在于培養人的理性思維（精神），而培養人的理性思維（精神）最根本的實現路徑是培養人的邏輯思維。概念、判斷和推理是邏輯思維的三大基本形式，其中概念是邏輯思維最基本的形式，可以說概念是邏輯思維的細胞。數學概念是數量關系和空間形式的本質屬性或特征在人腦中的反應。函數作為研究變量之間關系的科學，在數學中占有極其重要的地位。“函數是數學的靈魂”（克萊因語）[1]。函數作為數學中最核心的基本概念之一，不僅是高中數學最重要的一條教學主線，而且是培養學生邏輯思維十分寶貴的教學素材。因此，函數定義具有較高的教育價值和研究價值。

對高中函數定義本身存在的邏輯問題，至今尚未看到相關的研究與文獻。本文對函數定義本身存在的邏輯問題提出質疑，并作一些分析和探討。為研究簡單，以目前全國使用最多的人教A版高中數學教材（必修1）（以下簡稱教材）為例，對教材中函數定義存在的邏輯問題進行了分析，提出了修訂意見。

一、函數定義存在的問題

教材中函數定義為：設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數（function），記作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域（domain）；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域（range）[2]。

研究數學概念的一項重要工作是給概念下定義。按照邏輯學的要求，下定義必須遵守4條規則：“定義要相稱，定義不得循環，定義要簡明即簡單、明確，定義一般不用否定形式”[3]。其中，定義要相稱是指定義項的外延與被定義項的外延必須相等。十三院校協編組編寫的《中學數學教材教法總論》（第二版）第121頁也寫了這4條規則，并對“定義應簡明”作了解釋，即“定義中不應列舉非本質屬性或者多余的詞語”[4]。這4條規則是判斷一個定義是否存在邏輯問題的重要標準。學科教學專家和中學一線教師在編寫教材或使用教材時應該示范性地遵守下定義的4條規則。

筆者依據下定義必須遵循的規則，結合自己的思考發現，教材中函數定義違背下定義的兩條規則，即違背了“定義要相稱”和“定義要簡單、明確”。由此推知，教材中函數定義存在三個問題：一是教材中函數定義違背了“定義要相稱”的規則；二是定義中同一個符號或字母的意義不完全同一，具體表現在定義中有些相同字母的意義不盡同一或一致；三是教材中函數定義的敘述不簡明。

1.教材中函數定義違背了“定義要相稱”的規則

函數按自變量的個數分類，可以分為一元函數和多元函數，因此，“函數”概念的外延等于“一元函數”的外延加“多元函數”的外延。從函數定義的字面意義來看，被定義項是“函數”，而定義項是“一元函數”，因此，被定義項的外延不等于定義項的外延，這就違背了“定義要相稱”的規則。被定義項是“函數”還意味著，這里的“函數”可以是“一元函數”也可以是“多元函數”，很顯然，被定義項的外延擴大了。例如，z=x-2y或f（x，y）=x-2y是函數嗎？這顯然是一個二元函數，當然是函數。但如果用上述定義判斷，z=x-2y不是函數，這顯然是荒謬的。因為教材中函數定義實質上是“一元函數”的定義，而不是“多元函數”的定義。所以，荒謬是用“一元函數”的定義去判斷二元函數造成的。因此，筆者建議，高中函數定義應指明：“那么就稱f：A→B為從數集A到數集B的一個一元函數，簡稱為函數”，加上“一元”二字就保證了“定義要相稱”。

2.定義中同一個符號或字母的意義不完全同一

按照邏輯學的要求，在一個定義中，同一個詞語、同一個符號它們的意義（含義）必須保持同一性，也就是應該保持前后一致。

定義中x共出現了9次，其意義不完全同一或不完全一致。x第一次出現在“一個數x”或“任意一個數x”，這里的x是一個數；x第二次出現在“數f（x）”，這里的f（x）表示一個數，那么x也是數，但這里x的有多少個呢，情況是非常復雜的；第三、四次x出現在“y=f（x），x∈A”，這里的x是自變量。可以看出，x有時是一個數，有時是自變量。還需要思考的問題是，定義中x出現的次數能夠減少嗎？

字母A出現了7次。第一次出現在“設A、B是非空的數集”，第二次的表述變成“集合A”。很明顯，第二次的“集合”比第一次的“數集”范圍擴大了，造成這兩次的表述不一致。筆者建議，將兩次的表述都統一寫成“數集”，也可以把第二次的表述“集合A”簡化為“A”。還需要思考的問題是，定義中A出現的次數能夠減少嗎？

符號f（x）共出現了3次。第一次出現在“在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應”，這里的“數f（x）”中的f（x）是數；第二次出現在“記作y=f（x），x∈A”中，這里的f（x）是“函數”；第三次出現在“函數值的集合{y=f（x）|x∈A}叫做函數的值域”，這里的f（x）是集合的代表元，是函數值。總之，f（x）第一次是表示數、第二次表示函數、第三次表示函數值，它們的含義不盡相同。筆者建議，在函數定義第一學時的課中不需把符號{y=f（x）|x∈A}呈現出來，或在定義中根本就不出現符號{y=f（x）|x∈A}，這有利于分散教學難點，降低學習難度。還需要思考的問題是，定義中f（x）出現的次數能夠減少嗎？

3.教材中函數定義的敘述不簡明且難懂

下面兩則是其他文獻對函數的定義：

給定非空實數集合X、Y，給定對應關系f，如果 X中每一個元素x，根據對應關系f，都有Y中唯一確定的元素f（x）與之對應，那么我們就把此對應關系f叫做集合X到集合Y的函數，或把f：X→Y或y=f（x）稱為一個函數[5]。

1837年，德國數學家狄里克萊的定義是“如果對于x的每一個值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數”[6]。

對應關系是函數的本質，描述對應關系的語句是函數定義的精髓。在敘述對應關系時一般有“如果X中每一個元素x，根據對應關系f，都有Y中唯一確定的元素f（x）與之對應” [5]，或“如果對于x的每一個值，y總有完全確定的值與之對應”[6]，或“使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應”[2]等語句出現，這些語句一般分成兩句或三句，最后幾個字往往都能提取出相同或相近的說法“f（x）與之對應”“值與之對應”“f（x）和它對應”，這些敘述有點繞，容易產生歧義。以教材中函數定義為例來分析，“f（x）和它對應”中的“它”顯然是指x，就是說f（x）和x對應。由此問題就出來了是“f（x）對應x”呢？還是“x對應f（x）”呢？按“f（x）和它對應”的字面意思，應理解為“f（x）對應x”，但定義的本意是“x對應f（x）”。因此，筆者建議，把“使對于集合A中的任意一個數，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應”改為：“使A中的任意一個數都對應著B中唯一確定的數”，也可以改為“使A中的每一個數都對應著B中唯一確定的數”，這樣表述就簡潔、順暢了。

按照“定義應簡明，即定義中不應列舉非本質屬性或者多余的詞語”[4]的要求，定義中不應列舉非本質屬性的詞語、字母、符號，應盡可能地減少同一個詞語或字母或符號出現的次數。教材的函數定義中，x共出現了9次、字母A出現了7次、符號f（x）出現了3次。同一個字母或符號多次出現，就遠遠達不到“定義應簡明”的要求。怎樣才能達到“定義應簡明”的要求呢？一個簡單的做法是，盡可能地減少同一個字母或符號或詞語出現的次數，可要可不要的字母或符號或詞語就一定不要讓它出現。同一個字母或符號或詞語出現的次數越少，定義的敘述就越簡明，且同一個字母或符號或詞語的含義就越能保持同一性。

二、函數定義的修訂建議

針對上述問題，在給函數下定義時應注意以下幾點：一是高中函數定義應指明是一元函數，并簡稱為函數；二是減少x、 A、f（x）等符號出現的次數；三是文字敘述不能有歧義；四是必須遵循下定義的4條規則；五是要注意定義中同一詞語意義的同一性，相同符號含義的一致性，語言表述的準確性和簡單性等。基于此，對函數定義提出修訂建議。

函數定義（修訂建議）：設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使A中的每一個數都對應著B中唯一確定的數，那么就稱f：A→B為一個一元函數，簡稱為函數，記作y=f（x），x∈A。其中，x叫做自變量，A叫做函數的定義域，與自變量的取值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。

在該函數定義中，x出現了2次， A出現了4次，f（x）只出現1次。利用該函數定義，函數的本質可簡述為：自變量在定義域中的每一個值都對應并且只對應一個函數值，即自變量在定義域中的每一個值都有且只有一個函數值。認識這一本質，函數就容易理解了。

參考文獻

[1] 卡茨.數學史通論[M]（第二版）. 李文林， 鄒建成，胥鳴偉，譯.北京：高等教育出版社，2004.

[2] 劉邵學，等.普通高中課程標準實驗教科書數學必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2004.

[3] 翁凱慶. 數學教育概論[M]. 成都：四川大學出版社，2007.

[4] 十三院校協編組.中學數學教材教法總論[M]（第二版）. 北京：高等教育出版社，1987.

[5] 武錫環，郭宗明.數學史與數學教育[M].西安：電子科技出版社，2003.

[6] 彭林，童紀元. 借助函數概念的發展史引入函數概念[J]. （人大復印）初中數學教與學，2011，（9）.

【責任編輯 郭振玲】