一類廣義Markov跳變隨機反應擴散神經網絡的穩定性研究

呂天石，甘勤濤

(軍械工程學院基礎部，河北 石家莊 050003)

一類廣義Markov跳變隨機反應擴散神經網絡的穩定性研究

呂天石，甘勤濤

(軍械工程學院基礎部，河北 石家莊 050003)

廣義神經網絡； 反應擴散； Markov跳變； 隨機干擾； 混合時滯； Lyapunov泛函

基于神經網絡的基本變量，神經網絡可分為局域神經網絡和靜態神經網絡。ZHANG等[1]研究表明：只有當神經網絡的負反饋矩陣和連接權矩陣是可交換的且連接權矩陣是非奇異矩陣時，局域神經網絡與靜態神經網絡才是等同的。因此，局域神經網絡的動力學分析結果并不能完全適用于靜態神經網絡，這在很大程度上限制了神經網絡的理論研究和應用。此外，在神經網絡的實現過程中，由于信號傳輸的速度以及放大器的切換速度皆有限，會不可避免地產生時滯，同時模擬神經網絡的電子電路在不均勻的磁場環境下工作時也會產生電子的擴散效應。因此，有必要將時滯和反應擴散引入到神經網絡中。

1 問題描述

設{rt,t≥0}為定義在完備概率空間(Ω,F,P)(帶有滿足通常條件的自然流{Ft}t≥0，即右連續性和F0包含所有P零測集)上取值于有限狀態空間S={1,2,…,N}右連續的Markov過程，其轉移概率為

(1)

考慮具有混合時滯的廣義Markov跳變隨機反應擴散神經網絡，即

ζ,x)dt+W1(rt)f(W0y(t,x))dt+

W2(rt)f(W0y(t-τ,x))dt+W3(rt)×

σ(rt,t,y(t,x),y(t-τ,x))dω(t)。

(2)

通過分析式(2)可以看出：當W1(rt)=W2(rt)=W3(rt)=I時(I表示適當階數的單位矩陣)，為靜態神經網絡；當W0=I時，為局域神經網絡。因此，式(2)可稱為具有混合時滯的廣義Markov跳變隨機反應擴散神經網絡，以下簡稱神經網絡(2)。

(3)

初始條件

(4)

為方便證明，記rt=i時，A(rt)=Ai，W1(rt)=W1i，W2(rt)=W2i，W3(rt)=W3i。證明神經網絡(2)的全局均方魯棒漸近穩定性需要用到的假設、引理和定義如下：

假設1： 存在正定對角矩陣H,使得激勵函數f(u)滿足Lipschitz條件，即

fT(u)f(u)≤uTH2u。

假設2：存在正常數ρ1和ρ2，使得不等式

trace[σT(t)σ(t)]≤ρ1yT(t,x)y(t,x)+

ρ2yT(t-τ,x)y(t-τ,x)

成立，其中trace[·]表示矩陣的跡。

引理2[10]：對給定的向量x∈Rn，y∈Rn，存在ε>0,使得不等式

xTy+yTx≤εxTx+ε-1yTy

成立。

定義1[11]：如果存在正常數κ,使得不等式

2 主要結果

(5)

成立，則神經網絡(2)是全局均方魯棒漸近穩定的。式中：X

證明：對神經網絡(2)構造正定的Lyapunov泛函

V[t,y(t,x),rt=i]=Vi[t,y(t,x)]=

V1i[t,y(t,x)]+V2i[t,y(t,x)]+V3i[t,y(t,x)]+

V4i[t,y(t,x)]+V5i[t,y(t,x)],

(6)

定義運算

(7)

式(6)、(7)中：

V1i[t,y(t,x)]=∫ΩyT(t,x)Piy(t,x)dx；

f(W0y(s,x))dsdθdx；

W1(rt)f(W0y(t,x))dt+W2(rt)f(W0y(t-

PiAiy(t-ζ,x)dx+∫ΩfT(W0y(t,x))W1iTPiy(t,x)dx+

∫ΩyT(t,x)PiW1if(W0y(t,x))dx+∫ΩfT(W0y(t-τ,x))×

W2iTPiy(t,x)dx+∫ΩyT(t,x)PiW2if(W0y(t-τ,x))dx+

Piσ(rt,t,y(t,x),y(t-τ,x));

(8)

∫ΩyT(t-ζ,x)Qy(t-ζ,x)dx;

(9)

∫ΩyT(t-τ,x)Ry(t-τ,x)dx;

(10)

(11)

f(W0y(s,x))μdsdx；

(12)

(13)

由邊界條件(3)、格林公式及引理1，可知：

-2∫ΩyT(t,x)PiDπy(t,x)dx。

(14)

根據引理2和假設1可知：存在正常數ε1和ε2，正定對角矩陣H1和H2，使得不等式

∫ΩfT(W0y(t,x))W1iTPiy(t,x)dx+

∫ΩyT(t,x)PiW1if(W0y(t,x))dx≤

∫Ωε1fT(W0y(t,x))f(W0y(t,x))dx+

(15)

∫ΩfT(W0y(t-τ,x))W2iTPiy(t,x)dx+

∫ΩyT(t,x)PiW2if(W0y(t-τ,x))dx≤

∫Ωε2fT(W0y(t-τ,x))f(W0y(t-τ,x))dx+

∫Ω[ε2yT(t-τ,x)W0TH22W0y(t-τ,x)+

(16)

(17)

成立。

根據假設2可知：存在正常數ρ1和ρ2，使得不等式

∫ΩσT(rt,t,y(t,x),y(t-τ,x))Piσ(rt,t,y(t,x),

y(t-τ,x))dx≤∫Ωλi[ρ1yT(t,x)y(t,x)+

ρ2yT(t-τ,x)y(t-τ,x)]dx

(18)

成立。

結合式(8)-(18)，可得

ηT(t,x)Λη(t,x),

其中

因為Λ

Λ+diag(κI,O,O,O)

則有

(19)

對式(19)兩邊取期望，可得

因此，結合定義1可知:神經網絡(2)是全局均方魯棒漸近穩定的，即定理1得證。

3 數值模擬

令y(t,x)=(y1(t,x),y2(t,x))T，考慮如下具有混合時滯的廣義Markov跳變隨機反應擴散神經網絡，即

W1(rt)f(W0y(t,x))dt+W2(rt)f(W0y(t-τ,x))dt+

y(t-τ,x)]dω(t)。

(20)

其設定參數為

初始條件為

y1(t,x)=0.13{1+[t-τ(t)]/π}cos(x/π),

y2(t,x)=0.21{1+[t-τ(t)]/π}cos(x/π),

其中(t,x)∈[-0.35,0]×Ω。

顯然，H1、H2、P1、P2、Q和R是正定對角矩陣。因此，結合定理1可知式(20)可稱為具有全局均方魯棒漸近穩定的神經網絡，以下簡稱“神經網絡(20)”。

根據神經網絡(20)及其設定參數和初始條件，模式i=1、2時神經網絡的時間響應圖分別如圖1、2所示。可以看出：當選取滿足線性矩陣不等式(5)的相應參數和激勵函數時，具有Markov跳變參數、隨機干擾和混合時滯的廣義反應擴散神經網絡是全局漸近穩定的。

圖1 模式i=1時神經網絡的時間響應圖

圖2 模式i=2時神經網絡的時間響應圖

4 結論

筆者研究了一類具有混合時滯的廣義Markov跳變隨機反應擴散神經網絡，利用Lyapunov穩定性理論得到了神經網絡系統的全局魯棒均方漸近穩定性判據，并通過數值模擬說明了所得結論的有效性。與以往結果相比，所得結果保守性較低，具有更廣泛的適用范圍，應用價值在一定程度上有所提高，給網絡設計帶來方便。

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(責任編輯:尚菲菲)

Research on Stability for a Class of Generalized Markovian Jumping Reaction-diffusion Neural Networks

Lü Tian-shi,GAN Qin-tao

(Department of Fundamental Courses,Ordnance Engineering College,Shijiazhuang 050003,China)

By constructing some suitable Lyapunov functionals and calculating the stochastic derivative of these Lyapunov functionals along neural networks using differential formula,the global mean square and asymptotic robust stability for a class of generalized Markovian jumping stochastic reaction-diffusion neural networks with mixed delays is discussed under Dirichlet boundary conditions.The obtained criteria not only depend on delays but also depend on diffusion coefficients and diffusion spaces.Finally,a numerical example is provided to show the validity of the obtained results criteria.

generalized neural networks; reaction-diffusion; Markovian jump; stochastic perturbation; mixed delays; Lyapunov functionals

1672-1497(2017)01-0105-06

2016-11-20

國家自然科學基金資助項目(61305076)

呂天石(1990-)，男，碩士研究生。

O175.13

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2017.01.022