裝備對抗目標的隨機灰色期望值分配模型

柯宏發，柯肇敏，祝冀魯

(1.裝備學院復雜電子系統仿真重點實驗室，北京 102206； 2.中國礦業大學(北京)化學與環境工程學院，北京 100083)

裝備對抗目標的隨機灰色期望值分配模型

柯宏發1，柯肇敏2，祝冀魯1

(1.裝備學院復雜電子系統仿真重點實驗室，北京 102206； 2.中國礦業大學(北京)化學與環境工程學院，北京 100083)

針對裝備對抗目標分配問題中的隨機、灰色雙重不確定性，建立了裝備對抗目標的隨機灰色期望值分配模型。首先，給出了隨機灰色變量的定義，研究了隨機灰色變量的加(減)、乘、除、大小關系運算和期望值算法；其次，建立了裝備對抗目標的多目標隨機灰色期望值模型和標準隨機灰色期望值目標規劃模型；最后，給出了電子裝備偵察地域的隨機灰色期望值分配實例，并將其轉化為一般灰色線性規劃模型進行求解。結果表明：該模型可應對裝備對抗目標分配問題中的隨機灰色特征，在目標分配領域具有潛在的應用價值。

裝備對抗目標； 目標分配模型； 不確定性； 期望值； 隨機灰色變量； 灰色線性規劃

隨著裝備的體系化、信息化、網絡化發展，戰場環境復雜多變，涌現性多，不確定程度高，裝備對抗目標分配成為裝備體系化、網絡化優化配置的關鍵，也是多武器無縫鏈接與協同、實現一體化火力打擊的有效方式。建立裝備對抗目標分配模型可使得有限的武器裝備資源實現協同配合、整體優化，從而獲得最佳的對敵目標作戰效果。裝備對抗目標的分配問題涉及分配機制、分配模型和求解算法等[1-2]，分配模型與求解算法更是其中的研究熱點，其中：KE等[3]提出了貧信息下作戰目標的GM(1,1)分配模型；HU等[4]提出了一種編組無人機作戰目標的層次式分配模型。

由于武器裝備與作戰目標的對抗過程中存在大量灰色、隨機、模糊等單式不確定性，也存在模糊隨機、灰色隨機、隨機灰色等混合不確定性現象，因此在不確定性環境下研究裝備對抗目標分配問題比較符合實際背景，也取得了諸多研究成果[5-8]。如：筆者課題組[5]針對電子裝備試驗訓練過程中存在隨機性特征參數的問題，分別建立了電子偵察裝備的單目標和多目標隨機期望值分配模型，并給出了目標規劃方法和遺傳算法求解步驟；范成禮等[8]針對反導目標分配優化問題中存在的不確定性特征，引入模糊隨機規劃理論，建立了基于模糊隨機規劃的反戰術彈道導彈的目標分配優化模型。盡管在武器裝備對抗目標分配問題中可采用隨機變量[9-10]描述裝備的作戰能力，但由于對裝備作戰對象、作戰環境等信息很難完全掌握，大部分情況下缺乏大量的統計數據，難以確定作戰能力的均值和方差，因此單純地采用隨機變量描述裝備的作戰能力就會產生較大的局限性，這時可采用需要較少統計數據的灰色變量進行描述?；诖?，針對裝備對抗目標分配問題中的隨機、灰色雙重不確定性，筆者利用隨機灰色變量來描述隨機灰色現象，從而建立裝備對抗目標的隨機灰色期望值分配模型。

1 隨機灰色變量

1.1 隨機灰色變量的定義

借鑒隨機模糊變量的相關定義[11]，筆者認為：隨機灰色變量是從灰色變量空間到隨機變量空間構成的背景或論域的可測函數，其實質是一個取值為隨機變量的灰色變量。

定義1：假設ξ是一個從灰色概率空間(Ω,F,P)到隨機變量論域的函數，若函數f(ξ)是灰色概率空間(Ω,F,P)上的可測函數，則稱ξ為一個隨機灰色變量。

假設某型號電子偵察裝備對某頻段內信號的偵察概率p服從正態分布，即有p～N(p′,δ2)，其中參數p′通常希望通過試驗采集樣本進行統計估計，但實質上難以采集足夠的數據樣本，很多情況下給出一個信息不完全情況下的灰數，這時的偵察概率p就是一個取值為正態隨機變量的隨機灰色變量。

假設參數p′通過n種不同可能性前提下的灰數進行表達，即有

(1)

則p就是一個n維隨機灰色變量。式(1)在實際工程應用中等價表達為

(2)

假設ξ是一個灰色概率空間(Ω,F,P)上的隨機灰色變量，如果對于每一個φ∈Ω，期望值E[ξ(φ)]是一個從灰色概率空間(Ω,F,P)到區間灰數集的函數，則E[ξ(φ)]是灰色概率空間(Ω,F,P)的一個灰色變量。

定義2：假設η是一個灰色概率空間(Ω,F,P)上的隨機灰色變量，u是一個隨機變量，v是灰色變量，并且

ξ(ω)=η(ω)+u,?ω∈Ω，

(3)

如果pos{ξ(ω)∈Ω}是ω在灰色概率空間(Ω,F,P)上的可測函數，則稱ξ=η+u為一個隨機灰色變量。類似地，假設

ξ(ω)=η(ω)v,?ω∈Ω，

(4)

如果pos{ξ(ω)∈B}是ω在灰色概率空間(Ω,F,P)上的可測函數，則稱ξ=ηv為一個隨機灰色變量。

1.2 隨機灰色變量的數學運算

假設ξ和η是2個相互獨立的、維數分別為n和m的隨機灰色變量，其中

隨機灰色變量的加(減)、乘、除和大小關系運算如下：

1)加(減)運算

對于隨機灰色變量ξ和η的加(減)運算，即求?=ξ±η。由于ξ為n維隨機灰色變量，η為m維隨機灰色變量，則其和(差)?為mn維隨機灰色變量，即

?=ξ±η=

(5)

由式(5)容易看出：隨機灰色變量ξ和η的加運算滿足交換律，即ξ+η=η+ξ；隨機灰色變量ξ、η和χ的加運算滿足結合律，即(ξ+η)+χ=ξ+(η+χ)。

2)乘運算

對于隨機灰色變量ξ和η的乘運算，即求?=ξη。由于ξ為n維隨機灰色變量，η為m維隨機灰色變量，且二者相互獨立，則其乘積?為mn維隨機灰色變量，并有

?=ξη=

(6)

由式(6)容易看出：隨機灰色變量ξ和η的乘運算滿足交換律，即ξη=ηξ；隨機灰色變量ξ、η和χ的乘運算滿足結合律，即(ξη)χ=ξ(ηχ)。

3)除運算

同理，對于隨機灰色變量ξ和η的除運算?=ξ÷η，?也為mn維隨機灰色變量，其表達式類似于式(6)，將ξη置換為ξ/η，ξiηj(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)置換為ξi/ηj即可。

4)大小關系

對于隨機灰色變量ξ，如果有min(ξ1,ξ2,…,ξn)>0成立，顯然有ξ>0；若ξ1=ξ2=…=ξn=0，則有ξ=0；若max(ξ1,ξ2,…,ξn)<0，則有ξ<0。同樣，在武器裝備對抗目標分配問題中，大多數情況是討論ξ>0時的隨機灰色變量。

對于任意隨機灰色變量ξ、η和χ，令ξ=η-χ，若有ξ>0、ξ=0或ξ<0成立，則定義η>χ、η=χ和η<χ。但在實際工程應用中，更多的是min(ξ1,ξ2,…,ξn)<0和max(ξ1,ξ2,…,ξn)>0的情況，從樣本概率的角度出發，給出如下定義。

定義3：假設2個隨機灰色變量ξ和η，并有

令

(7)

則有

(1)若P(ξ-η>0)=αβ，則稱ξ>η；

(2)若P(ξ-η>0)=0，則稱ξ≤η；

(3)若00)<αβ，則稱ξ>η的概率為P(ξ-η>0)。

1.3 隨機灰色變量的期望值

定義4：假設ξ是定義在灰色概率空間(Ω,F,P)上的隨機灰色變量，則稱

(8)

為隨機灰色變量ξ的期望值(為了保證隨機灰色變量ξ的期望值有意義，要求式(8)右端2個積分中至少有1個有限)。

定義5：假設ξ是定義在灰色概率空間(Ω,F,P)上的隨機灰色變量，并有

則稱灰數

(9)

為隨機灰色變量ξ的期望值。

對于2個相互獨立的隨機灰色變量ξ、η，根據定義5，容易證明其期望值有下列性質：

1)E[ξ+η]=E[ξ]+E[η]；

2)設a、b為實數，則有E[aξ+b]=aE[ξ]+b；

3)由于ξ、η相互獨立，則有E[ξη]=E[ξ]E[η]；

4)假設E[ξ]>E[η]，則有ξ>η。

定義6：假設ξ是定義在灰色概率空間(Ω,F,P)上的隨機灰色變量，且其期望值E[ξ]有限，則稱

V(ξ)=E[(ξ-E[ξ])2]

(10)

為隨機灰色變量ξ的灰色方差。

根據期望值E[ξ]的定義，有

V(ξ)=E[ξ2]-(E[ξ])2=

(11)

很顯然，由式(11)可證明灰色方差V(ξ)具有下列性質：

1)設a為實數，則有V(aξ)=a2V(ξ)；

2)假設ξ、η相互獨立，則有V(ξ±η)=V(ξ)±V(η)。

2 隨機灰色期望值規劃模型

隨機灰色規劃是在隨機灰色環境中的優化理論，可通過隨機灰色規劃建模解決含有隨機灰色信息的優化問題。為了使決策在期望約束下得到最大(或最小)的期望效益，定義隨機灰色期望值分配模型的標準形式為

maxE[f(x,ξ)]，

(12)

st.E[gk(x,ξ)]≤0,k=1,2,…,K。

(13)

式中：x為一個決策向量；ξ為一個隨機灰色向量；f(x,ξ)為目標函數；gk(x,ξ)為隨機灰色約束函數。

在裝備對抗目標分配問題中，常常涉及到多個期望目標，這時可建立的多目標隨機灰色期望值模型為

max(E[f1(x,ξ)]，…，E[fL(x,ξ)]),

(14)

st.E[gk(x,ξ)]≤0,k=1,2,…,K。

(15)

式中：fl(x,ξ)(l=1,2,…,L)為目標函數。

為了平衡多個目標的沖突，指揮控制系統可根據各個不相容目標的重要程度對其進行等級劃分，并按照這個順序盡可能滿足更多的目標。這種思路是多目標規劃的建模思想。基于隨機灰色環境下的多目標規劃建模思想，建立標準的隨機灰色期望值目標規劃模型，即

(16)

(17)

3 電子裝備偵察地域的隨機灰色期望值分配實例

在電子裝備的對抗目標分配問題中，除了對電子裝備的對抗目標進行規劃外，由于對抗目標的地域差異，通常還需要對其作戰地域進行規劃。但在實際的目標分配方案設計活動中，電子裝備針對具體作戰地域的作戰能力缺乏具體的描述數據，只能通過以往的少量經驗數據進行估計，給出的估計數據大多數情況下符合隨機灰色環境。

例如，基于偵察效能進行電子偵察裝備的偵察地域分配。該電子偵察系統包括Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型3種類型各8、13、10套，共31套的電子偵察裝備需要分配，以對A、B、C、D四個地域內的信號進行偵察，分配關系如圖1所示。為了確定電子偵察裝備分配使用的最優計劃，這里用8個規劃變量來表示電子偵察裝備的一個分配方案。其中：x11、x12、x13表示Ⅰ型電子偵察裝備分配給地域A、B和C的數量；x22、x23、x24表示Ⅱ型電子偵察裝備分配給地域B、C、D的數量；x31、x34表示Ⅲ型電子偵察裝備分配給地域A、D的數量。

圖1 電子偵察裝備分配關系

電子偵察裝備對作戰地域的偵察效能用信號偵察概率來表示，利用隨機灰色變量描述3種類型電子偵察裝備對A、B、C、D四個地域內信號偵察概率p11、p12、p13、p22、p23、p24、p31、p34，它們分別表示為

為了實現對A、B、C、D四個地域內敵方信號進行最大概率條件下的偵察，需要確定4個地域內信號的偵察概率條件，分別用隨機灰色變量ξ1、ξ2、ξ3、ξ4表示。假設其表達式分別為

對電子偵察裝備進行分配，以滿足對4個地域內信號的偵察需求，規劃目標是使電子偵察系統的偵察效能達到最大，可建立的隨機灰色期望值模型為

x22E[p22]+x23E[p23]+x24E[p24]+

x31E[p31]+x34E[p34])。

根據隨機灰色變量期望值模型，可以得到：E[p11]=0.835，E[p12]=0.8，E[p13]=0.74，E[p22]=0.7，E[p23]=0.815，E[p24]=0.805，E[p31]=0.79，E[p34]=0.78；E[ξ1]=4.9，E[ξ2]=5.3，E[ξ3]=4.6，E[ξ4]=5.2。上述隨機灰色期望值模型轉化為一般灰色線性規劃模型為

0.815x23+0.805x24+0.79x31+0.78x34)。

其解為

即分配給地域A、B、C的Ⅰ型電子偵察裝備數量分別為4、4、0，分配給地域B、C、D的Ⅱ型電子偵察裝備數量分別為4、7、2，分配給地域A、D的Ⅲ型電子偵察裝備數量分別為5、5。X中“-”表示某類型裝備與相應地域之間無作用關系。在這種分配模式下，電子偵察系統對A、B、C、D四個地域內的平均信號偵察概率為0.790 5。

本例若用隨機變量直接描述電子偵察裝備的信號偵察概率，在使電子偵察系統的偵察效能達到最大目標下，可建立的隨機期望值模型為

其解為

這時，電子偵察系統對A、B、C、D四個地域內的平均信號偵察概率為0.771 8，而采用隨機灰色變量時平均信號偵察概率為0.790 5，這種分配模式下電子偵察系統的平均信號偵察概率得到了提高。另外，若以隨機變量直接描述4個地域內信號的偵察概率條件時，本例將無最優解。

4 結論

針對裝備對抗目標分配問題中隨機、灰色雙重不確定性特征，建立了裝備對抗目標的多目標隨機灰色期望值分配模型和多目標情形下標準隨機灰色期望值目標規劃模型。實例結果證明：隨機灰色期望值模型是處理隨機灰色現象的有效方法，可有效應對裝備對抗目標分配問題中的隨機灰色特征。但除了關心期望值的最大化或最小化之外，往往也需要考慮可靠性問題，即決策事件發生的概率(或置信度問題)，這時需要建立隨機灰色背景下的隨機機會約束規劃、隨機相關機會規劃[11]等模型，這是下一步有待深入探討的問題。

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[11] 劉寶碇，趙瑞清，王綱．不確定規劃及應用[M]．北京：清華大學出版社，2003.

(責任編輯：尚菲菲)

Equipment Target Assignment Model Based on Random Grey Expected Value

KE Hong-fa1，KE Zhao-min2，ZHU Ji-lu1

(1.Key Laboratory of Complex Electronic System Simulation,Equipment Academy,Beijing 102206,China;2.College of Chemical and Environmental Engineering,China University of Mining & Technology(Beijing),Beijing 100083,China)

According to analysis about complex uncertainty of random grey feature for equipment target assignment,an equipment target assignment model based on random grey expected value is proposed.Firstly,the definition is given,and operational rules including addition,subtraction,multiplication,division,cooperation and expected value,of random grey variables is studied.Secondly,the equipment target model based on multi-objective random grey expected value and the standard objective programming model based on random grey expected value are set up.Finally,an example of assignment model based on random grey expected value for electronic equipment reconnaissance area is given and the model is transformed to general grey linear programming model which is easy to solve.The experimental results indicate that the proposed model can deal with random grey characteristic of equipment target assignment and has potential application value.

equipment target assignment; target assignment model; uncertainty; expected value; random grey variable; grey linear programming

1672-1497(2017)01-0099-06

2016-09-27

軍隊科研計劃項目

柯宏發(1969-)，男，教授，博士。

N949; N941.5

A

10.3969/j.issn.1672-1497.2017.01.021