克萊姆法則的一個推廣

崔春強

摘 要：本文給出了在形式矩陣環Mn（R；s）上，克萊姆法則的一個推廣。

關鍵詞：形式矩陣環；克萊姆法則；s-行列式

1.引言

克萊姆法則（Cramer's Rule）是線性代數中一個關于求解線性方程組的定理。它適用于變量和方程數目相等的線性方程組，是瑞士數學家克萊姆（1704-1752）于1750年，在他的《線性代數分析導言》中發表的。我們將要給出，在形式矩陣環Mn（R；s）上，克萊姆法則依然成立。

環R的雅各布森根，中心，零因子集和單位群分別記為 J（R），C（R），Z（R） 和 U（R）。

2. 主要結果

首先，我們介紹一些必要的定義和引理來輔助定理的證明。

容易驗證，Mn（R；s）構成一個環，我們把它叫做由中心元 s 確定的環 R 上的形式矩陣環。形式矩陣環上的矩陣乘法不同于經典的矩陣乘法，我們有必要作簡單的介紹，例如：

對于二階的情形M2（R；s） ，我們有：

對于三階的情形M3（R；s） ，我們有：

引理1.（[1]，性質 4）設 R 是環，s∈C（R），n≥2。 那么

是一個環同態。

定義2.（[1]，定義 33） 我們把A∈Mn（R；s）的同態像 的行列式叫做形式矩陣環Mn（R；s）上 A 的s-行列式，記為dets（A）。

定義3.（[2]，P 3-4）設A∈Mn（R；s），

其中，Xk，Bk都是Mn（R；s）上的 n 階方陣。 XK的第 k 列是 ，其余位置的元素均為 0。Bk的第 k 列是 ，其余位置的元素均為 0。

我們把 叫做 s-線性方程組，且這個方程組等價于以下方程組：

該方程組可以寫成以下矩陣形式：

定理1（[2]，定理 2.8） 設A∈Mn（R；s），那么det（As，k）=dets（A）。

下面我們給出主要的結論及其一個例子。

定理2（Cramer's rule） 設A∈Mn（R；s）。如果dets（A）∈U（R），那么方程組

有唯一解 ，其中 ，

是把系數矩陣As，k的第 j 列用向量 代替后所得的矩陣。

證明：注意到 等價于As，kX=B，并且dets（A）=det（As，k）。

參考文獻

[1] G. Tang， Y. Zhou， A class of formal matrix rings， Linear Algebra Appl. 438（12）（2013）， 4672-4688.

[2] G. Tang， C. Cui， On Zero-divisors of the Formal Matrix Ring ， J. Guangxi Teachers Education University， 31（1）（2014）， 1-6.