兩種群相互競爭的SEIQV傳染病模型穩定性分析

楊國松

摘要：隨著我國經濟的發展以及社會的進步，使得我國的社會民眾逐漸開始注重自身的健康。而傳染病的出現對社會民眾的身體健康造成了極大的威脅，為此，需要相關的技術人員加強對于傳染病的研究以及分析。本文基于此，對兩種群相互競爭的SEIQV傳染病模型的穩定性進行分析和探討。

關鍵詞：競爭系統；傳染病模型；平衡點；穩定性

傳染病作為一種由各種病原體引起的，能在人類社會進行廣泛傳播的疾病，其在產生的過程中對于人類的身體健康以及社會秩序造成了較大的負面影響。近年來，隨著SARS、AIDS以及禽流感等傳染病的出現，并對社會發展以及人類自身的健康造成了巨大的破壞之后，社會各界逐漸將關注的焦點放在了傳染病的研究以及防治上。事實上，自從上世紀初，Kermark以及Mekendrick首次建立了傳染病模型之后，越來越多的醫療研究人員會借助模型對傳染病進行相關的分析。本文基于此，分析研討兩種群相互競爭的SEIQV傳染病模型的穩定性。

1 建立傳染病模型

在進行兩種群相互競爭的SEIQV傳染病的穩定性的相關研究過程中，需要專業人士構建起相配套的傳染病模型，從而促進相關分析作業的有序開展。在建立傳染病模型的過程中，筆者將所需的兩個研究的種群各分為五個類別，其分別是：易感者群體、潛伏者群體、染病者群體、隔離者群體以及恢復者群體，在模型分析過程中，其以此對應下述的字母表示：分S（t）、E（t）、I（t）、Q（t）、V（t）。其次，為了方便數學模型的建立以及分析，筆者做以下假設：①新出生者均為易感者；②潛伏者不具有傳染性；③恢復者擁有永久免疫力。

此后，在上述的基礎之上，筆者構建出了相關的數學模型，具體內容見圖1。其中，Si（t）、Ei（t）、Ii（t）、Qi（t）以及Vi（t）分別表示在t時刻時，種群i中各類群體的數量。事實上，該數學模型通過簡化計算，可以轉變為圖2所反應的相關數據模型。在該模型之中，其可行域為Ω={（N1，E1，I1，Q1，V1，N2，E2，I2，Q2，V2）T∈R+10∣0≤Ei+Ii+Qi+Vi≤Ni≤Ki，i=1，2}。

2 數據模型分析

在對數據模型進行分析的過程中，筆者引用了二維競爭系統進行分析操作。基于此，筆者得出了相關的結論。

2.1當Ψ2<Φ<Ψ1時（Φ=r1/r2；Ψ1=r1/nK1；Ψ2=mK2/r2；r1、r2指的是種群1、2中患有傳染病人員的恢復了；k1、k2表示的則是種群1、2的環境容納量；m、n則是上述兩個種群之間的競爭系數），二維競爭系統中將會出現O、P、Q、M四個平衡點，而在這四個平衡點中，只有M為內部平衡點。此外，該系統在區域Ω={（N1，N2）T∣0

2.2當Ψ2>Φ>Ψ1時，二維系統中的四個平衡點（O、P、Q、M）中，M點為鞍點，而Q點則在Ω1的區域范圍之間逐漸呈現出穩定的狀態，而P點則是在Ω2的區域范圍之內漸趨穩定。關于該種情況下的平衡點所反應的數據圖，筆者進行了總結以及繪制，其具體內容見圖3。

2.3當Φ>max{Ψ1，Ψ2}時，二維競爭系統中只出現了三個平衡點（O、P、Q）。在這三個平衡點之中，只有P點在區域Ω的范圍內逐漸趨于穩定的狀態。四是當Φ

2.4當Φ

在對平衡點的存在性進行了分析之后，接下來筆者需要對穩定性進行進一步的分析以及確認。

當Ψ2<Φ<Ψ1時，且R2≤1時，平衡點P1在區域Ω1={（N1，E1，I1，Q1，V1，N2，E2，I2，Q2，V2）T∣0≤Ei+Ii+Qi+Vi≤Ni≤Ki，i=1，2，（N1，N2）T∈Ω1}中漸入穩定狀態。而當Ψ2>Φ>Ψ1且R2>1時，平衡點P2在區域Ω2中是整體趨向于穩定的。但是當Φ0}中趨向穩定。

此外，當Ψ1<Φ<Ψ2且R1≤1的情況下，平衡點P3往往會在Ω5={（N1，E1，I1，Q1，V1，N2，E2，I2，Q2，V2）T∣0≤Ei+Ii+Qi+Vi≤Ni≤Ki，i=1，2，（N1，N2）T∈Ω2}中逐漸呈現出趨于穩定的狀態。但是在Ψ1<Φ<Ψ2且R1>1的情況之下，平衡點P4會在區域Ω6中逐漸呈現出穩定的狀態。而Φ>max{Ψ1，Ψ2}且R1≤1的狀況之下，平衡點P3會在區域Ω7中呈現出平穩的狀態。

3 討論

通過建立相關的模型以及上述的分析可以得知：在一定的條件之下，兩個種群之間不存在相互交叉傳染的狀態之下，傳染疾病往往會逐漸消亡；但是若這兩個種群之間出現交叉傳染的狀況，那么傳染疾病會因此而逐漸流行起來。基于這一理論的得出，筆者認為，為了對傳染疾病進行有效的控制，需要相關的醫務科技人員加強對于不同種群之間的交叉傳染，促進人類自身的健康以及社會秩序的穩定，而只有采取了相關的防護措施，才能夠在最大程度上促進我國醫學事業的發展，并由此在最大程度上實現了對于傳染疾病的控制，促進了相關社會效益的取得。

4 結論

本文主要構建了兩種群相互競爭的SEIQV傳染病的模型，并對模型中平衡點的存在性以及穩定性進行了分析和研究，最后又根據相關的分析總結出了結論。通過上文的分析，筆者認為：為了對傳染疾病進行有效的控制，需要我國的醫務科技人員在實際的工作過程中加強對于不同種群之間的交叉傳染，從而實現人類自身的健康以及社會秩序的穩定。促進相關的經濟效益以及社會效益的取得。

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編輯/安樺