一種具有頻率自適應能力的高精度數字積分算法

胡蔚中，杜 衡

(1. 三峽大學 電氣與新能源學院，湖北宜昌443002； 2. 國網山西供電工程承裝公司，山西太原030000)

一種具有頻率自適應能力的高精度數字積分算法

胡蔚中1，杜 衡2

(1. 三峽大學 電氣與新能源學院，湖北宜昌443002； 2. 國網山西供電工程承裝公司，山西太原030000)

為增加空心線圈電子式電流互感器的工程實用性，必須解決其積分環節存在的誤差與干擾問題。因此，在綜合分析數字積分算法原理的基礎上，以梯形積分算法為主體，結合FFT算法測量諧波頻率的的功能，加入曲線擬合原理，設計出一種具有頻率自適應能力的數字積分算法。根據諧波測量和電子式互感器校驗系統的不同要求，提出算法的兩種具體應用方案。仿真測試結果表明所設計算法展示出較好的性能：在電子式電流互感器的諧波信號測量中，可用多項式矯正各次諧波幅值誤差，最終以12.8 kHz的采樣速率使2～50次諧波電流信號計算出的幅值相對誤差控制在0.01%以下。在電子式電流互感器校驗系統中，以2 kHz的采樣速率為例，該算法可有效抵抗電網信號頻率±0.5 Hz波動的干擾，效果明顯優于精度較高的辛普森算法。

諧波測量；數字積分器；梯形算法；電子式電流互感器；積分環節；曲線擬合

0 引言

在電力系統中，由于一些非線性用電設備的存在，使得公用電網中不可避免的存在諧波。諧波污染已經危害到電力系統本身，成為維護電力系統必須解決的重要問題之一，準確地檢測諧波對諧波的抑制和治理有著重要的指導作用[1-4]。但是在公用電網中，被測電流和電壓信號往往不能直接接入諧波測量儀器，需要通過電流互感器或電壓互感器將它們調整到儀器可接收的范圍，這就要求互感器具有準確的變比和良好的頻率特性[5-7]。

如果選用空心線圈和模擬積分器組成的電子式電流互感器，在高壓側設計外積分電路，這個積分電路需要在2.5 kHz以內、溫度變化的條件下穩定工作，對積分電容和積分電阻提出了極高的要求，設計難度較大[8-9]。如果選用數字積分器，利用傳統的矩形、梯形、辛普森等積分算法，當被測信號為標準工頻正弦信號且采樣頻率較高時，這些積分算法都可以達到相應的要求[10-11]。然而，當前的數字積分算法并不能實現對諧波信號的準確積分還原，也無法有效抵抗頻率波動，在計算諧波信號時往往存在著較大的誤差[12-14]。同時，低頻小電流測量中電壓漂移與噪聲干擾問題是數字積分器難以應用于工程現場的重要原因。這無疑會影響后續的諧波準確提取和消除，進而影響電力系統的安全與穩定。雖然通過不斷提高采樣頻率可以降低一定的誤差，但也會同時增加對硬件的要求和運算量，增加電壓漂移發生的可能性。因而需要特制高采樣率的互感器，無法用常規互感器滿足要求。

針對以上問題，本文設計了一種具有頻率自適應能力的數字積分算法，可以在相對較低的采樣頻率下，將空心線圈電子式電流互感器積分環節中諧波幅值的比差降低到0.01%以下。同時，依據該算法設計了一種高精度數字積分器，使電子式電流互感器校驗系統中在通用采樣率時的積分環節誤差大幅度降低，優于較為復雜的辛普森積分算法，有效避免了小電流測量中電壓漂移和噪聲干擾問題。

1 數字積分算法分析與改進

1.1 基本積分算法原理分析

如圖1所示，常規梯形積分算法的基本幾何原理是用梯形ABba的面積來等效曲邊梯形ACBba的面積，進而通過重復累加求出整個積分區間的面積計算積分值。在實際工程中，提高采樣頻率相當于縮小步長即減小區間[a,b]，由圖1可知，區間[a,b]越小梯形ABba的面積S1越接近于曲邊梯形ACBba的面積S0。

圖1 梯形數字積分算法原理

基于該原理，為了降低空心線圈電子式電流互感器的誤差，部分文獻提出設計高運算量的傳遞函數或者增加數字積分器的采樣頻率[15-19]。然而，高采樣頻率同樣會導致對于硬件的高要求和運算量的增加，也會提高對于算法頻率跟蹤能力的要求。同時，這些積分傳遞函數也無法避免數字角頻率極小值處不收斂的共性。越是加倍采樣頻率，減小數字角頻率，就會使傳遞函數越趨于零點，從而使電壓漂移產生的可能性和低頻噪聲的危害性更大。

本文為了降低積分算法的誤差，同時控制采樣頻率在一個合理的范圍，提出在S0和S1之間引入一個調節系數Kxi，根據信號頻率和采樣頻率等因素適當調整計算結果以降低誤差，適當的采樣頻率也可有效降低電壓漂移與低頻噪聲的影響。下面本文將具體分析Kxi的原理與設計過程。

1.2 數字域內梯形算法誤差分析

傳統的積分傳遞函數有復合矩形、梯形、辛普森公式等，其中梯形傳遞函數如下：

(1)

式中：T為采樣間隔。由于傳統積分算法的積分傳遞函數類似公式(1)屬于不收斂的傳遞函數，所以當高采樣頻率下數字角頻率處于極小值輸入信號中含有直流信號或低頻噪聲時，傳遞函數幅值趨于無窮大，很容易導致承擔數字積分硬件工作的微處理器很快溢出。另外，在數字域內有：

(2)

(3)

式中：N為單位周期內的采樣點數；ωi為數字角頻率。

(4)

綜合式(3)、(4)可得出：

(5)

從該公式可知，第i次諧波信號的數字角頻率ωi主要與第i次諧波信號的頻率fi和采樣頻率fs有關。模擬理想積分器的傳遞函數為：

(6)

(7)

定義Ω為模擬角頻率，則模擬角頻率Ω與ωi之間的關系為：

(8)

結合式(6)～(8)，得出梯形數字積分算法幅值絕對誤差公式(9)，再結合公式(5)，可以得出E1(fi，fs)。繪制出幅值絕對誤差E1(fi,fs)如圖2所示。

圖2 梯形積分算法幅值絕對誤差

其中，第i次諧波信號的頻率fi取值范圍在0～500 Hz，采樣頻率fs取值范圍為0～10 kHz。

(9)

同樣有梯形算法相位絕對誤差公式(10)，結合公式(5)，可以繪制相位絕對誤差E2(fi，fs)如圖3所示。

(10)

圖3 梯形積分算法相位絕對誤差

分析圖1、2可知：梯形積分算法隨著ωi的遞增幅值誤差迅速增加，而相位響應除了信號頻率無限趨于零的極小值處有趨于無窮大的漂移外，整個頻帶基本上保持不變。因此，相位響應的極點也是在設計數字積分器時需要考慮的問題。

在工程中，用于保護的CT在IEC60044-8中只能做到最大每周期采樣80點，根據前面所述，N越大，計算結果越精確，為了留有裕量，考察每周期內采樣40點，即采樣率為2 kHz。

設定采樣頻率2 kHz，比較梯形傳遞函數在不同信號頻率下的幅值絕對誤差，如圖4所示。

圖4 固定采樣頻率下幅值絕對誤差

由圖4可知，在固定采樣頻率下，信號頻率越小，幅值響應誤差越小。由于數字積分算法的誤差決定于采樣頻率與信號頻率，由于在實際信號采集過程中采樣頻率通常設為定值，所以幅值響應誤差僅與信號頻率有關。

數字積分器的基本原理：在數字角頻率ωi趨于零時矩形、梯形、辛普森公式的幅頻特性與理想積分算法極為接近。然而事實上，結合圖2與公式(1)可知，設計高采樣頻率的數字積分器雖然可以使其幅值誤差無限趨于零，但也無限接近傳遞函數的極點，然而如果增加數字角頻率以避免極點干擾，低采樣頻率通常無法滿足幅值精度要求。

另外，在常見的工頻信號中，當fs=2 kHz，f1=50 Hz，此時梯形算法幅值絕對誤差E1?0.013 dB。但是諧波頻率隨著諧波次數增加而遞增，所以當諧波次數遞增時幅值誤差迅速增加，當信號為10次諧波f10=500 Hz時E1?0.137 dB，這就是數字積分器測量工頻信號和諧波信號不準確的重要因素。

I=sin(2πfit)

(11)

U=MdI/dt

(12)

在MATLAB M文件中編寫fs=2 kHz的梯形數字積分程序，原始電流信號取公式(11)，微分信號按照公式(12)計算，為方便計算互感系數M取1，基波電流頻率f1為50 Hz，逐次對2～10次諧波進行積分還原仿真實驗，得出的相對誤差如表1所示。

表1 各次諧波比差結果

在電子式電流互感器標準IEC60044-8規定中，不同準確級的電流互感器有各自不同精確度的要求，如：5p級的CT用于常規保護時，額定頻率和諧波頻率下比差分別小于1%和10%，相差小于±60′和10°。另外，根據《公用配電系統供電特性》和GB/T17626.7-2008規定：50次以下諧波相對誤差不應超過5%。分析表1可知，在當前采樣頻率下，7次諧波以上梯形積分算法已經很難滿足比差要求。

對于梯形積分算法，ωi越小幅值響應誤差越小。由圖3可知，除了極小值處的電壓漂移外，在整個頻帶上梯形積分算法相位誤差都極小，信號頻率的變化對于相位響應的影響可以忽略不計，梯形算法這一優良特性是梯形、辛普森數字積分算法在設計空心線圈電子式電流互感器時得到應用的重要原因，因此本文在設計積分還原諧波的算法時僅考慮如何改善幅值響應與避免電壓漂移。

1.3 積分算法改進措施與具體應用方案

1.3.1 積分算法改進措施

綜合以上分析和結論，為降低梯形積分算法在第i次諧波信號測量中的誤差，可以在梯形積分算法中引入第i次諧波的調節系數Kxi，從而根據信號頻率實時調節幅頻響應|HT(jωi)|，從而消除誤差，具體見公式(13)、(14)。該調節系數可以避免相位響應和幅值響應處的極點，同時又合理消除幅值誤差的基礎。原理是采用低采樣率增大數字角頻率以避免極點的干擾，同時補償因角頻率增大產生的誤差以保證精度，有效地降低了因零漂與噪聲而產生微處理器溢出的可能性。

(13)

(14)

重復進行表1的仿真實驗，使用加入調節系數后的數字積分程序，為在保證精度的前提下降低計算量，調節系數Kxi只取5位小數，如表2所示，實驗結果如表3所示。

表2 不同諧波下調節系數表

表3 改進后的諧波比差(Er/10-4%)

對比表1和表3可知，在引入調節系數后，2～10次諧波幅值誤差大幅度降低，基本控制在10-3%以下。通常對于測量用電子式電流互感器而言，校驗系統要求最高，為0.05級，即基頻電流的幅值比差在額定電流時不超過0.05%，而諧波檢測儀器的最高要求則是諧波相對誤差不超過0.15%，所以這一誤差已經滿足所需精度要求，而且留有足夠的裕量。如果有更高的精度需要，可以增加Kxi的小數位來提高準確度。

采樣頻率fs在積分環節中屬于固定值，所以調節系數Kxi僅與第i次諧波的信號頻率fi有關。由于模擬信號與數字信號的差異，在工程中很難直接調用公式(14)，所以下面提出一種使用曲線擬合的方法，設計出直接使用fi作為自變量的誤差矯正函數。

圖5 調節系數Kxi擬合曲線

關于諧波信號頻率的提取方法比較多，其中FFT(快速傅里葉)算法技術成熟，應用較多。當fs=2 kHz時，為了擬合基頻到10次諧波的調節系數并使擬合公式更加準確，取信號頻率范圍10～550 Hz，步長0.01 Hz，繪制調節系數Kxi如圖5所示，由于圖像接近于多項式函數曲線，采用MATLAB CFTOOL工具箱進行曲線擬合。

多項式擬合后與公式(14)的方差對數隨著多項式次數的增加而成線性規律減少，如圖6所示。綜合計算量和精度的要求，為測量50次以下諧波，在12.8 kHz采樣率下，本文選用五次多項式作為矯正公式如式(15)。

Kxi(fi)=8.37×10-6fi4+9.007×10-16fi3-

1.331×10-12fi2+2.157×10-8fi+1

(15)

通過被采樣信號的頻率采集，使得調節系數可以同步進行調整，從而有效反饋給前端，最終使得輸出信號可以最大程度上接近原始信號輸出。在工程實際中，諧波測量設備和電子式電流互感器校驗系統對于基波和諧波的測量要求不同，因此該算法的應用方案需要具體設置。此外，在工程中，通常在數字積分器添加前置信號調理電路，實現去噪、濾波等功能，以使輸入信號的誤差在可接受范圍內。

圖6 擬合多項式方差變化

1.3.2 針對諧波測量的應用方案

在提取出各次諧波信號頻率的基礎上，也可以依據公式(16)直接調整各次諧波幅值有效值，也可以直接調整波形。

(16)

式中：Ii測為用FFT等諧波提取算法在積分還原后提取出的第i次諧波幅值大小；Ii實為第i次諧波實際幅值大小。該方法可以加入諧波提取算法流程中，用于直接修正最后結果，修正后結果如表4所示。因此，如果引入該調節系數，可以將各次諧波幅值的相對誤差控制在0.01%以內。

表4 擬合修正后的相對誤差

為驗證所設計的具有頻率自適應能力的數字積分算法具有精確還原并提取諧波幅值的能力，對所設計的算法流程(如圖7)在MATLAB M文件中進行檢驗與分析。其中，數字積分的傳遞函數仍采取傳統梯形積分方案如公式(1)，僅在最后輸出各次諧波幅值時用多項式函數(15)按公式(16)進行修正。

圖7 軟件流程圖

1.3.3 針對校驗系統的應用方案

針對電子式電流互感器的在線校驗，目的是校準基波幅值與相位，極少關注高次諧波的準確性。因此僅以基波的調節系數作為積分環節的誤差補償方式，取信號頻率波動范圍49.5～50.5 Hz，步長取10-4Hz，擬合調節系數Kx1，由于Kx1曲線為一次函數，直接擬合一次函數公式：

(17)

該擬合公式與實際曲線的方差為4.06×10-13，相關系數為1，相對于公式(15)，采用公式(17)更為簡單有效，因此，根據公式(13)設計出傳遞函數(18)。在梯形積分算法中引入該調節系數后，在測量基頻電流時，所改進的算法與理想積分算法的誤差基本可以予以消除，也可以有效抵抗頻率小范圍波動。

(18)

基于公式(18)設計的數字積分器結構如圖8所示。前置高通濾波器用于消除模數轉換器帶來的直流干擾，積分環節仍舊采取傳統積分方案如公式(1)，不同之處在于，FFT模塊通過1周波的采樣點提取基波信號頻率，代入并求出調節系數Kx1進行調整。增加的模塊可以有效抵抗信號頻率小范圍波動，提高空心線圈電子式電流互感器的性能。

圖8 數字積分器結構

2 積分算法仿真實驗驗證

2.1 諧波測量方案仿真測試

根據采樣定理，要準確還原被測信號，采樣頻率至少是信號頻率的2倍以上，要獲取較高次諧波必須采用適當的采樣頻率，為測量算法對50次以下諧波測量效果，所以仿真實驗采用測量用諧波測量中比較常見的12.8 kHz。為進行對比，同時用梯形積分算法進行測試。記錄實驗結果的幅值相對誤差，測試結果記錄如圖9和圖10所示。

圖9 梯形積分算法測試結果圖

圖10 矯正算法誤差結果圖

圖10說明通過矯正誤差，設計的諧波測量方案可以將測量諧波的誤差降低到0.01%以下。實驗結果顯示，通過所設計的數字積分算法可以對50～2 500 Hz頻段的諧波幅值進行準確測量，相對誤差控制在0.01%以下，有效克服了原有梯形數字積分算法不適合于測量諧波幅值的缺點。

根據公式(14)繪制實際的調節系數如圖11，可以發現，梯形積分算法的誤差結果圖9與所計算的實際的調節系數圖11的曲線極為接近，這可以進一步證明：固定采樣頻率下，梯形積分算法的誤差是成指數規律增長的。因此，所產生的誤差可以通過多項式擬合予以補償，這也從理論方面證明了實際改進措施是有效的。

圖11 調節系數曲線

2.2 校驗系統方案仿真測試

在MATLAB M文件中編寫程序進行仿真實驗，繼續取單位電流信號公式(11)按照公式(12)求微分信號進行測試。

為方便對比，選取具有較高精度的辛普森積分算法進行測試作為對照。同樣將互感系數M取1，采樣頻率取2 kHz，信號頻率取50 Hz，將微分信號分別按照辛普森積分算法和改進后的積分算法進行計算，求出還原信號與原始信號的誤差E，結果如圖12所示。

(19)

圖12 測試結果對比

仿真實驗結果表明：相對于同樣采樣頻率的辛普森積分算法，所設計的數字積分算法對于工頻信號具有更小的誤差。取信號頻率49.5～50.5 Hz，再次用所設計的方案如圖8對電流微分信號做測試，記錄誤差E，結果如圖13所示。

圖13 頻率小范圍波動時誤差對比

由圖13可見，所設計的方案不受小范圍頻率波動的影響，由于頻率波動所產生的幅值誤差基本可以忽略不計。

3 結論

本文針對諧波測量儀器接入公用電網需要互感器作為測量前端，而常用的空心線圈電子式電流互感器無法準確測量諧波，數字積分器因采樣率不足幅值誤差較大的問題進行了研究。根據固定頻率下數字積分算法誤差呈指數規律的原理，本文設計了一種具有頻率自適應的數字積分算法，以12.8 kHz的采樣頻率，實現了頻率范圍在50～2 500 Hz的諧波信號幅值準確測量，相對誤差小于0.01%，足以滿足日常測量需要。另外，依據該算法設計了一種數字積分器，可以選擇通用的采樣率以降低電壓漂移出現的可能性，采樣點的減少同樣會減少干擾噪聲的引入，調節系數的設計又補償了采樣率不足帶來的誤差，保證了測量精度。

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A High Precision Digital Integrator Algorithm with Frequency Self-adaption Ability

HU Weizhong1, DU Heng2

(1. College of Electrical Engineering and New Energy, Three Gorges University, Yichang 443002, China;2. Power Supply Engineering of Shanxi State Grid Corporation, Taiyuan 030000, China)

In order to promote the practical usage of the Rogowski coil electronic current transformer in the harmonic signal measurement, the error problem in the integral part is considered to be essential and urgent to be solved. Therefore, on the basis of comprehensive analysis of the digital integral algorithm, a new digital algorithm with the frequency self-adaption ability is designed in this paper. Combining the principle of curve fitting with FFT algorithm used for measuring signal frequency, the algorithm is designed. The improved algorithm could integrate the differential signal of 2～50 order harmonic component measurement precisely at the sampling frequency 12.8 kHz. The relative error of numerical integral link could be controlled below 0.01%. Finally, an electronic current transformer with frequency compensation ability is designed according to the proposed algorithm. It is effective for resisting the ±0.5 Hz frequency fluctuations and can reduce the noise error.

harmonic measurement; digital integrator; trapezoidal algorithm; electronic current transformer; integral link; curve fitting

10.3969/j.ISSN.1672-0792.2017.02.001

2016-08-18。

三峽大學2016年碩士學位論文培優基金(2016PY041)。

TM452

A

1672-0792(2017)02-0001-08

胡蔚中(1990-),男,碩士研究生,研究方向為數字化變電站設備狀態監測技術。