具有擴散和隨機擾動的捕食-被捕食系統的正解存在性

張嵐+祖力

【摘要】我們將考慮一個具有隨機擾動的捕食-被捕食模型，其中食餌分布在n個斑塊（n≥2）中。對任何正的初始值，我們給出系統存在唯一一個正解和矩有界的充分條件。

【關鍵詞】捕食-被捕食系統 正解存在性

1、介紹

由于捕食-被捕食現象的普遍存在性，學者們越來越多的關注其動態關系。然而，由于人類活動的日益泛濫及環境的急劇變化，許多生物物種的棲息地已被分隔成孤立的斑塊。在這些斑塊中，沒有來自其他斑塊的貢獻，物種就將要滅絕。最近，人口生物學中擴散現象成為物種的生存是一個重要研究的課題。

李和帥考慮了下面的模型

（1.1）

其中，xi , yi分別表示食餌和捕食者的密度。模型中的參數都是非負的常數，ei , εi均是常數。常量 djj是從第j個斑塊到第i個斑塊的擴散率，并且常量aij可以根據不同邊界條件的擴散情況適當選擇。令(dij)表示n×n擴散矩陣。通過構造李雅普諾夫函數,并利用圖論,李和帥證明系統存在唯一一個全局漸近穩定性的一個正平衡點，并得到如果(dij)是不可約的并且存在i使得bi> 0或δi> 0，則正平衡點是存在的結論。

上面提到的模型是一個確定性模型，假設參數的模型不管環境如何變動都是確定不變的。事實上，種群動態是不可避免的受到環境白噪聲的影響,比如天氣和流行疾病。因此,確定性模型往往受到隨機擾動，這是有益于揭示噪聲對人口系統的影響。有一些學者研究了動態隨機擾動的捕食-被捕食模型。但是，直到現在，很少有人研究在白噪聲及擴散影響下捕食-被捕食系統的動態行為。然而，在自然界中，擴散現象和環境白噪聲是普遍存在的。因此,我們要在捕食系統的基礎上研究隨機擾動的影響,本文的研究內容具有重要意義。

本文中我們將考慮 在系統(1.1)每個方程都引入對內稟增長率的隨機擾動：

（1.2）

其中B1i和Bi(t)是相互獨立的布朗運動，正常數σ1i，σ2i分別代表白噪聲的強度。于是，上述隨機系統變為以下形式:

(1.3)

在本文中,我們假定dij是非負的常數，(dij )不可約，并且參數ri , γi , bi , ei , δi , εi 都是正常數。

本文主要利用構造李雅普諾夫函數來證明正解矩有界性。規定當，令( Ω, {Ft }t≥0 ,P) 是一個滿足通常條件{Ft }t≥0的全概率空間 (即，它是右連續的并且F0包含所有零測度集)。令R+2n表示R2n的正錐，即,R+2n={( x1 , y1 ,..., xn , yn ) ∈ R2n： xi > 0, yi > 0,i= 1, 2,..., n}。為了在下面的討論中方便、簡單,令

。

2.全局正解及矩有界性

為了保證一個隨機微分方程具有全局正解（即在任何有限的時間內，不爆破），這個方程的系數通常需要滿足線性增長條件和局部李普希茲條件。然而，隨機微分積分方程(1.3)的系數不滿足線性增長條件，盡管他們是局部李普希茲連續的，所以在有限的時間里方程（1.3）的解可能會爆破。在本文中，我們將證明方程(1.3)的任何正初始值的解不僅是正的，而且在任何有限的時間內也不會的爆破。

定理2.1對于任何給定的初始值X(0) ∈R+2n,隨機隨機微分方程(1.3)都有唯一一個正解X(t)，解在R+2n中的概率為1。

定義2.2隨機隨機微分方程（1.3）的解X(t)稱為是隨機最終有界的,如果對于任何ε∈（0，1），存在一個正常數x(=x(ε))，使得對于任何初始值X(0)∈R+2n，隨機微分方程（1.3）的解X(t)有下面的性質：

（2.1）

引理2.3對于任何給定的初始值X(0)∈R+2n，存在正常數k(p)，pi和qi(i=1,2,……,n)使得隨機微分方程（1.3）的解X(t)具有如下性質:

, , （2.2）

證明：通過伊藤公式和Young不等式，我們計算

和

這里的ki(i=1,2,……，n)是待定的正常數。因此,對于正常數pi，qi我們有

下一步，我們將尋找適當的pi> 0，qi > 0,和ki> 0 ，使得

， （2.3）

事實上, 當m是一個足夠大的正整數，我們只需要0

（2.4）

很明顯 , ，則有

將上式從0到t積分，再求期望，我們得到

因此，令 ，我們有

注意到,這個方程的解

滿足

通過比較定理,我們可以得到

這意味著存在一個T>0，使得

此外，由于 是連續的,所以我們有

令 ，故有

證明完畢。

定理2.4滿足初值問題 的隨機微分方程 (1.3)的解是隨機最終有界的。

證明：由定理2.1可知，解X(t)存在于R+2n的概率為1。令

。

注意到， 和

，因此,可以得到

我們有

應用切比雪夫不等式可得所需的證明。