數形結合知識點解題技巧與體會

李正言

摘要：對于高等數學而言，數形結合可謂是一種極為基礎但同時也非常重要的解題思路與解題方法，學生在初等數學的學習期間便已經與其有了簡短的接觸，接觸高等數學之后，數形結合依然是解決高等數學問題的一條捷徑，通過“數”與“形”的滲透與轉換，抽象的問題得以更加直觀化與生動化，學生不再困擾于抽象思維，而是可以利用形象思維來有效解題。本研究選擇一些常見類型的習題，試探究如何利用數形結合知識來更加有技巧地解題，并總結相關學習體會。

關鍵詞：解題技巧 學習體會 知識點 數形結合

如果說初中階段重在培養學生的解題思路，那么高中階段便重在培養學生的創新思維，可謂是創新思維培養的黃金時期。在高中階段的數學知識學習中，應該充分利用數形結合相關知識點來解題，即基于數學問題的內在原因，將“數”與“形”兩個要素有機結合在一起，從直觀、形象的角度來分析問題，如此可以簡化習題中復雜的數量關系與抽象的數學要素，更簡單地解決數學問題，以揭示其代數意義與幾何直觀意義。

一、以形轉數的解題技巧

例題1：見圖1，假若（X-1）2

解題思路分析：假設f1（x）=（X-1）2，f2（x）=logaX，若要實現（X-1）21的時候，若要確保（X-1）2

總結：圖形雖然比數值更加直觀形象，但是在推理邏輯性與計算正確性上卻有明顯的缺陷，對于需要求得具體數值的問題，如果只用圖形解題將有可能出現錯誤，這時便需要借助“以形轉數”的解題技巧來將圖形轉化為代數語言，從另一條道路上探究問題解決方法。當然，需要注意的是，教師應該告知學生全面思考的重要性，不要遺漏任何已知條件，必須考慮到各種可能性，只有這樣才能獲得完整且正確的計算結果。

二、以數轉形的解題技巧

例題2：>0，為此不等式求解。

解題思路分析：這個不等式帶有根號，直接求解需要經歷復雜的計算過程，其中需要運用到的計算技巧并不是高中階段的數學教學知識點，因此可以將不等式與函數圖像聯合起來進行求解。首先，可以將無理式兩邊配以平方，使其化為整式，隨后為其取不等式的交集。通過教師的計算可以發現，若=0這一等式，將是沒有解的，但是可以將其轉化為y1=，y2=，如此便可以在坐標軸中畫出圖2中的函數圖像，最終取結果的交集，即x≥3。

體會：從例題2的解題過程可以發現，不等式解題若直接進行計算，學生難免受思維不全面所限而難以給出全面的結果，并且復雜的復習和計算過程也會浪費學生的計算時間，因此教師可以將“數”轉變為“形”來擴展學生的解題思路，以數轉形的解題技巧不僅可以使學生更加簡便的得出答案，更有助于學生培養發散思維。

三、其他數形結合的解題實例

例題3：已知一條直線與一條曲線，分別為y=k（x-2）+4與y=1+，它們相交于2個不同的點，求k的具體取值范圍。

解題思路分析：為曲線y=1+配以平方，得出（y-1）2+x2=

4，已知y介于1～3之間，繪出圖形（圖3），曲線所形成的圓形有圓心點A（0，1），半徑為2，鑒于y的值域大于1，因此解題所涉及的圖形是上半圓。因直線為y=k（x-2）+4穿過點B（2，4），將直線圍繞點B進行順時針旋轉，可使圓形、直線相切，即直線和圓的交點只需要在弧線MT之上便可以滿足題意。由于交點M也在直線y=1之上，因此可得出點M坐標為（-2，1），而直線BM經過點斜式法進行計算可得KBM=3/4，也就是說點M與點A兩點之間的距離即為半徑，因此可以列出等式|1+2k-4|-4||，最終計算可得KBR=5/12，即k∈（5/12，3/4）。

體會：高中階段的圓類問題通常與其他幾何圖形交叉存在，題目多給出直線或圓形的標準方式，若僅進行抽象計算不僅會提高錯誤出現幾率，也不利于快速得出正確答案。以例題3為例，若要解決圓與直線位置關系問題，可以借助直角坐標系進行圓與直線空間位置的直觀觀察，通過計算直線與圓心之間的距離來判斷二者是相切、相交、相離。經過初中、高中階段的學習，學生們已經得知，直線與圓心距離小于半徑即為相切、直線與圓心距離等于半徑即為相交、直線與圓心距離大于半徑即為相離，再結合圖形，便可以計算出相應點的位置（取值范圍）。

四、結語

數形結合實際上是一種創新性的思維，學生嘗試從不同于題目敘述角度的另一個方面進行解題，其實際上是對學生知識儲備信息的重新組合，是一種具有較高價值的設想與發現。從學習角度來說，數形結合技巧可以使學生奠定更加扎實牢固的知識基礎，可以使學生獲得更加便捷有效的解題技巧，無論是對日常學習還是對高考，都有非常高的應用價值。本文嘗試分析“以數轉形”、“以形轉數”等數形結合解題技巧，結合例題進行展示與分析，總結了相應的學習體會，旨在更清晰地指明數形結合的解題思路。

參考文獻：

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（作者單位：河北省保定市第三中學）