激發學生數學解題過程中的靈感

王芳+從建華

【關鍵詞】解題靈感；結構類比；數形結合；追求美感

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）11-0061-02

【作者簡介】1.王芳，江蘇省宜興市陽羨高級中學（江蘇宜興，214200）教師，一級教師；2.從建華，江蘇省宜興市陽羨高級中學（江蘇宜興，214200）教師，一級教師。

高中數學教師都很重視邏輯思維，認為在分析問題時要條分縷析，但有時也不免過分強調了嚴密性，走向了一種線性思維的極端。這樣的教學方式，容易禁錮學生的思想，使數學在學生心中片面化，成為一串串枯燥無味的數字和符號，扼殺了學生的想象力和探索精神，制約了學生數學素養的提高。其實，數學并非只是枯燥的線性思維，它很多時候需要我們的思維有所變換。以高中數學的解題為例，數學問題的順利解決，有時需要我們有意識地捕捉一些解題的靈感。正如美國心理學家布魯納所說的那樣：“在我們向學生揭示演繹和證明這種更傳統的和更正式的方法之前，使其對材料有直覺的理解可能是頭等重要的。”

靈感是一種直覺聯想思維，具有直接性、敏捷性、簡縮性、跳躍性等特點，可以認為它是邏輯思維的凝聚或簡縮。它最顯著的特征是越過思考的中間推理階段，直接理解和洞察問題的實質及規律性的聯系，直達有關結論。所以在解題教學過程中，教師要善于幫助學生生發靈感、捕捉靈感。筆者結合自己的教學經驗，歸納了以下三個解題靈感的來源，希望能對教師的解題教學有所助益。

1.從類比結構中尋找靈感。

當我們遇到一個數學問題需要解答時，一般是先分析題意，找出條件與結論之間的關系。但有時邏輯的方法未必能順利地解決問題，這時，如果我們關注題目形式上的類比，就有可能出現“頓悟”現象，令我們豁然開朗。這正是著名數學家波利亞所說的：“直覺類比是一個偉大的引路人。”

分析：本題的難點是a與的結構大不相同，學生無從下手。但若從“形”上考慮，分子是一次式，分母是兩次式，可以想到將兩者的最高次冪做到統一。若要想構造成齊次式，則不難聯想到把h≤a，h≤兩式相乘，因此有h2≤。再在分式上下同除以分子，得到h2≤，此時就可以利用基本不等式解決問題。

2.在數形結合中尋找靈感。

數形結合是高中數學的一大重要思想，是解決問題的一條有效途徑，也是高考填空題考察的一個重要方向，它能很好地體現學生思維的廣度、深度。我國著名數學家華羅庚先生曾說，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，所以我們需要“數上覓形”。

例2：已知x，y>0且x-y≤0，求的取值范圍。

分析：本題的常規方法是平方后變成齊次式，然后再進行消元變成一元二次分式問題，接下來可以結合不等式、利用導數來判斷函數的單調性，進而求解。這種解題思路對學生的思維要求不高，但對學生的化簡求解能力要求較強，學生稍有不慎就容易算錯，進而“前功盡棄”。但倘若如果我們“數上覓形”，或許別有一番天地。

從這里可以看出，從“數”到“形”，再從“形”到“數”，數形的內在轉化使我們得到了最優解，同時它也為我們的解題提供了靈感，使我們在數學直覺上有一種進步與發展。

3.在追求美感中尋找靈感。

數學美主要表現在數學本身的對稱性、相似性以及和諧性等性質上。法國數學家阿瑪達認為，數學直覺本質上就是某種“靈感”和“美”的意識。為此，我們從“美”的方向去探尋，有時也會有解題靈感的生發。

例3：已知經x，y∈R，4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為 。

分析：本題很容易想到的是平方后轉化為不等式問題進行求解，但做到后面發現這種常規的方法并不容易，也或者可以用判別式的方法進行求解。若我們從美學的角度來審視，可以這樣思考：等式左邊有平方關系，右邊是常數1，所以直觀聯想到三角函數的平方關系cos2α+sin2α=1，故可以將原式轉換為

通過上面的例題，我們感受到數學問題中的相似之美與對稱之美，深刻體會到數學之美對解題的重要性，猶如撥云見日。如此求解，思路簡潔、方法明確。學生容易掌握，從中能體會到數學的對稱之美，解題中能感受到數學帶來的樂趣，變“好學”為“樂學”。所以，我們在解題中要善于發現數學的美，從而利用數學之美更好的解題。如果我們在教育中充分挖掘數學的“美”，引導學生去發現、欣賞、感知、創造，就能大大地提高學生的學習興趣，充分調動學生的非智力因素。

靈感與邏輯思維一樣，是人類的一種基本的思維方式，它可以使很多數學題目、特別是上手較難的題目化難為簡，撥云見日。所以，靈感在解題中有著不可低估的作用，我們在高中數學教學中要重視對它的引導。

【參考文獻】

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