數列的上極限和下極限

尹海燕

摘要：數列的上極限和下極限是數學分析課程中數列理論的重要概念。事實上，數列的上極限和下極限不僅在數列斂散性判別、求數列極限、級數斂散性判別等方面起著重要的作用，而且可以加深學生對實數完備基本定理的掌握和理解，為學生進一步學習函數、集合的上極限和下極限打下基礎。下面將數列上極限和下極限做一簡單介紹，以饗讀者。

關鍵詞：數列的上極限和下極限；聚點；收斂

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）08-0195-02

在數學分析課程中，數列的斂散性判別非常重要，而證明數列收斂的方法也有很多方法[1]，比如ε-N定義、柯西收斂準則、兩個重要準則、歸結原理和子列原理等。但是有時也可以用上極限和下極限來判斷。本文主要介紹數列上極限和下極限的定義，性質以及其應用。

數列聚點的定義[2]：如果在a∈R的任何鄰域內都有數列x的無限項，稱a為數列x的一個聚點。

例1：數列{（-1）}的聚點是±1；

例2：數列{sin}的聚點是±1，±和0；

例3：數列有聚點0；

例4：數列，，，，，，，，，，…的聚點是整個閉區間[0，1]；

例5：數列1，1，2，，3，，…，n，，…的聚點是0。

注：（1）收斂數列的聚點必唯一，為數列的極限（證明見定理2），如例3。反之不真，如例5。一般情況下，數列的聚點是不唯一的，如例1、例2、例4。（2）數列的聚點和數集的聚點是有區別的。數{sin|n∈Ν}的聚點是空集；數集{（-1）|n∈Ν}的聚點為±1。

容易證明：

聚點的等價定義[3]： 若數列x的子列x有極限a，則稱a為數列x的一個聚點。

聚點的存在性定理[2]：有界數列x至少有一個聚點，且存在最大聚點和最小聚點。

下面是數列上、下極限的定義：

上極限和下極限的定義[2]：有界數列x的最大聚點a與最小聚點a稱為數列x的上極限和下極限，記作a=xa=x.

上極限和下極限的等價定義1[2]： 若x為有界數列，則？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得當n>N時，有

xa-ε，k=1，2，3，…則稱a為數列x的上極限。

若x為有界數列，則？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得當n>N時，有x>a-ε；（2）存在子列x，x

上極限和下極限的等價定義2[2，4]：若x為有界數列，則x={x}，x={x}.

定理1[2]：對任何有界數列x，有x≤x，x=-（-x）.

注：容易證明x≤x≤x≤x，其中x為有界數列x的一個子列。

定理2[2]：若x為有界數列，則數列x=a的充要條件是x=x=a.

證明：（必要性）？坌ε>0，？堝N∈Ν，當n>N時，

|x-a|<ε.由聚點的定義，a是數列x的一個聚點。若b是數列x另外一個聚點，不妨a0，存在N∈Ν，當n>N時，x<，從而集合{x|x>}只有數列的有限項，這與b是數列x的聚點矛盾。從而數列x只有唯一的聚點，（充分性）由等價定義1，由a是數列x的上極限，？坌ε>0，？堝N∈Ν，當n>N時，

x

？堝N∈Ν，當n>N，x>a-ε.取N=max{N，N}，當n>N時，|x-a|<ε.從而a是x的極限。得證。

注：必要性也可以使用子列原理證明， 過程更簡單。另外此定理也可以用來證明數列極限的存在性。

定理3[2]（上、下極限的保不等式性）：若a，b為有界數列，滿足：存在N∈Ν，當n>N時，a≤b，則a≤b，a≤b.

證明：假設a=a，b=b，由等價定義2，？坌ε>0，存在N∈Ν，當n>N時，a>a-ε；對于上述ε，存在子列b，對于k∈Ν，b

K=max{N，N}∈Ν，當k>K時，a-ε

定理4[2，3]：上、下極限的四則運算。

a+b≤（a+b）≤a+b，

a+b≤（a+b）≤a+b.

當a≥0，b≥0，則

a·b≤（ab）≤a·b，

a·b≤（ab）≤a·b.

當a>0，a>0，則a=.

參考文獻：

[1]裴禮文.數學分析中的典型問題和方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]費定暉，周學圣.吉米多維奇數學分析習題集題解[M].山東科學技術出版社，2008.

[4]杜廣麟.關于數列的上下極限的幾個等價定義[J].安徽師大學報（自然科學版），1981.