探討數學思想方法在大學數學教學中的滲透

摘 要：教師如何在大學數學教學中讓學生通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括等方法，形成數學思想，學會應用數學方法，可以從以下幾個方面著手：一是挖掘數學思想方法，養成發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的意識；二是學習數學思想方法，增強思維的縝密性與深刻性；三是引導學生從數學思想的高度去總結、歸納、深化，增強學習與原理的遷移能力。

關鍵詞：數學思想；思維意識；滲透與應用

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

一、分類的思想方法

所謂分類思想，就是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想。一般按照“明確對象—確定標準—逐類討論—歸納總結”思維步驟來分析問題。

如矩陣按元素間的關系分類，可以分為矩陣的等價關系、合同關系、相似關系；將次數大于零的多項式分為可約與不可約兩類；將二次型分為正定、負定、不定三類；利用向量空間的同構關系對向量空間、歐氏空間按維數分類等。以下2個概率問題的解答需要多個分支的綜合得出答案。

例1：今安排5列汽車停在5個車位上。如果甲車不許停在最左邊，乙車不許停在最右邊，問有幾種排法？

分析：先考慮甲車。如果甲車在最右邊，余下的4輛車的排列不受限制，一次有A4種排法；如果甲車不在最右邊，則只能排在中間3個位置，此時乙車也只有3個位置可以選擇，因此有A1A1A3種排法。所以，共有A4+A1A1A3=78種。此題為大專概率統計學中基礎的題目，通過對甲乙的分類討論，滲透分類思想方法，可提高思維的嚴密性。

例2：一批零件共100個，次品率為10%，每次從其中取一個零件，不放回，如果第一次取得合格品后，就不再取零件，求三次內取得合格品的概率。

分析：將第一次或第二次取得合格品，或第三次才取得合格品共分3類進行討論。令A=“在三次內取得合格品”，則A=A1+A1A2+A1A2A3故P（A）= P（A1）+P（A1A2）+P（A1A2A3）=0.993

以上數學問題的解法，實質是變換命題形式和分類思想的反復運用，此類數學問題的每一步轉換，都遵循著分類思想方法“總—分—總”的規律。通過這類數學問題的解決，可避免分類中重復和遺漏的現象，學生能夠領悟分類的魅力。

二、類比的思想方法

所謂類比是這樣的一種推理，它把不同的兩個（兩類）對象進行比較，根據兩個（兩類）對象在一系列屬性上的相似，而且已知其中一個對象還具有其他的屬性，由此推出另一個對象也具有相似的其他屬性的結論。類比有結構類比、降維類比等。

如n 維空間中的鄰域、兩點間的距離、點列極限等基本概念以及連續性定理等可與一維空間中的相應內容作類比。由二維、三維空間類比推出一般數域P上的抽象向量空間的概念。由整數整除理論類比推出數域P上的多項式的整除理論。由直角坐標系下幾何向量的長度、夾角、內積等，類比在標準正交基下n維歐氏空間中向量的長度、夾角、內積等。一元函數微積分與多元函數微積分中許多概念、定理可作類比和比較。離散求和的數項級數、函數項級數與連續求和的廣義積分、含參量廣義積分同樣可作類比和比較。又如多元函數的極限、連續、偏導數、全微分、重積分等重要概念與一元函數的極限、連續、導數、微分、積分相類比，如多元函數類比一元函數的連續、可偏導、可微的三者關系時：一元函數可導等價可微，可導與可微可以推出連續；多元函數可微可以推出連續和可偏導，可偏導推不出可微和連續。此外，不同數學課程中的內容也可作類比和比較，如微積分中函數的極限、連續、導數、微分、積分等概念可與復變量函數的相應概念作類比和比較，線性常微分方程 （組 ） 的基本理論可與線性代數方程組的基本理論作類比。

例3：某班學生40人，求有2人的生日都是9月1日的概率P（A）（一年以365天計算）。

分析：可以如此類比，365 天好比365個球，即袋子里有l，2，…，364，365號球。兩人或多人生日相同，比作有放回抽樣時2次或多次抽到的球是同一個球。因此，基本事件總數為36540，可用古典概型求解或伯努利概型求解，P（A）=C2 。

總之，教師應根據類比教學內容，使學生體會類比內容的聯系和本質差異，滲透類比思想，也有利于學生進行合情推理。

三、轉化與化歸的思想方法

轉化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而解決問題的一種方法。通過不斷轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式法、簡單的問題。一般在數與數、形與形、數與形之間進行轉化與化歸，也可以在題意間進行等價轉化。

如求事件A的概率，有時可轉化為求A的逆事件的概率，離散型隨機變量的超幾何分布問題可以轉化為二項分布來解決，概率很小時二項分布又可以轉化為泊松分布；連續型隨機變量可轉化為標準正態變量等。以上都用到了轉化與劃歸的思想方法。

在高等數學中，很多問題都要用轉化和化歸思想方法去解決，它是發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的一個重要的思想方法。如果在平時的教學中，老師能注意去挖掘和善于去引導，使學生形成良好的轉化和化歸意識，就可以化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化抽象為具體等，有利于學生形成和發展辯證思維能力。

四、極限的思想方法

所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想。極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等都是借助于極限來定義的?？梢哉f：數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科。

如定積分定義的思想來源可以概括為：分割、求和、取極限。這定義的實質就是局部上以直代曲，再整體上通過求和取極限，即“化整為零求近似，聚零為整求極限”。概率統計中大數定理和中心極限定理、微分方程討論解的奇異極限和泛函分析中馬氏鏈的極限性質等都體現了極限思想的廣泛應用。

在大學數學教學中，教師應通過設計學習情境，使教學過程充分揭示極限思想的形成過程，幫助學生領會蘊涵在其中的極限思想，從而激發其學習極限的興趣。

五、培養思維品質，提煉數學思想

數學思想方法是數學的精髓和靈魂，在大學數學教學中，或是教材中，都隱性地存在著。因此，我們應結合大學生的思維特點，更多從教材中、教學中以問題為出發點，以數學思想方法為主線，以解決問題為目的，讓學生在學習過程中發揮主動性，把數學思想顯性化。這也有利于提高大學生學習數學的趣味性，培養學生思維的條理性、邏輯性和創新性，為學生以后工作和生活提供指導、增強學習與原理的遷移能力，從而真正達到教師教數學，學生學數學的目的——學好數學知識點，具有理性精神和掌握數學思想方法。正如名言所說：“In Cambridge，we teach you everything from nothing.”

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