一課三境講寓言

馮美燕+鄭霞

【內容摘要】

從《孫子算經》至今，一千五百年來對《雞兔同籠》的研究歷久彌新，究竟有何魅力？從俞正強老師對本節課的設計思路“羅列方法，回顧歷程；解讀方法，溝通聯系；感悟方法，一脈相承”中，我們感受到一課三境：參禪之初，看山是山，看水是水；禪有悟時，看山不是山，看水不是水；禪中徹悟，看山仍是山，看水仍是水。我們也從中感悟到：在一節復習課中如何“拎一拎”、如何“音聲相和”、如何講一個“數學寓言”。這些應該就是《雞兔同籠》的魅力所在。

【關鍵詞】一課三境數學寓言

《雞兔同籠》，古已有之，從《孫子算經》至今，一千五百年來卻是歷久彌新，究竟有何魅力？筆者有幸聆聽了俞正強老師的《雞兔同籠》一課，隱隱約約覺得找到了一些答案，于是撰寫成文，與大家一起分享。

【教學回顧】

宋代禪宗大師青原行思提出參禪的三重境界：參禪之初，看山是山，看水是水；禪有悟時，看山不是山，看水不是水；禪中徹悟，看山仍是山，看水仍是水。俞正強老師的這節課就體現了這三重境界，從羅列方法到溝通聯系到一脈相承，正好吻合整個節奏。

一、看山是山，看水是水：羅列方法，回顧歷程

1.出示問題

雞兔有頭7個，有腳20只，問有雞兔各幾只？

2.回憶解法

抽生板演，師生共同整理后，呈現出如下方法。

3.命名解法

師生探討后一致決定：①命名為畫圖法；②命名為湊數法；③命名為算式法；④命名為方程法。

二、看山不是山，看水不是水：解讀方法，溝通聯系

1.分類

師：如果想把四種方法分成兩類，你會怎么分？

（畫外音：學生共出現四種分類方法：①②一類，③④一類；①②③一類，④一類；①一類，②③④一類。①③一類，②④一類。俞老師請學生解釋聽得懂的分類方法，最后大多數學生集中到第四種，表示不理解。下面的教學就從第四種開始著重使力。）

師：我們不理解，她為什么這么分類，請她說說這么分類的依據是什么？

生：①③都是先假設全是雞，然后把兔的腳補上。第三種方法就是把第一種方法用算術進行表達。②④兩種方法都是在假設。

2.溝通

師：我們來看看道理好不好。

（畫外音：師幫生理清思路，讓學生發現原來①的每一個圖都對應③的每一個算式）

師：第三種就是第一種的算式，畫圖當中的每一步都對應一個算式。①③歸為一類有道理嗎？②④類呢？

生：它們也是對應著算式的，x就是雞，7-x就是兔。

師：如果雞是1，兔是幾？（7-1）；如果雞是2，兔是幾（7-2）；如果雞是3，兔是幾？（7-3）；如果雞是x，兔是幾？（7-x）。每一只雞都長幾只腳（2只），所以要干嘛？（乘2），每一只兔是幾只腳？（4只），所以它要乘以4。他發現二、四道理是一樣的。所以他把它們歸為一類，有沒有道理？

3.聯結：

師：大家發現沒有？我們發現算式法和畫圖法是緊密聯系的，方程法和湊數法是緊密聯系的，畫圖和湊數一類，算式和方程一類，他們的差別是因為難度的差別還是因為什么的差別？

生1：畫圖、湊數是基礎，算式、方程是提高。

生2：我覺得應該是畫圖、湊數適合數值比較小的，算式、方程適合數值比較大的。

師：我們為什么要提高呢？因為提高的可以對數值大的，而基礎的只能對數值小的。后面是提高法，前面是基礎法，后面的就是前面的，整個都提高了。同學們，我們通過這樣的分類，跟開始上課的感覺一樣嗎？如果不一樣，不一樣在哪？

生：上課前覺得畫圖和湊數應該用不到了，用的是算式和方程。上完后覺得歸根結底還是一樣的。

師：歸根結底還是一樣的，他本來把畫圖法拋棄了，現在發現其實是同一種方法。

三、看山仍是山，看水仍是水：感悟方法，一脈相承

1.三生萬物

師：我們學數學為了什么？六年下來在做同一道題目，數學在干什么？

生：從不同的角度來看同一道題目，然后就會發現很多的新方法。

師：五、六年級這樣做。猜猜七、八年級會怎么做？你們還會長大的。

（畫外音：學生的猜測主要有兩種：一種認為與各年齡段的方法都有聯系；一種直接喊出用二元一次方程來解）

師：把七八年級的方法放到畫圖法和湊數法中來，大家發現畫圖法和湊數法，其實也是一樣的。

生：這5種方法都是類似的。

師：我把它動起來好吧！師邊講邊畫。

師：上面部分雞頭+兔頭=幾（7），下面部分雞腳+兔腳=幾（20），這就是七八年級的解法。

2.九九歸一

師：到現在為止，你的感覺有了什么變化？這5種方法中，你認為哪種方法是不用教的？

（畫外音：學生有如下四種答案：畫圖法；七八年級的；湊數法；都不用。）

師：方程法不教你們會嗎？算式法呢？湊數法呢？畫圖法不教你們會畫嗎？

生1：都不用教。

生2：教是不用教的，但老師適當的點撥還是要的。

師：這些方法都跟誰有關？

生：假設。

師：我們表面上看算式法，方程法比較難，細看發現難的就是簡單的。今天老師上這節課的目的是什么？你明白我的心嗎？

生：打好基礎，不要固定思維。

師：無非是一個基礎版，一個升級版。很多題目，其實不需要老師那么辛苦，只要稍稍點撥一下，這些話都是你們說的，不是我說的。

【教學賞析】

聽完這節課，浮想聯翩，對“教無止境”“生生不息”“萬物歸一”等詞覺得異常親切，因為這節課讓我切切實實感悟到了它們的意思。感悟最深的有三點：

一、是一節“拎一拎”的復習課

俞正強老師在《種子課：一個數學特級教師的思與行》一書中指出：“以增強知識的深刻性為目的的復習樣式，我們稱為拎一拎。”“拎一拎，通常是指提高一下，使學生在復習中有新的認識，新的數學感悟。”“在復習階段，將許多已學的知識放在一起，通過聯結、比較，很容易體會到新的數學。”聽了他的《雞兔同籠》后，感覺這正是對以上這些話的最佳詮釋。

“雞兔同籠”，從解法上而言，不同年齡特點的學生有不同的解法。通過學生的反饋，我們發現：經過六年的學習，回過頭去看，學生們習慣了算式法和方程法，畫圖和湊數這兩種方法漸漸離開了學生。為什么會這樣呢？究其原因，回想我自己上“雞兔同籠”的場景，教一種是一種，像猴子下山掰玉米那樣，掰一個，扔一個，總覺得后面的方法要比前面的方法好，要先進，根本沒有去溝通方法與方法之間的聯系，才導致學生們也認為每一種方法都是一種獨立的方法造成的。

那怎樣在這節復習課中，讓學生自己去感悟到方法與方法之間的聯系呢？且看俞老師兩問：畫法、算式法分成一類，湊數法和方程法分成一類，為什么可以這樣分？這樣分的理由是什么？俞老師這一問，問住了學生，也問住了我們聽課的老師，同時問出了這節課的關鍵。起先，學生一驚，啊？還可以這樣分啊，似乎不太明白，后來經過俞老師的一番講解：把解法和算法系統地聯系在一起，比較溝通了方法與方法之間的內在聯系，方法不同，道理相通。學生頓悟了，對畫圖法、湊數法這兩種原先鄙視的方法，充滿敬意，有些同學雖然說不出，但都已經深刻地體會到：畫圖法、湊數法是根本，算式法、方程法是延伸，只不過一個是基礎版，一個是提高版而已。我想，這就是這節課的復習所在，“新”在想法上，實現了從“通”到“化”的過程，在貫通過程中，學生獲得了數學素養的“新”高度。

二、是一次漸入佳境的“音聲相和”

干國祥老師在《理想課堂的三重境界》中提出：“理想課堂第一重境界，落實有效教學框架；第二重境界，發掘知識的內在魅力；第三重境界，知識、生活與生命的共鳴。”俞老師的這節課三者皆有，尤其是第三重境界，使我們聽得意猶未盡。

讓我們來看看他在課堂中拋出的問題：“小朋友，黑板上的問題你會解答嗎？”“你覺得哪種最難？哪種最容易？”“把這四種方法分成兩類，你會怎么分？”“你對哪種方法最驚訝？”“現在再看四種方法，有什么想說的？”“如果你一種方法都不會，怎么辦？”“七八年級會怎么學？”“到現在你有什么數學感受？”“哪種方法不用老師教？”

再來感受一下學生的表情和反應：“哼！”——這也太容易了；“嗯？”——還可以分類呀；“啊？”——還有這種分法；“哦……”——原來是這樣；“呀……”——數學太有趣了！這“哼！”“嗯？”“啊？”“哦……”“呀……”不就是《老子》中的“音聲相和”嗎？這種相互協調、此唱彼和不就是一種靈魂的共鳴嗎？

正如有人所言：“數學并不是冷冰冰的圖形與數據，而是自然、社會、歷史背后的神秘，是人類探索世界過程中發現的最可靠的武器、工具。”“優秀的數學課堂，應該讓學生通過學習感受到、理解到他們所使用的、所教學的是曾經被人類視為上帝語言的奇妙的數。”

三、是一個浪漫美麗的“數學寓言”

記得上完課后，浙江省數學教研員斯苗兒老師現場采訪學生：“假如二十年后你的孩子要上學了，你會把你的孩子送到俞老師門下嗎？”“你覺得雞和兔會關在一個籠子里嗎？”“你覺得我們為什么要學雞兔同籠？”學生們的回答真實又精彩：“我愿意。”“不會關在一個籠子里。”“我們研究買東西時，告訴總價和鉛筆、本子的單價，求各自的數量時就用得著這些方法了。”

我想，俞老師看似簡單的課，背后卻一點也不簡單，短短一節課的時間，學生們在成長，慢慢形成了對數學的認知，他們突然發現，數學學習原來那么有用，可以舉一反三，觸類旁通。只要改變自己的想法就能用新的方法去解決問題，學習只需要老師稍稍點撥就行了。

我們都聽過《農夫與蛇》《東郭先生與狼》等寓言故事，明白了一些道理，但現實生活中農夫是不會把蛇放到懷里的，東郭先生是不會和狼說話的，這些故事只是借例說理。寓言是有所隱含的語言，是寓意于言中。俞老師這節《雞兔同籠》何嘗不是一個數學寓言呢？我們的一節節數學課何嘗不是一個個美麗浪漫的寓言呢？

俞老師的課，不僅僅是為數學服務的，更是為了學生成長服務的。通過本節課的教學，修正了學生們對數學的看法和想法，也修正了我的想法。如果每個人都像俞老師這樣教學，學生們一定會變得更聰明，如果每個人都像俞老師這么思考，我們一定會變得更通透。

【參考文獻】

[1]俞正強.種子課——一個數學特級教師的思與行[M].北京：教育科學出版社，2013，76-77.

[2]干國祥.理想課堂的三重境界[M].北京：文化藝術出版社，2011，82-83.