例談小學(xué)兩位數(shù)乘法的速算技巧

白常連

[摘要]：作為教師，除了熟記兩位數(shù)乘法速算口訣外，還應(yīng)對兩位數(shù)乘法速算法本身有一學(xué)理上的認(rèn)識(shí)，才能對算法本身“知其然且知其所以然”，真正做到心中有數(shù)。

[關(guān)鍵詞]：小學(xué)兩位數(shù)乘法 速算技巧

兩位數(shù)乘法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，教師在教學(xué)中經(jīng)常會(huì)教給學(xué)生一些便捷的速算方法。這些速算法既有利于拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的計(jì)算能力，又可以提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)習(xí)過程的趣味性。因而，不失為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種有益補(bǔ)充。但作為教師，除了熟記兩位數(shù)乘法速算口訣外，還應(yīng)對兩位數(shù)乘法速算法本身有一學(xué)理上的認(rèn)識(shí)，才能對算法本身“知其然且知其所以然”，真正做到心中有數(shù)。以下是對幾種最常見的兩位數(shù)乘兩位數(shù)速算法的分析，僅供參考。

一、“頭同，尾和10”算法分析

1、速算要領(lǐng)

“頭同，尾和10”算法口訣：頭加1乘頭，兩尾乘積接后頭（不足兩位十補(bǔ)0）。是指個(gè)位數(shù)字之和是10，十位數(shù)字相同的兩個(gè)兩位數(shù)相乘時(shí)，則用第一個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字加1，乘以第二個(gè)兩個(gè)位數(shù)十位上的數(shù)字，其乘積構(gòu)成該兩個(gè)兩位數(shù)乘積結(jié)果的前兩位；而兩數(shù)個(gè)位數(shù)字的乘積，則構(gòu)成該兩個(gè)兩位數(shù)乘積的后兩位（如果個(gè)位數(shù)的乘積不滿10，則在其乘積結(jié)果前補(bǔ)0形成兩位），再把兩個(gè)乘積所形成的兩個(gè)兩位數(shù)順序排列，就形成了“頭同，尾合10”兩位數(shù)的乘積結(jié)果。

2、算法分析

依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為：有（10a+b）與（10a+d）兩個(gè)兩位數(shù)相乘，且b+d=10，求證：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d。證明：根據(jù)代數(shù)式（10a+b）×（10a+d）運(yùn)算可得：（10a+b）×（10a+d）=10a×10a+10ad+10ab+bd=10a×（10a+b+d）+bd又∵b+d=10∴10a（10a+b+d）+b·d=10a（10a+10）+b·d=10a×10（a+1）+b·d故證：（10a+b）×（10a+d）=100a（a+1）+b·d對結(jié)果的形象表述，即是這一算法的基本口訣：AB和AD兩個(gè)兩位數(shù)相乘，且B+D=10。其結(jié)果為四位數(shù)EFGH，其中EF=A·（A+1），GH=B·D。

二、“尾同，頭和10”算法分析

速算要領(lǐng)

“尾同，頭和10”算法口訣：頭乘頭加尾，兩尾乘積接后頭（兩尾乘積不足10時(shí)在十位上補(bǔ)0）。是指兩個(gè)兩位數(shù)相乘時(shí)，如果兩數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，而十位數(shù)字之和是10，則以兩個(gè)兩位數(shù)十位上的數(shù)字相乘后加上任一兩位數(shù)的個(gè)位之和，構(gòu)成該兩位數(shù)乘積結(jié)果的前兩位；而用兩位乘數(shù)個(gè)位上的乘積（如不滿兩位則在十位補(bǔ)0），則組成該兩位數(shù)乘積結(jié)果的后兩位，再把兩個(gè)乘積所形成的兩個(gè)兩位數(shù)順序排列就形成了“尾同，頭合10”兩位數(shù)的乘積結(jié)果。

2、算法分析依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計(jì)數(shù)法則為：有（10b+a）與（10d+a）兩個(gè)兩位數(shù)，且b+d=10，求證：（10b+a）×（10d+a）=100（b·d+a）+a·a。

證明：根據(jù)代數(shù)式（10b+a）×（10d+a）運(yùn)算可得：

（10b+a）×（10d+a）=10b×10d+10b×a+a×10d+a·a=10b·10d+10a（b+d）+a·a

又∵b+d=10

∴10b·10d+10a（b+d）+a·a=100b·d+100a+a·a=100×（b·d+a）+a·a

對結(jié)果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：BA和DA兩個(gè)兩位數(shù)相乘，且B+D=10。其結(jié)果為四位數(shù)EFGH，其中EF=B·D+A，GH=A·A。

三、“尾5，頭和偶”算法分析

1、速算要領(lǐng)“尾5，頭和偶”算法口訣：頭乘頭加頭和折半，兩尾乘積接后頭。是指在兩數(shù)相乘時(shí)，如果個(gè)位數(shù)字是5，十位數(shù)字之和是偶數(shù)，則其十位數(shù)之積與十位數(shù)和的一半之和，構(gòu)成該兩位數(shù)乘積的前兩位，而兩數(shù)個(gè)位數(shù)之積則構(gòu)成了該兩位數(shù)乘積的后兩位，按順序組合之后，就形成了該兩位數(shù)的乘積。

2、算法分析

依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計(jì)數(shù)法則為：尾數(shù)為5的兩個(gè)兩位數(shù)（10b+5）與（10d+5），且b與d之和為偶數(shù)，求證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+（b+d）/2]+5×5

證明：根據(jù)代數(shù)式（10b+5）×（10d+5）運(yùn)算可得：

（10b+5）×（10d+5）=10b×10d+10b×5+5×10d+5×5=10b·10d+50×（b+d）+5×5

又∵b+d=偶數(shù)

∴10b·10d+50（b+d）+5×5=100bd+100（b+d）/2+5×5

故證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+（b+d）/2]+5×5

對結(jié)果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：尾數(shù)為5的兩位數(shù)B5和D5，且B+D=偶數(shù)。其乘積為四位數(shù)EFGH，其中EF=B·D+（B+D）/2，GH=5×5。

四、“尾5，頭和奇”算法分析

1、速算要領(lǐng)

“尾5，頭和奇”算法口訣：頭乘頭加頭和減1折半，兩尾乘積加50接后頭。是指在兩數(shù)相乘時(shí)，如果個(gè)位數(shù)字是5，十位數(shù)字之和為奇數(shù)，則其十位數(shù)之積與十位數(shù)和減1后一半之和，構(gòu)成該兩位數(shù)乘積的前兩位，而兩數(shù)個(gè)位數(shù)之積再加50則構(gòu)成了該兩位數(shù)乘積的后兩位，按順序組合之后，就形成了該兩位數(shù)的乘積。

2、算法分析

依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計(jì)數(shù)法則為：尾數(shù)為5的兩個(gè)兩位數(shù)（10b+5）與（10d+5），且b與d之和為奇數(shù)，求證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+（b+d-1）/2]+5×5+50

證明：根據(jù)代數(shù)式（10b+5）×（10d+5）運(yùn)算可得：

（10b+5）×（10d+5）=10b×10d+10b×5+5×10d+5×5=100bd+50×（b+d）+5×5

又∵b+d=奇數(shù)，為能被整除，需把奇數(shù)轉(zhuǎn)化成偶數(shù)

∴100bd+50（b+d）+5×5=100bd+50（b+d）-50+5×5+50=10b·10d+50（b+d-1）+5×5+50

故證：（10b+5）×（10d+5）=100[bd+（b+d-1）/2]+5×5+50

對結(jié)果的形象表述，正是這一算法的基本口訣：尾數(shù)為5的兩位數(shù)B5和D5，且B+D=奇數(shù)，則其乘積為四位數(shù)EFGH，其中EF=B·D+（B+D-1）/2，GH=5×5+50。

五、“通用法”算法分析

1、速算要領(lǐng)

“通用法”算法口訣：頭乘頭接尾乘尾，加十倍兩兩頭尾乘積之和。是指毫無規(guī)律的任意兩個(gè)兩位數(shù)相乘，其結(jié)果為該兩位數(shù)的十位相乘，所得的結(jié)果與該兩位數(shù)個(gè)位相乘的結(jié)果排列成一個(gè)三位或四位數(shù)字，在加上該兩位數(shù)內(nèi)項(xiàng)與外項(xiàng)乘積之后的10倍，其結(jié)果就是該兩位數(shù)的乘積。

2、算法分析

依據(jù)速算口訣，將其轉(zhuǎn)化為科學(xué)計(jì)數(shù)法則為：有任意兩個(gè)兩位數(shù)（10a+b）與（10c+d），求證：（10a+b）×（10c+d）=100ac+bd+10（bc+ad）。

證明：根據(jù)代數(shù)式（10a+b）×（10c+d）運(yùn)算可得：

（10a+b）×（10c+d）=100ac+10ad+10bc+bd

故證：（10a+b）×（10a+d）=100ac+bd+10（bc+ad）

對結(jié)果的形象表述，即是這一算法的基本口訣：任意兩個(gè)兩位數(shù)AB和CD相乘，其結(jié)果為EFGH+10IJ。其中，EF=A·C，GH=B·D，IJ=B·C+A·D.

以上速算方法比較直觀簡單，在教學(xué)中需將速算口訣詳加講述與說明，在學(xué)生掌握后，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法結(jié)果便可以在很短時(shí)間內(nèi)迅速準(zhǔn)確地計(jì)算出來。