內模補償預測函數控制在磁懸浮系統中的應用

孟凡斌, 邵雪卷, 張井崗, 陳志梅

(太原科技大學電子信息工程學院，山西 太原 030024)

內模補償預測函數控制在磁懸浮系統中的應用

孟凡斌, 邵雪卷, 張井崗, 陳志梅

(太原科技大學電子信息工程學院，山西 太原 030024)

由于磁懸浮系統參數時變及外界干擾的存在，采用預測函數控制會產生較大的預測誤差，導致系統性能變差。針對這個問題，提出了一種基于內模補償的預測函數控制方法。采用內模控制器的輸出修正預測函數控制(PFC)補償系統的控制量，克服不確定因素的影響，改善系統的控制品質。仿真和試驗結果表明，該方法不僅能使磁浮球裝置中的小球快速到達平衡位置，而且提高了系統的抗干擾能力和控制精度。

磁懸浮; 軌道交通; 工業機器人; 預測函數控制; 神經網絡控制; 二自由度; 預測誤差; 內模補償; 控制精度

0 引言

磁懸浮是一種利用磁力使物體在空間中處于懸浮平衡狀態的支撐技術，具有無接觸、無摩擦等優點，可以延長機械設備的使用壽命。近年來，磁懸浮技術在軌道交通運輸、非接觸式驅動、精密加工、航空航天、生命醫學等領域獲得了廣泛應用[1]，具有重要的研究與應用價值。但是，磁懸浮系統是一類非線性不確定系統，具有一定的控制難度，傳統PID控制很難滿足其對高精度及快速性的要求。近年來，國內外研究者提出了諸多控制方法，如：魯棒控制[2]、滑模變結構控制[3-4]、模糊控制[5-6]、神經網絡控制[7]等。這些方法從不用角度改善了系統的控制品質，但是仍存在控制器設計復雜、算法計算量大等問題。

預測函數控制(predictivefunctioncontrol，PFC)最早由Richalet等提出，一經問世便被成功應用于工業機器人的跟蹤控制中[8]。此后，PFC在理論研究和實際應用中均取得了一系列成果。近年來，國內外研究者分別從預測模型[9-10]、基函數[11-13]、目標函數[14-16]等方面對預測函數控制進行了改進，并且將單一變量系統擴展到了多變量系統[17-19]。PFC算法具有計算簡單、快速性好、魯棒性強等特點，目前已被應用于電機控制、軋鋼控制、飛行器控制等領域。

PFC結構考慮了系統的模型失配和噪聲等問題，但是其調節能力有限。由于參數時變和干擾等因素的存在，PFC的模型輸出和實際輸出之間會存在較大的預測誤差，影響磁懸浮系統的控制性能，甚至會破壞其穩定性。為了減小預測誤差，增強系統的抗干擾性能，本文在常規PFC的基礎上，采用內模控制器補償系統的控制量。仿真和試驗表明，該方法具有更好的動態性能及控制精度。

1 預測函數控制原理

預測函數控制屬于預測控制的范疇，具有預測模型、滾動優化和反饋校正三個基本特征。

1.1 預測模型

預測模型常采用離散狀態空間表達式形式：

(1)

式中：Xm(t)為t時刻廣義預測模型的狀態向量；ym(t)為t時刻模型的預測輸出；Am、Bm和Cm為預測模型的系數矩陣。

基函數的線性組合形式如下：

(2)

式中：fkj(i)為基函數的第i個采樣周期值；Nf為基函數的個數；μj(k)為基函數的線性組合系數；h為優化時域長度。

1.2 滾動優化

參考軌跡通常采用一階指數形式，即：

yr(k+i)=βiyp(k)+(1-βi)r(k)

(3)

式中：yr(k+i)為參考軌跡；r(k)為設定值；yp(k)為廣義對象的實際輸出；參考軌跡柔化因子β=e[-Ts/(Tr/3)]，0<β<1。

采用二次型優化目標函數：

(4)

式中：NH為擬合點的數量；hj為第j個擬合點。

定義yp(k+i)為(k+i)時刻的廣義對象輸出預測，其計算表達式為：

yp(k+i)=ym(k+i)+ε(k+i)

(5)

式中：ym(k+i)為(k+i)時刻的廣義預測模型輸出；ε(k+i)為(k+i)時刻預測誤差。

1.3 反饋校正

由于系統存在不確定因素，會使模型預測輸出和實際輸出之間存在一定的偏差，PFC需要對未來時域中的誤差進行預測，一般選取預測誤差為：

ε(k+i)=yp(k)-ym(k)

(6)

式中：yp(k)為k時刻被控對象的實際輸出；ym(k)為k時刻預測模型的輸出。

2 磁懸浮球系統的PFC控制

2.1 磁懸浮球系統的數學模型

磁浮球裝置包括電磁鐵、小球、光源、光電位置傳感器、功率放大電路等，其結構如圖1所示。

圖1 磁浮球裝置結構圖

圖1中：m為小球質量；g為重力加速度；x為鋼球質心和電磁鐵磁極之間的距離；f為電磁力；ui為外部電路設備所提供的電壓；ux為小球位置對應的傳感器的輸出電壓。

由文獻[1]、文獻[3]可知，系統在平衡位置(i0,x0)附近的傳遞函數為：

(7)

式中：x0為平衡位置；i0為平衡位置處的電流。

實際控制中，以功率放大器的輸入電壓u作為控制量，此時傳感器的輸出電壓Ux和功率放大器的輸入電壓Ui之間的關系為：

(8)

式中：b=-2gKx/(Kai0)；p2=2g/x0；1/Ka為功率放大器增益；Kx為輸出電壓的轉換系數。

磁懸浮裝置物理參數如下[20]：平衡位置x0=0.02m；平衡電流i0=0.610 5A；重力加速度g=9.8m/s2；Ka=5.892 9A/V；Kx=-458.845 6V/m。

將以上這些參數代入式(8)，可得系統參數b=2 499.1。

2.2 磁懸浮球系統的整定

由式(8)可以看出，磁浮球系統在復平面的右半平面s內有一個不穩定的極點，s平面是一個不穩定系統。因此，選取比例微分結構進行整定，即：

H(s)=kp+kds

(9)

由式(8)和式(9)可得整定后的廣義對象為：

實施兒童肥胖干預的場所有學校、家庭、社區等，在學校實施肥胖干預，便于組織實施和持續進行。由于城市學齡兒童入學率高，在校時間長，使得學校成為預防和干預學齡兒童肥胖的最佳場所。本研究以校園為主要干預環境，同時向家庭發散。采用分級培訓式健康教育，探討培養學齡兒童健康生活方式，降低肥胖發生率的策略，具有重要的社會價值和現實意義。

(10)

典型二階系統的數學模型：

(11)

對比式(10)和式(11)，可得整定后廣義被控對象的模型參數為：

(12)

(13)

(14)

式中：ωn為自然頻率；ξ為系統的阻尼比，取ξ=0.8。此時，G(s)的所有極點都位于s平面的左平面內，G(s)是一個穩定的典型二階廣義被控對象。

2.3PFC控制器設計

磁懸浮系統的PFC結構如圖2所示。

圖2 磁懸浮系統的PFC結構圖

圖2中：P為被控對象；G為整定后的廣義被控對象；Gm為預測模型(即Gm=G)；r為設定值；d為干擾；yp為系統的實際輸出；ym為模型的預測輸出。

當給定值為階躍信號時，選擇單位階躍函數作為基函數，即新加入的控制作用為：

u(k)=μ(k)i=0,1,2,...,h-1

(15)

由式(1)、式(10)～式(14)可知，系統的預測模型系數矩陣為：

(16)

(17)

Cm=[1 0]

(18)

根據PFC原理遞推，由?J(k)/?u(k)=0，可得k時刻的PFC控制量：

u(k)=K0[r(k)-yp(k)+KmXm(k)]

(19)

式中：K0和Km為增益系數，可通過離線計算求得。

3 內模補償控制器設計

為了克服外界干擾和參數時變等因素引起的預測誤差，在常規PFC基礎上設計補償結構，增強PFC的抗干擾能力，其控制結構如圖3所示。

圖3 帶補償的PFC結構圖

圖3中：F為補償控制器，根據預測誤差修正控制量u，使系統輸出yp和模型輸出ym盡可能相等。

目前，常用的補償方法有模糊控制[20]、神經網絡控制[21]、擾動觀測器[22-23]等。

為了使系統獲得良好的干擾抑制特性，本文采用內模控制方法進行設計，即:

(20)

f(s)的表達式為:

(21)

根據式(10)～式(12)、式(17)～式(18)，可得內模補償控制器為:

(22)

式中：n=2。

4 系統性能分析

4.1 理論分析

PFC的控制器參數K0和Km可以離線求得。因此，該內模補償PFC可以等效為如圖4所示的結構。

圖4 等效的內模補償PFC結構圖

系統的輸入、輸出關系可表示為：

(23)

標稱情況下，目標值輸入的傳遞函數和干擾輸入的傳遞函數分別為：

(24)

(25)

由上式可以看出，該補償PFC結構實現了目標值跟隨性能和干擾抑制性能的解耦。根據二自由度控制思想，PFC控制器和內模控制器的參數可以分開調節，使系統同時獲得良好的目標值跟隨特性和干擾抑制特性。

根據式(25)，可得標稱情況下系統的干擾抑制傳遞函數為：

(26)

對式(25)進行進一步變換，可得：

(27)

由魯棒控制理論可知，當增大λ時，S(s)增大，系統的干擾抑制特性變差；相反，當減小λ時，系統的干擾抑制特性增強。

4.2 仿真分析

在標稱情況下，設定值r=-3V，當t=0.5s時加入幅值為0.6V的階躍干擾。當λ=0.01，取Tr分別為0.05、0.1、0.15時，系統階躍響應曲線如圖5(a)所示；當Tr=0.1，取λ分別為0.005、0.01、0.015時，系統階躍響應曲線如圖5(b)所示。

圖5 參數變化時的系統階躍響應曲線

由圖5(a)可知，當λ不變時，隨著Tr的減小，系統的系統響應速度加快，干擾抑制能力增強；相反，隨著Tr的增大，系統響應速度減慢，干擾抑制能力減弱。由圖5(b)可知，當Tr不變時，減小λ，系統的干擾抑制能力增強；增大λ，系統的干擾抑制能力減弱。可見，Tr影響系統的跟隨性能和抗干擾能力，λ的變化只影響抗干擾能力，這與理論分析的結論一致。

此外，在進行控制器參數選擇時，先確定Tr，再確定λ，使系統同時獲得良好的目標值跟隨性能和抗干擾能力。

5 仿真和試驗

為了證明本文內模補償PFC的控制效果，分別進行仿真和試驗研究。選擇超調量(σ%)、調節時間(ts)、穩態誤差(Δ)及時間乘以誤差絕對值積分(interatedtimeandabsoluteerror,ITAE)作為驗證系統性能的指標，并將本文方法與PID、常規PFC方法進行比較。

5.1 仿真

分別比較標稱和模型失配兩種情況下系統的控制性能，模型失配時使系統參數p2和b分別攝動-30%，即p2=686、b=1 749.37。兩種情況下系統的階躍響應曲線如圖6所示。仿真性能指標比較如表1所示。

圖6 系統階躍響應比較曲線

PID控制器參數：Kp=1.5、KiTs=0.01、Kd/Ts=45，常規PFC參數Tr=0.1，內模補償PFC參數Tr=0.1、λ=0.01。

由仿真結果可以看出，本文內模補償PFC方法的動態性能和抗干擾能力均優于常規PFC和PID控制。

表1 仿真性能指標比較

5.2 試驗

本文采用圖7所示的磁懸浮球系統試驗平臺進行試驗研究。該平臺主要由磁懸浮裝置、dSPACEDS1103控制板、工控機等部分組成。

圖7 磁懸浮球系統試驗平臺

由于試驗裝置的傳感器輸出電壓為負值，因此，給定位置電壓為-3V，在15s左右加入干擾。磁懸浮球系統的位置輸出曲線如圖8所示。控制性能指標比較如表2所示。

圖8 系統實時控制輸出曲線

方法σ/%ts/stt/sΔ/VITAEPID22．332．161．81±0．0517．45常規PFC0．002．490．38±0．0511．82內模補償PFC0．001．890．24±0．035．10

通過試驗比較可以看出，內模補償PFC方法的位置跟蹤過程無超調，調節時間最短，僅為1.89s；干擾作用后的調節時間僅為0.24s；穩態誤差為0.03V；30s內的ITAE指標為5.10。因此，本文內模補償PFC方法的動態性能及干擾抑制能力均優于另外兩種控制系統，這與仿真結論一致。

6 結束語

本文針對磁懸浮系統的位置控制，設計了一個內模補償PFC控制器。為了克服不確定因素的影響，采用內模控制器補償PFC控制量，減小預測誤差，提高PFC的抗干擾能力。由于該控制結構中的PFC控制器和內模控制器參數可以分別選擇、調節，因此能夠同時滿足對系統快速性和干擾抑制特性的要求。仿真和試驗表明，該控制系統具有快速性好、抗干擾能力強、控制精度高等特點。

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PredictiveFunctionalControlBasedonInternalModelControlCompensatingforMagneticLevitationBallSystem

MENGFanbin,SHAOXuejuan,ZHANGJinggang,CHENZhimei

(CollegeofElectronicInformationEngineering,TaiyuanUniversityofScienceandTechnology,Taiyuan030024,China)

Thetimevaryingparameterofthemagneticlevitationballsystemandthedisturbanceintheworkingenvironmentresultinalargepredictionerrorofthepredictivefunctionalcontrol，whichwillmakethesystemperformanceworse.Tosolvethepredictionerrorproblem,aninternalmodelcontrolerisdesignedbasedonthepredictivefunctionalcontrol.Theinternalmodelcontrolerisusedtomodifycontrolvoltageofpredictivefunctionalcontrol(PFC)toovercometheinterferenceofuncertaintyandimprovethecontrolsystemperformance.Simulationandexperimentalresultsshowthattheproposedcontrollercanmaketheballachievestablesuspensioninashorttimeandimprovetheanti-interferenceabilityandcontrolaccuracy.

Magneticlevitation;Railtransit;Industrialrobot;Predictivefunctionalcontrol;Neuralnetworkcontrol;Twodegreeoffreedom;Predictionerror;Internalmodelcompensation;Controlaccuracy

山西省自然科學基金(2014011020-1/2)、山西省研究生教學改革基金(20142058)、山西省研究生聯合培養基地人才培養基金(2016JD35)、太原科技大學研究生科技創新基金(20145020)資助

孟凡斌(1989—)，男，在讀碩士研究生，主要從事預測控制、磁懸浮技術等方向的研究。E-mail:mfb0539@163.com。邵雪卷(通信作者)，女，碩士，副教授，主要從事內模控制、智能控制等方向的研究。E-mail:sxj0351@163.com。

TH86;TP

ADOI: 10686/j.cnki.issn1000-0380.201701006

修改稿收到日期:2016-08-03