聚焦圓與方程問題中的常見錯(cuò)解

■殷卓然

聚焦圓與方程問題中的常見錯(cuò)解

■殷卓然

圓與方程是大家熟悉的概念，求解圓與方程問題，應(yīng)仔細(xì)審題，認(rèn)真計(jì)算。

一、不注意圓方程的約束條件致錯(cuò)

例 1 已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（l，l），且與圓x2+y2+x—3y+k=0相切，則直線l的斜率k（k∈R）的取值范圍是____。

錯(cuò)解：由題意知點(diǎn)A（l，l）不在圓x2+y2+x—3y+k=0的內(nèi)部，故把點(diǎn)A（l，l）的坐標(biāo)代入圓方程滿足l2+l2+l—3×l+k≥0，即k≥0。故k的取值范圍是[0，+∞）。

錯(cuò)因分析：由圓方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，可知此方程表示圓的條件是D2+E2—4F＞0，錯(cuò)解忽視了這一約束條件。

正解：由題意知方程x2+y2+x—3y+k=0表示圓，則l2+（—3）2—4k＞0，所以k＜又點(diǎn)A（l，l）不在圓x2+y2+x—3y+k=0的內(nèi)部，所以k≥0。

二、思考不嚴(yán)密致錯(cuò)

例 2 已知圓 M：（x—l）2+（y—l）2=4，直線l過點(diǎn)P（2，3）且與圓M 相交，直線l被圓M截得的弦長為，則直線l的方程為（ ）。

A.3x—4y+6=0

B.4x—3y+6=0

C.x=2或4x—3y+6=0

D.x=—2或3x—4y+6=0

錯(cuò)解：把點(diǎn)P（2，3）代入圓M 的方程，可知點(diǎn)P在圓外。

設(shè)直線l的方程為y—3=k（x—2），即kx—y+3—2k=0。因?yàn)橹本€l被圓截得的弦長為，所以由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得k=。故直線l的方程為3x—4y+6=0。應(yīng)選A。

錯(cuò)因分析：上述解法忽視了直線l的斜率不存在的情況，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)也滿足題意。

正解：①當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，由上可得直線l的方程為3x—4y+6=0。②當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x=2，這時(shí)直線l被圓M截得的弦長也為適合題意。

綜上可得，直線l的方程為x=2或3x—4y+6=0。應(yīng)選C。

例 3 直線l：y=k（x—5）與圓O：x2+y2=l6相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)k變動時(shí)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為____。

錯(cuò)解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）。易知直線l恒過定點(diǎn)P（5，0）。由OM⊥AP，可得|OP|2=|OM|2+|MP|2，所以x2+y2+（x—5）2+y2=25，整理得即為所求的中點(diǎn)M的軌跡方程。

錯(cuò)因分析：上述解法在求點(diǎn)的軌跡方程時(shí)不注意進(jìn)行檢驗(yàn)致錯(cuò)。求軌跡方程問題，一定是符合實(shí)際情況的軌跡方程。

正解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）。易知直線恒過定點(diǎn)P（5，0）。由OM⊥AP，可得|OP|2=|OM|2+|MP|2，所以x2+y2+（x—5）2+y2=25，整理得

由于弦AB的中點(diǎn)M 必在圓內(nèi)，所以所求的中點(diǎn)M 的軌跡方程為

河南羅山高級中學(xué)高三（l）班

（責(zé)任編輯 郭正華）