例析直線與圓的位置關(guān)系

■王曉明

例析直線與圓的位置關(guān)系

■王曉明

直線與圓的位置關(guān)系是直線方程與圓的方程的重要知識(shí)點(diǎn)，也是高考的常考點(diǎn)。下面舉例分析這類問題的解題思想和方法，以供大家學(xué)習(xí)與參考。

例 1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x2+y2—8x+l5=0，若直線y=kx—2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，l為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是____。

解：圓C的方程可化為（x—4）2+y2=l，可知該圓的圓心坐標(biāo)為（4，0），半徑為l。

由題意可知，直線y=kx—2上至少存在一點(diǎn)（x0，kx0—2），以該點(diǎn)為圓心，l為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)。

方法總結(jié)：判斷直線與圓的位置關(guān)系要注意的是能用幾何法的優(yōu)先用幾何法，盡量不用代數(shù)法。

變式訓(xùn)練1：直線l：y—l=k（x—l）和圓x2+y2—2y—3=0的位置關(guān)系是____。

提示：將圓方程x2+y2—2y—3=0化為x2+（y—l）2=4。

由于直線l過定點(diǎn)（l，l），且l2+（l—l）2=l＜4，即定點(diǎn)（l，l）在圓內(nèi)，所以直線l與圓的位置關(guān)系是相交。

例 2 已知圓C：x2+y2+2x—4y+3=0。

（l）若不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線l的方程。

（2）從圓C 外一點(diǎn)P（x，y）向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求點(diǎn)P的軌跡方程。

解：（l）將圓C 配方可得（x+l）2+（y—2）2=2，其圓心C（—l，2），半徑為

由題意可知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零，可設(shè)直線l的方程為x+y—a=0。

故所求直線l的方程為x+y+l=0或x+y—3=0。

（2）由|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，可得|PM|2=|PC|2—r2。

因?yàn)閨PM|=|PO|，又|PC|2—r2=|PO|2，所以（x+l）2+（y—2）2—2=x2+y2，即2x—4y+3=0為所求點(diǎn)P的軌跡方程。

方法總結(jié)：求過一點(diǎn)的圓的切線方程，要分清該點(diǎn)在圓上還是在圓外這兩種情況，同時(shí)要注意切線斜率不存在的情況。

變式訓(xùn)練2：已知點(diǎn) M（3，l），直線ax—y+4=0及圓（x—l）2+（y—2）2=4。

（l）求過M 點(diǎn)的圓的切線方程。

（2）若直線ax—y+4=0與圓相切，求a的值。

提示：（l）設(shè)已知圓的圓心為C，半徑為r，則C（l，2），r=2。

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由圓心C（l，2）到直線x=3的距離d=3—l=2=r，可知直線與圓相切，此時(shí)切線方程為x=3。

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y—l=k（x—3），即kx—y+l—3k=0。

綜上可知，過M 點(diǎn)的圓的切線方程為x=3或3x—4y—5=0。

（2）由直線ax—y+4=0與圓（x—l）2+（y—2）2=4相切，可得，解得a=0或a=

河南商丘市第一高級(jí)中學(xué)

（責(zé)任編輯 郭正華）