代數的認知與應用教學研究

郭薇

（安遠縣東江源小學，江西 贛州 342100）

[摘 要] “數”與“代數”是解決基本數學問題必不可少的支柱。從小學四年級起，代數已經走進數學教材，豐富著學生的數學方法和思想。如何理解、運用好代數成為學生學習的一大瓶頸。從數學學習的角度看，學生需要深入了解代數，運用代數解決數學難題；從培養創新思維的角度看，學生以代數形式和思想為基礎，進行自主學習，不斷擴展自己的認知，建立數學知識之間的聯系。

[關鍵詞] 代數理論；數學思想；教學研究；功能作用

隨著數學問題的復雜化，小學高年級部分問題需要利用代數才可以得到快速解決。從廣義上看，代數涉及數、圖形、概率等領域；從狹義上看，代數可以解決同時存在兩個變量的問題，可以將問題的求解過程進行反向思維，利用代數的便捷性將求解思路簡化。從數學學習的角度看，學生需要深入了解代數，運用代數解決數學難題；從培養創新思維的角度看，學生以代數形式和思想為基礎，進行自主學習，不斷擴展自己的認知，建立數學知識之間的聯系。小學高年級學生對基本數學知識的理解和運用達到了一定高度，具備了研究代數的能力。因此，教師應利用好課堂時間，增強學生對代數的認識和應用能力，系統性地解決復雜問題。

一、小學階段的“代數理論”

小學生對代數的理解一般停留在“x、y”等感性符號的層次上。對小學階段的整個代數體系所知甚少，甚至很多教師沒有向學生明確提出代數概念。根據實際教學情況，學生將精力集中在代數應用上，而沒有深入思考和研究自己的學習方法和應用原理，使得學生無法及時運用代數知識解決問題。簡單地說，代數是利用特殊符號指代變量，利用變量的特性簡化整個求解思路和過程。通過對高年級教材內容的整合會發現，代數用來表示公式、運算規律、方程式、不等式以及簡單函數。在學習“代數”知識的過程中，學生對“數”的認知提升了一個層次，培養了學生的符號意識和估算能力，將現實問題抽象為數學問題或數學模型，利用代數進行探究性思考。

二、小學階段“代數”知識背后的數學思想

代數知識和代數理論是潛藏于數學體系之中的，涉及多方面的知識，具有分散、靈活的特征。把握好代數教學的基礎是弄明白代數知識背后的數學思想。從本質上去了解代數在數學學科中的作用，才能更加準確地把握代數教學課堂。

1.轉化思想

數學是為了解決現實問題而產生的科學，數學家布魯納提出：“代數就是將已知數與未知數按照數學規則排列，使得未知數成為已知數的表示方式。”從這句話中可以體會到代數理論中高深的轉化思想，這種轉化思想體現在數學問題的方方面面。

例如：師生十分熟悉的交換律、結合律、分配律等運算法則的表達方式為：a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），（a+b）c=ac+bc。如果采用文字或者數字表示這些法則，學生會陷入疲憊之中，而采用代數符號表示后，這個運算法則簡潔明了。漢字到符號的轉化、具體的現實問題到抽象的數學模型都是代數理論轉化思想的具體體現，幫助學生快速理解數學問題的處理方法，形成代數思維的意識。

2.替代思想

“數”是抽象的概念，“圖形”是具體的概念。利用“圖形”代替“數”，利用具體的概念代替抽象的概念用于幫助學生理解數學問題。一般情況下，我們利用抽象的符號來代替具體內容，抽離出問題中的數學模型，方便找出條件之間的關系，但是，在具體的數值運算中，更需要培養學生“圖形”代替“數”的能力，提高計算的準確性和正確性。

3.逆向思維思想

在高年級數學教學中，代數知識得以運用最廣泛的部分為一元一次方程。在方程中，未知項不再是直接求解的對象，轉變為建立數學等式的一個條件，利用數學等式上的關系進行反向求解。這種反向求解的思維方式和方法將逆向思維運用到了極致。學生在運用方程方法求解問題時，先找組成等式的條件，然后將未知項以x、y的符號形式進行帶入，最后，利用等式關系得出最終的結果。

三、代數知識在教材中的具體應用

以上兩個章節從代數理論和代數理論背后的思想兩個層面對代數進行了全面的分析和講解。代數的特征和思想并不能通過直接講解使學生獲得深入的體會，還需要結合教材中的具體內容進行應用分析，讓學生從實踐中體會代數數學思想的優越性。

1.“簡易方程”中的代數應用

按照教材的講解順序，從代數意識的培養做出，比較月球和地球舉重的數量關系，比較兩個人的年齡關系，定義周長、面積的表達方式；然后，提出了等式和等式關系概念，讓學生體會問題包含的內在等價公式；緊接著，提出方程概念，將代數、等式、數值運算法則等內容應用到組建方程的體系中，最后，利用方程解決現實問題。從整個知識體系可以看出，方程是由代數思想發展而來的，為學生解決現實應用問題提供了新途徑。

為了將方程、代數、數、圖形建立其緊密聯系，讓學生對數學知識形成全面理性的認識。教師應該抓住教材中的資源，進行深入講解和通透，確保學生數學知識的聯合、統一。

2.將代數應用于“運算結果奇偶性”的判斷

小學高年級對數的分類具有多種標準，包括奇偶性、質數與合數等。對數的分類方便了數學計算的過程，對處理較大數值的乘除運算具有很大幫助。在教學中發現，學生對數的認知不夠深刻，對自己明顯的計算錯誤無法進行及時有效的檢驗。如果將代數引入其中，就可以幫助學生進行及時有效地檢驗。

通過運用知識巧妙地幫助學生得出“偶偶相加得偶，奇奇相加得奇，奇偶相加得奇”的結論。在數學中還有更多的結論可以通過代數進行推算出來，而不需要學生死記硬背。代數知識可以幫助學生從抽象的層面理解數學結論，重新認識數學教材中的法則和規律。教師應引導學生不斷探索數學世界的潛在規律，培養學生思考問題的能力，幫助學生快速成長。

3.符號在數學知識串聯中的應用

小學高年級數學知識具有總結性和延伸性，同時，淡化了數學知識板塊之間的界限，增加了數學知識之間的聯系。未知項代號可以幫助學生將不同知識串聯起來，實現不同板塊之間的溝通。其中最重要的部分是數學知識與方程關系的建立。

例如：在六年級接觸到的“百分制”知識。雖然百分制的形式是x%，但其與小數、分數的關系緊密，大多可以相互替代表達。當問題中涉及百分制數值時，可以將其轉化為分數，分出分子項和分母項，利用等式關系求出分子，得到所求比例。此外，六年級教材中延伸了坐標內方向的表達，讓學生根據文字描述，分析出坐標內的實際情況，確定好兩者之間的位置關系。在文字轉化為圖形的過程中，需要根據已知條件建立其對應等式，將未知項與已知內容排列起來，進而求解出最終的答案。在小學數學知識總結和歸納階段，教師應該淡化知識板塊的界限，從組建整個數學體系的角度上，分析各部分知識的具體使用方法。代數可以將數學中大部分知識串聯起來，從逆向思維的角度去重新認識學過的內容，重新構造自己的學習框架。

小學數學代數知識和理論可以幫助學生深入理解數學法則、概念，探索數學運算中的規律，逆向思考數學問題，甚至利用方程式將加減乘除、分數和百分數、概率和數值關系等進行整合，進而解決數學中的復雜問題。教師應該認識到代數知識和思想的重要性，不斷滲透理論背后的數學思想，讓學生的數學素養得到有效提升。

參考文獻

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責任編輯 王 慧