高中數學解題中代換法的靈活應用

江蘇省鹽城市阜寧縣東溝中學 張達連

高中數學解題中代換法的靈活應用

江蘇省鹽城市阜寧縣東溝中學 張達連

在高中階段，數學知識相對于其他科目的知識比較困難。數學題具有一定的綜合性,幾乎每道題都會運用以前的知識點，但就是因為數學學習的這種特點，數學問題的解決對學生來說非常困難，有時候即使了解了很多知識點，也無法正確解決數學問題，久而久之，容易讓學生產生一些不自信的心理，影響學生對數學知識的掌握。為了解決這些問題，提高學生對數學知識的學習能力和靈活運用知識的能力，筆者總結了高中數學三角函數、比值代換、變量代換等經典代換方式來解決數學問題，以提高學生的數學能力。

高中數學；靈活運用；解決問題；代換方式

高中數學問題一般都會存在一個或多個未知變量的條件，這些未知變量的出現提高了解題的難度，讓數學問題變得更加綜合和復雜。在解決這些問題時，如果使用一定的數學思想或者數學方法來更換解題思路和方式，可以將很復雜的關系變成簡單易懂，容易進行解答的問題。代換法就是一種能夠將數學知識化復雜為簡單的方式。代換法有函數代換、變量代換、等量代換等。需要學生熟練掌握這些數學思想，理解代換方法的解題步驟和原理，充分提高自身解決數學問題的水平，進一步提高數學成績。

一、代換法在函數問題中的運用

在題目中已知函數其他有關條件，求函數本身的關系式時，就可以利用變量代換的思想來進行求解。例題：已知求。在此題的解答中，因為方程左邊的變量比較復雜，所以可以設因為不能直接求出右邊對應的關系表達式，所以對右邊的式子進行觀察，看是否能用t表示出來，化為有關t的函數。右邊的化解過程：方程上下同時除以可以看作從而得到函數為又例題：已知這道題可以令求出直接將x的值帶入原式即可得解。當一個題出現了多個變量的復雜問題時，要選擇合適的變量進行變換，如下例題：已知x為任一非零實數，求在這道題的解答中，需要代換出所以可以設則原式等于再對式子進行轉化和原式聯立可得從而得出

函數在高中的學習內容還包括求函數的極限內容，課本上最常見的方式就是利用洛必達法則，主要是針對的形式進行思維擴展，還可以運用于等方面的內容，但是并不是所有類型都直接是屬于等的形式，需要學生進行特殊的轉換。比如例題：求極限雖然通過觀察和計算可以得出是型，但是如果直接使用洛必達法則，很容易將冪函數的次數越化解越高，所以需要對此進行轉換，降低冪函數的次數，令則原式化解為這道題就是將高次冪轉化為了的形式，從而簡單求出了極限。

二、代換法在微分積分中的運用

變量代換法又叫換元法，第一換元法為湊微分法。換元法的步驟在定積分和不定積分中基本相同，但需要注意在定積分中，換元還需要換限，常見的積分中的換元法有算式代換、根式代換和三角代換、指數代換等。

微分方程是數學學習過程中一個非常重要的模塊，一階的微分方程是微分知識的基礎部分，所以還需要我們掌握其方程的求解方法。一般使用分離變量的代換方法形成方程，進而求解。

三、代換法在概率問題中的運用

概率問題在高中數學中可難可簡單，因為概率問題涉及的知識面比較廣，所以需要學生具備一定的分析能力，在學習概率和解決概率問題的過程中，要有靈敏的思維，使用科學的做題方式來有效地解決問題。例題：一個黑箱子里面有四個白球，八個紅球，這些球除了顏色的區別以外，其他都是一樣的。如果同學甲隨機地在這個箱子中一下拿出五個球，求此時拿出紅球的概率是多少？此題的解題過程為：設摸出的球中紅球個數為a個，根據題目和概率基礎知識可以得出P答：隨機從黑箱里拿出五個球，其中摸出紅球的概率為0.42。又如例題：在A市有一個超大型的商場，為了讓商品盡快銷售，制定了一個促銷活動，活動中有一個抽獎不透明的紙箱，箱子里有十個大小形狀相同的小球，依次按照一到十的順序編號，其中有兩個黃球，八個白球，每一個抽獎的顧客都可以一次性拿出兩個球，如果全是黃球，就是一等獎。求顧客摸球是一等獎的概率。解答：此題可以用求的樣品數除以總的樣品數，從十個球中抽取兩個球有從兩個黃球中抽出兩個黃球有種，所以可以求出顧客能夠中一等獎的概率為：求出得1/45。

在利用代換法對數學方程問題進行求解時，需要抓住題中給出的已知條件和各變量及所求量之間的關系。例題：一條直線與直線L1，L2相交，并且此直線經過點（-3，5，9），L1：y=3x+5，z=2x+3，L2：y=4x-7，z=5x+10，求該直線方程。解答過程：設x=-3+lt，y=5+mt，z=-9+nt，將此式代入L1的表達式中，化解x、y、z得x=-3+ls，y=5+ms，z=-9+ns，再代入L2的表達式中，得出m=22l，l=1，所以m=22，n=2，從而解出直線方程。

總的來說，代換法是高中數學中常用的思維思考方式，其不僅可以在很大程度上簡化做題的過程，幫助學生擴展和延伸一定的解題思維，提高學生思維的發散性，而且可以靈活地運用各種變量之間的關系將復雜并且綜合性強的數學題目進行簡化，讓學生感受到解答數學題的成就感，從而在數學的學習中找到樂趣，激發學生學習數學的熱情和動力。所以在數學的學習過程中，一定要善于運用綜合歸納、假設的思想，學會運用數形結合、等量代換等解決各種綜合性強的問題，提高學生的學習能力。