巧用塞瓦定理證明三線共點問題

陳聰

【摘要】眾所周知，三線共點問題在初等幾何證明中占有特殊重要的地位.解決三線共點問題的一般方法是找出一個適當的三角形，使其中的三條線是已知的塞瓦線.例如，三角形的中線或垂直平分線等.然而，相當一些涉及三線共點的更普遍問題，其中大部分最終仍要歸結到塞瓦定理.

【關鍵詞】塞瓦定理；三線共點；證明

定理（塞瓦定理）給定一個ΔABC和分別位于線段BC，CA，AB上的三個點A′，B′，C′.線段AA′，BB′，CC′共點的充分必要條件是C′AC′B·A′BA′C·B′CB′A=1.

找一個滿足上面比值恒等式的適當三角形并非容易的事情.如何解決這個問題并正確應用塞瓦定理？在此，筆者總結出證明三線共點問題基本方法的兩個重要步驟.為便于歸納總結，我們以如下具體問題為背景來進行說明.

問題給定△ABC，構造矩形ACDE，AFGB和BHIC使它們都在△ABC的外側.證明線段EF，GH和ID的垂直平分線共點.

這是聯系三角形邊的矩形相關問題的一種特殊情況.要想應用塞瓦定理證明此問題，困難在于所給的已知條件過于簡單.不像其他類似問題通常都有附加限制，如用正方形代替矩形或給定的三角形是一特殊三角形.此外，問題中三條垂直平分線交點的位置與三個矩形的高度有關，況且它不會讓我們立即想到與△ABC的聯系.

解決此問題的關鍵就是要牢牢把握已經給定的數量關系，即ΔABC的三個角度和三邊的長度.我們分別用x，y和z表示三個矩形的高度.

步驟1構造一個三角形，并要求所給定的線是塞瓦線.

（1）作線段FA，EA和CI的垂直平分線，并組成一個△O1O2O3.其中O1，O2，O3分別是△EAF、△GHB和△CDI的外心.再作EF、GH和ID的垂直平分線h1，h2，h3（圖1）.顯然，h1過點O1，h2過點O2，h3過點O3.于是，△ABC：△O1O2O3且線段h1，h2，h3是△O1O2O3的塞瓦線.

（2）在△ABC中，作平行線AA′∥h1、BB′∥h2和CC′∥h3.這樣就獲得了△ABC的塞瓦線.為此，我們只需證明線段AA′、BB′和CC′共點即可.

步驟2應用塞瓦定理.為確保目的明確，我們在表示塞瓦定理中的比值時，只使用△ABC的邊和角以及矩形的高x，y，z.

在△ABA′和△ACA′中，分別使用正弦定理，可得

A′BAA′=sin∠A1sin∠B，A′CAA′=sin∠A2sin∠C.

兩式相除，有

A′BA′C=sin∠A1sin∠A2·sin∠Csin∠B.

注意到∠A1≡∠（O1O2，h1）≡∠F1；∠A2≡∠（O1O3，h1）≡∠E2.于是，在△EFA中再使用正弦定理，可得

sin∠A1sin∠A2=sin∠F1sin∠E2=xy.

因此A′BA′C=xy·sin∠Csin∠B.

同樣，我們可直接寫出塞瓦定理中的另外兩個比值分別為

B′CB′A=yz·sin∠Asin∠C；C′AC′B=zx·sin∠Bsin∠A.

綜上可得

A′BA′C·B′CB′A·C′AC′B=xy·yz·zx·sin∠Csin∠B·sin∠Asin∠C·sin∠Bsin∠A=1.

這就證明了AA′，BB′，CC′共點.因此，h1，h2，h3也共點.

最后，需提請讀者注意：我們一旦確定了三角形中塞瓦線的位置，應嘗試只用初始條件來表達塞瓦定理中的每個比值.換句話說，大家應該嚴格使用給定的假設來寫出三個比值，并且避免直接由它們來推斷結論.