關于教材教參中例題習題的疑問及修改建議
——以人教A版高中數學選修2-1常用邏輯用語為例

□徐加華

（新泰市第一中學，山東新泰 271200）

教材分析

關于教材教參中例題習題的疑問及修改建議
——以人教A版高中數學選修2-1常用邏輯用語為例

□徐加華

（新泰市第一中學，山東新泰 271200）

高中數學教材和教參中的例題習題解答過程不順暢、條件欠嚴謹、答案不準確，讓人產生很多疑問.教材和教參中的例題習題在編寫時要注意結合課程標準以及考試大綱的要求來進行設計，題目要符合學生當前的認識水平和教師的教學需求，務必保持教材前后的銜接性和連續性，題目的解答過程要流暢，做到典型性、示范性和邏輯性要強，不存在似是而非的問題.

教材；嚴謹性；問題；疑惑；建議

高中數學教材和教參中的例題和習題凝聚了眾多教育教學研究專家的心血，具有很強的嚴謹性、基礎性、典型性、示范性和導向性，它們是教師教學和學生學習的基礎和根本，也是命題者的立足點和出發點.嚴謹性是對例題習題提出的最起碼的一個要求.我們在常用邏輯用語的教學中遇到幾個問題，現列舉出來，指出其中的疑惑，并給出相應的教學建議，與大家分享交流.

問題一 解答過程不通順

例1證明：若x2+y2=0,則x=y=0[1]7.

為了便于說明問題，現將教材的原分析及解答摘抄如下.

分析：將“若x2+y2=0,則x=y=0”視為原命題.要證明原命題為真命題，可以考慮證明它的逆否命題“若x,y中至少有一個不為0，則x2+y2≠0”為真命題，從而達到證明原命題為真命題的目的.

證明：若x，y中至少有一個不為0，不妨設 x≠0，則 x2＞0，所 以 x2+y2＞0，因 此x2+y2≠0.所以x=y=0.這表明原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題.

疑惑既然證逆否命題成立，即證“若x，y中至少有一個不為0，則x2+y2≠0”為真命題，證明的過程當中加“所以x=y=0”不知何意？

建議證明過程應去掉“所以x=y=0”，這樣表述就準確通順了.于是修改后的證明過程為：若 x,y中至少有一個不為0，不妨設x≠0，則x2＞0,所以x2+y2＞0,因此x2+y2≠0.這表明原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為真命題.

問題二 條件欠嚴謹

例2下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

（1）若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行[1]10.

教參給的答案：該命題中的p是q的充分條件[2]11.

疑惑在普通高中課程標準實驗教科書數學教材必修2中，兩條直線的位置關系為：平行、重合和相交.那么本題兩條直線有沒有重合的可能呢？如果重合，那么教參的答案就錯了.

建議本小題題目當中需要加上“不重合的”，即本小題改為：若兩條不重合的直線的斜率相等，則這兩條直線平行.這樣就顯得嚴謹了.

（1）如果A?B，那么p是q的什么條件？

（2）如果B?A，那么p是q的什么條件？

（3）如果 A=B，那么 p是 q的什么條件？[1]13

教參給出的答案為：（1）充分條件；（2）必要條件；（3）充要條件[2]11.

疑惑我們先看一個例子，已知p:x2=-1；q:x＞1，則顯然滿足A?B，按照教參的答案有：p是q的充分條件.但是此時 p:x2=-1和q:x＞1的邏輯關系該如何處理呢？學生目前的知識能接受嗎？如何向學生解釋？這樣在教學時就顯得很被動，不利于當前的邏輯教學.

建議針對目前學生的水平，建議在題目的條件中加上“集合A、B為非空集合”，即題目改為：已知集合A、B為非空集合，A={x|x滿足條件 p}，B={x|x滿足條件 q}.

（1）如果A?B，那么p是q的什么條件？

（2）如果B?A，那么p是q的什么條件？

（3）如果A=B，那么p是q的什么條件？

問題三 答案不準確

以下是教參給出的答案.

逆命題：若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形有兩條邊相等.真命題.

否命題：若一個三角形有兩條邊不相等，則這個三角形有兩個角也不相等.真命題.

逆否命題：若一個三角形有兩個角不相等，則這個三角形有兩條邊也不相等.真命題[2]6.

疑惑該命題的否命題和逆否命題怎樣書寫？教參的答案對嗎？

消除疑惑的關鍵就是弄清“有兩條邊相等”的否定是什么？是“有兩條邊不相等”還是“不存在兩條邊相等”？同樣“有兩個角相等”的否定是什么？是“有兩個角不相等”還是“不存在兩個角相等”呢？

建議事實上，三角形中三條邊都相等也屬于有兩條邊相等的情況，因此我們認為“有兩條邊相等”可理解為“存在兩條邊相等”，其否定為“沒有兩條邊相等”，即“不存在兩條邊相等”.

由結果追溯原因的方法是逆向的，其意義在于確保順向思維的正確性，旨在把握事物的因果聯系，提高預見性，培養多維度思考問題的能力。思想政治教育接受過程受到多種因子的影響，是各種要素有機結合、共同作用的結果。當代大學生面臨著國外環境瞬息萬變、國內改革舉步維艱的情形，趕上了科學技術飛速發展的時代，迎接著意識形態日新月異的挑戰。他們是否具備優良的思維能力與視角、思考維度與方式、行為判斷與選擇、實踐本領與才干、創新理念與才智，是決定其能否成為一名優秀的現代化事業掌舵人的標準。歸因理論為當代大學生打開了思維轉換之門。

同樣“有兩個角相等”的否定為“沒有兩個角相等”，即“不存在兩個角相等”.

這樣原命題的否命題：若一個三角形不存在兩條邊相等，則這個三角形不存在兩個角相等.真命題.

逆否命題：若一個三角形不存在兩個角相等，則這個三角形不存在兩條邊相等.真命題.

例5教參第17頁下方例8（該例題的目的是比較“若p，則q”形式的命題的否定與否命題的區別）.

命題p：正方形的四條邊相等，

命題?p：正方形的四條邊不相等.

p的否命題：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等.

問題從教參對本題的處理來看，命題p可以改寫為：若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等.于是教參上寫的該命題的否定“正方形的四條邊不相等”，就可以等同于“若一個四邊形是正方形，則它的四條邊不相等”.

疑惑（1）上述?p的書寫是否正確？（2）命題“若p，則q”的否定是“若p，則?q”嗎？舉個例子，命題p：若一個數能被5整除，則這個數的個位數字是5.該命題為假命題.那么該命題的否定是否可寫為：若一個數能被5整除，則這個數的個位數字不是5？很明顯這樣寫命題的否定是不可以的，因為這時所寫的命題也是個假命題.在一些教輔資料上，也經常出現這樣的類似錯誤，甚至有的資料直接提出：若命題p為“若A，則B”的形式，則?p為：“若A，則?B”.這說明，教參的例題也是非常重要的，處理不好，往往對教輔資料以及教師的選題講解等起誤導的作用.

建議高考對此部分的要求：（1）了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系.（2）能正確地對含有一個量詞的命題進行否定（摘錄了一部分）.這就是說，對于“若p，則q”形式的命題，不涉及其否定，而命題的否定一般借助于全稱命題和特稱命題來進行考查.教學時，對于一般命題的否定和否命題的區別，可以先從命題的真假性來區分.而對于“若p，則q”形式的命題的否定與否命題的區別，書寫可以不提，不要加大教學和學生學習的難度，或者在學完全稱命題和特稱命題后舉一些適當的例子說明即可.如果有同學對此感興趣，可以通過上網等方式單獨釋疑.

基于上面幾種情況的分析，筆者認為教材和教參中的例題習題在編寫時要注意結合課程標準以及考試大綱的要求來進行設計，題目要符合學生當前的認識水平和教師的教學需求，不可過多地給教師和學生增加額外負擔.同時還應注意題目的條件在語言表述上要嚴謹、準確，務必保持教材前后的銜接性和連續性；題目的解答過程要流暢，做到典型性、示范性和邏輯性強，不存在似是而非的問題，從而避免不必要的、毫無意義的爭論.

［1］劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2016.

［2］劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書數學選修2-1（A版）教師教學用書［M］.北京：人民教育出版社，2016.