芻議擺鐘走時快慢的相對誤差

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學(xué) 內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010)

趙林明

(廣東實驗中學(xué) 廣東 廣州 510375)

芻議擺鐘走時快慢的相對誤差

宋輝武

(鄂爾多斯市第一中學(xué) 內(nèi)蒙古 鄂爾多斯 017010)

趙林明

(廣東實驗中學(xué) 廣東 廣州 510375)

從物理學(xué)角度探究了不準確擺鐘走時的相對誤差，并通過舉例分析用相對誤差的兩種表達式解題時所帶來的差別，期望可以澄清廣大教師對這一問題的誤解.

擺鐘 相對誤差 準確度

擺鐘問題歷來是高中物理的一個難點，很多教師曾在各大刊物發(fā)表過大量的論文，但是對于其中的一個問題(即不準確擺鐘走時的相對誤差問題)似乎大部分教師都非常容易走進誤區(qū).由于這一問題具有一定難度，因此并不要求學(xué)生掌握，也正因為如此，很多人也就不太注意，但是如果將這個錯誤觀點帶進課堂，學(xué)生利用這一結(jié)論直接解題將會出現(xiàn)嚴重的錯誤.筆者深入研讀了近幾十年的大量文獻，發(fā)現(xiàn)很多文獻都在這個問題上犯錯，而由于問題的隱蔽性極高，再加上大多數(shù)人的思維定勢導(dǎo)致這一錯誤并沒有被人發(fā)現(xiàn)，下面筆者將通過其中一篇典型的文章展開討論，進而澄清這一問題.

1 問題的提出

問題：走時準確的擺鐘的周期為T準，走時不準確的擺鐘的周期為T不準，問走時不準確的擺鐘的相對誤差為多少？

這一觀點在有的刊物上得到公開發(fā)表，其錯誤的隱蔽性可見一斑，鑒于此，筆者認為這一在教師中廣為流傳的錯誤觀點亟待澄清.

文獻[1]通過數(shù)學(xué)分析法得出擺鐘問題的計算公式，其主要思路是先進行了一個假設(shè)

(1)

其中l(wèi)為擺長，并利用這個錯誤公式計算了幾道例題.

讀罷文獻[1]收獲頗多，尤其被作者扎實的數(shù)學(xué)功底所折服，由于文獻[1]是完全通過數(shù)學(xué)途徑得出的結(jié)論，因此順著其思路根本不會發(fā)現(xiàn)文章中的任何錯誤，隱蔽性極高，而筆者也是從物理學(xué)的角度進行對照時才發(fā)現(xiàn)其錯誤所在.

2 問題分析

問題剖析：值得注意的是，嚴格地講，擺鐘并不是單擺，而是復(fù)擺(即剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的物理擺)，引入等值擺長后可視為單擺.根據(jù)擺鐘的機械構(gòu)造，不論走時準確的鐘還是不準確的鐘，只要擺鐘的擺完成了一次全振動，鐘面指針擺過的角度都是相同的，比如說秒針都跳動了1 s，因此走得快的擺鐘，其實際周期短，走得慢的擺鐘，其實際周期長.其中主要涉及兩類擺鐘問題，擺長發(fā)生變化引起的以及重力加速度發(fā)生變化引起的計時不準確問題.下面我們針對慢鐘和快鐘從物理學(xué)角度進行討論.

2.1 慢鐘走時的相對誤差

假設(shè)不準確的慢鐘在時間t內(nèi)其鐘面顯示的時間為t′，其周期為T慢，準確擺鐘的周期為T準，不難理解T慢>T準，則不準確的慢鐘在時間t內(nèi)擺動的次數(shù)為

因此,不準確的擺鐘其鐘面顯示的時間

不準確的慢鐘走時的相對誤差為

2.2 快鐘走時的相對誤差

假設(shè)不準確的快鐘在時間t內(nèi)其鐘面顯示的時間為t′，其周期為T快，準確擺鐘的周期為T準，不難理解T快

因此,不準確的快鐘其鐘面顯示的時間

不準確的快鐘走時的相對誤差為

2.3 擺鐘走時快慢的相對誤差

由此可知不準確擺鐘走時的相對誤差為

(2)

反過來我們可以看出文獻[1]中的錯誤出現(xiàn)在源頭的假設(shè)上，實際上假設(shè)式(1)應(yīng)該由

(3)

替代才能得出正確結(jié)論.

3 例題分析

而對于文獻[1]中給出的例題來說，其解析過程也是錯誤的.

【例1】某擺鐘當擺長調(diào)到30.00 cm時，12 h內(nèi)慢了150.0 s，試問當擺長調(diào)到29.50 cm時，在一晝夜內(nèi)擺鐘是快了還是慢了多少時間？

原文錯解：已知

由擺長調(diào)整公式可得

當擺長為29.50 cm時，由同一公式求出

由于k′是負值，故可知擺鐘又走快了，由

Δt′=k′t′=0.004 9×86 400 s≈

423.4 s≈7.06 min

正確解析：由式(2)可得

因此

l準=30.00×(1-0.003 5)2cm≈29.79 cm

當擺長為29.50 cm時，根據(jù)

即可解得

86 400×0.004 9 s≈423.4 s≈7.06 min

【例2】如果擺長為l1的擺鐘在一段時間里快了n秒，擺長為l2的擺鐘在相同時間里慢了n秒，則準確擺鐘的擺長應(yīng)為多少？

典型錯解：根據(jù)

對于走時慢的鐘有

即

(4)

對于走時快的鐘有

即

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)即可解得

正確解析：根據(jù)式(2)，對于走時慢的鐘有

即

(6)

對于走時快的鐘有

即

(7)

聯(lián)立式(6)、(7)即可解得

4 結(jié)束語

1 查裕康．擺鐘問題的計算公式．物理教師，2004(4):54～55

2016-03-20)