數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想的滲透

張 昕，周亞萍

（江蘇省泰興市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)，江蘇泰州 225400；江蘇省泰興市濟(jì)川初級(jí)中學(xué)，江蘇泰州 225400）

引 言

一元二次方程是初中教學(xué)重難點(diǎn)。化歸思想方法是中學(xué)基本教學(xué)思想，中學(xué)教學(xué)幾乎全部滲透著這種思想，由未知向已知轉(zhuǎn)變，從特殊向一般轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，把高次轉(zhuǎn)向低次化，多元趨向一元，以上均是化歸思想的具體體現(xiàn)。另外，中學(xué)數(shù)學(xué)采用化歸思想多次分析、解決問題，然而，所有數(shù)學(xué)問題的解決都要 “轉(zhuǎn)化與化歸”。平常基礎(chǔ)知識(shí)及解題教學(xué)都離不開化歸思想。本文以一元二次方程教學(xué)案例為切入點(diǎn)，在案例教學(xué)中著重論述化歸思想，把知識(shí)間的相關(guān)聯(lián)系闡述得十分清晰，指引著新知識(shí)及方法的應(yīng)用。其中，選用的教學(xué)案例為北師大七年級(jí)上冊(cè)。

一、初中階段學(xué)生特征

初中階段學(xué)生年齡多集中于12歲至16歲，是人生階段的少年期，初中三年的學(xué)習(xí)是一段短暫的時(shí)間。身心急劇變化，自我意識(shí)顯現(xiàn)，具有強(qiáng)烈的獨(dú)立自主意識(shí)，是該階段青少年表現(xiàn)出的主要特征。青少年認(rèn)知思維更加抽象，傾向概括及邏輯方向已經(jīng)具備了極強(qiáng)的遷移能力。此外，青少年對(duì)觀念、原則等掌握更加迅速，教學(xué)應(yīng)盡可能刺激青少年，讓他們掌握新的知識(shí)方法，發(fā)現(xiàn)并解決問題，獲得成功的喜悅及滿足感。

二、初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中化歸思想的全面滲透一元二次方程

1.情境中融入“化歸”

為了更好地表現(xiàn)新課程理念及活動(dòng)主題，筆者將教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)放在教學(xué)內(nèi)容理解及教學(xué)知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系上，滲透教學(xué)思想。

問題一，如果正方形的面積為8，則正方形的邊長(zhǎng)為多少？問題二，如果長(zhǎng)度為10m的梯子斜靠在一面墻上，梯子頂端距離地面的垂直間距為8m，假如梯子頂端向下移動(dòng)2m，那么梯子的底端滑行了多長(zhǎng)距離？

分析：在以上兩個(gè)問題情境中，前一個(gè)問題用到了特殊一元二次方程的求解，后一個(gè)問題用到了常規(guī)一元二次方程求解，首先需要求解的是梯子底端和墻角的間距，應(yīng)用了特殊一元二次方程開方求解的方式，對(duì)于梯子底端究竟滑了多少米，需要借助一般一元二次方程求解，其包含了一元二次方程化歸的思想，此種情境教學(xué)滲透了數(shù)學(xué)化歸思想。情景的創(chuàng)設(shè)為學(xué)生提供思想的空間，使學(xué)生借助化歸思想解決一元二次方程式，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍了課堂氛圍，提高了課堂教學(xué)效果。

2.方程形式中體現(xiàn)“化歸”

問題三，是否會(huì)求解以下一元二次方程？采用了何種方法？（1）x2=8；（2）2x2=0；（3）x2-4=0；（4）4x2-32=0；（5）（x+4）6=36；（6）（x-6）5=10。上述各題的求解均用到了兩邊直接開方的形式，這種求解一元二次方程的方法稱之為直接開平方法。

問題四，如何求解方程式x2+10x-20=0？

分析：第三個(gè)問題的前兩個(gè)問題的求解方式為直接開方；中間兩個(gè)小題通過轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)變成可以開方的形式；最后兩個(gè)小題完全為開平方形式，可通過開平方的形式求解問題。盡管上述問題均直接使用了開平方法，然而，透過方程本身，體現(xiàn)的是化歸思想。尤其是第四個(gè)問題求解就以化歸思想為指導(dǎo)，然后做出分析。化歸思想應(yīng)用到一元二次方程中，將抽象的問題具體化，以一元二次方程式為平臺(tái)，完成一元二次方程式的求解任務(wù)，使化歸思想動(dòng)態(tài)有效。學(xué)生不僅了解到一元二次方程如何應(yīng)用到幾何圖形的求解中，而且對(duì)化歸思想有了更加深入的了解，更認(rèn)可這種解題思想。

3.問題探究中凸顯“化歸”

問題五，將適當(dāng)?shù)臄?shù)字填進(jìn)下述公式，要求等式兩邊成立。x2+10x+_=（x+5）2。

問題六，判斷以下方程可否通過開方形式求解，怎樣求解？（1）x2-6x+2=4；（2）x2+5x+30=10。

問題五是讓學(xué)生掌握配方的方法。問題六是引導(dǎo)學(xué)生完成配方的方法，求解一元二次方程，從中掌握此類配方方法。

分析：以化歸思想為指導(dǎo)，通過配方的形式轉(zhuǎn)變一般一元二次方程為完全平方形式，進(jìn)而通過開方的形式解決此類問題，這是解決此類問題的關(guān)鍵點(diǎn)。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，化歸思想是問題深入研究的重點(diǎn)。

問題七，我們已經(jīng)能夠通過直接開方的形式解決一般一元二次方程，如2x2=b(b＞0)，但是現(xiàn)在可否求解方程3x2+qx+p=0？

問題八，配方法和直接開平方法之間的聯(lián)系和區(qū)別？

分析：基于配方法引出問題，指引學(xué)生從直接開平方到配方法。對(duì)于一般問題的解決，滲透了化歸思想，讓學(xué)生深刻了解到，化歸思想起連接一般方程和特殊方程的橋梁作用，這種思想可普遍應(yīng)用于一般問題的解決，意義重大。化歸思想應(yīng)用于問題分析中，為學(xué)生分析問題提供了指導(dǎo)，將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，特殊的形式一般化，問題的分析及解決更加容易，學(xué)生不僅掌握解決問題的指導(dǎo)方法，而且還對(duì)化歸思想的印象更加深刻。

4.方法應(yīng)用中表現(xiàn)“化歸”

問題九，如有一塊長(zhǎng)度為40m、寬度為30m的矩形地面，于地面上修建了同樣寬度且相互垂直的兩條道路，其余部分種植花，如果要使剩余部分面積為900m2，要求道路寬度？

方法一，建設(shè)道路寬度為xm，便有方程：

40x+30x-x2=40×30-900。

方法二，假設(shè)道路寬為xm，以平移的方式把相互垂直的兩條道路移動(dòng)到矩形兩側(cè)，因?yàn)槭Ｓ嗖糠置娣e未發(fā)生變動(dòng)，可得到如下方程：

（40-x)(30-x）=900。

分析：方法二突出了復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題轉(zhuǎn)化的思想，讓學(xué)生感受到化歸思想的普及性及實(shí)用性。化歸思想應(yīng)用于方法，以普遍適用性解決了一元二次方程類似問題。

5.配方法幾何意義中暗含“化歸”

問題十，如下方程：x2+4x-40=0可通過建圖的方式求解，假設(shè)邊長(zhǎng)為2x+4的正方形，其中各邊長(zhǎng)劃分為x+4，x兩部分，從各邊分界點(diǎn)出發(fā)引垂線，于內(nèi)部構(gòu)成了一個(gè)小正形。其中大正方形面積為（2x+4）2，各矩形面積為x（x+4）=x2+4x=40，因?yàn)橹虚g小正方形面積為16，所以可得到如下公式：(2x+4）2=40×16+16，也即是（2x+4）2=656。

分析：配方中包含的幾何意義及一元二次方程的幾何求解法，滲透了幾何和代數(shù)化歸思想的轉(zhuǎn)化；也包含了利用配方方式把一般一元二次方程化歸成特殊一元二次方程。此外，圖形之中也包含了化歸思想。

結(jié) 語

以上僅是化歸思想的一些教學(xué)案例。化歸思想普遍應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及一般問題解決中，我們要抓住問題解決對(duì)象，以化歸思想為指導(dǎo)，讓化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中更好地發(fā)揮作用。強(qiáng)化數(shù)學(xué)教學(xué)方法是現(xiàn)代教育的基礎(chǔ)，也是關(guān)鍵。化歸思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中一項(xiàng)基本、重要的方法，在教學(xué)中的地位十分重要。本文以初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例為切入點(diǎn)，分析化歸思想于其中的應(yīng)用，結(jié)合初中學(xué)生認(rèn)知特征及該階段教材實(shí)際，系統(tǒng)全面地分析了化歸思想在具體教學(xué)中的實(shí)際運(yùn)用，文章研究重點(diǎn)及創(chuàng)新點(diǎn)也在于此。化歸思想的掌握不是單純依靠一節(jié)課便能解決，需要付諸于長(zhǎng)期實(shí)踐，在教學(xué)中不斷觀察，逐步進(jìn)步，因?yàn)檠芯績(jī)?nèi)容的限制，其中經(jīng)驗(yàn)論述未免有些缺陷，也是本次研究難點(diǎn)之一，以期后續(xù)研究者在該方面繼續(xù)努力，在具體教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)一步完善。

[1]嚴(yán)君華.淺談初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中化歸思想的滲透策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2014（07）.