動態建構 理性生成

顧寧燕

摘 要：“圖形性質”是空間與圖形部分的內容，《數學課程標準》（2011版）中指出，“空間與圖形”內容以圖形為載體，以培養空間觀念、推理能力，以及更好地認識與把握我們生存的現實空間為目標，不僅著眼于學生理解和掌握一些必要的幾何事實，而且強調學生經歷自主探索和合作交流的過程，形成積極的學習態度和情感。本文以《三角形的三邊關系》一課為例，談談實際的做法。

關鍵詞：圖形性質；三角形的三邊關系；動態

“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”是三角形邊的重要性質。了解這一知識，不僅可以更好地理解和掌握三角形的特征，而且可以用它解決很多日常生活問題。此類性質如何讓學生獲得？學生了解性質的同時，會經歷怎樣的學習過程，積累怎樣的學習經驗，迸發怎樣的學習智慧，收獲怎樣的數學課堂？筆者謹以《三角形的三邊關系》一課為例，談談自己的想法。

一、動態游戲，師生共情，點化兒童對難點的領悟

課前，筆者設計了“任意伸手指”的小游戲：請學生任意伸出一根手指和任意伸出兩根手指。

實錄：

師：快要上課了，我們來玩個放松的小游戲好不好？

生：好！

師：請同學們任意伸出一根手指。

學生紛紛伸出手指。

師：這位同學伸的是食指，這位同學伸的是中指，還有的伸的是無名指或小指。你們猜，老師會伸哪根手指？

學生紛紛猜：大拇指！

師：猜對了，真的是大拇指！因為老師相信，這節課你們的表現會很棒！

師：請同學們任意伸出兩根手指。

學生做出各種各樣的造型。

師：為什么同一個指令，大家伸出的手指卻不一樣呢？

生1：因為大家的想法不同。

生2：因為你說了一個詞，“任意”！

師追問：任意是什么意思？

生：就是隨便哪兩根手指都可以。

三角形邊的性質中，最難理解的就是“任意”這個詞。而這個性質的學習主體又是四年級兒童，年齡較小，抽象思維能力不強。一些教學實踐表明，如果兒童對這個詞不能很好地領悟，那么他們對這個性質就不能很好地理解和應用。設計這個游戲，一方面能活躍氣氛，解除學生的緊張感，拉近教師與學生的心理距離；另一方面，又能讓學生在游戲中動態理解和解釋“任意”這個詞。后續的學習多次表明，通過這個游戲，學生對“任意”這個詞親近并完全理解。

二、 動態建構，嚴謹推理，深化兒童對性質的理解

筆者給每組發三根小棒，小棒的長度有三種不同的情況，分別是3 cm、5 cm、6 cm；3 cm、5 cm、7 cm；3 cm、5 cm、10 cm。學生實踐后發現，有的組圍得成，有的組圍不成。然后把問題進行集中起來，這些組為什么圍不成？引導學生發現是小棒的長度有問題，紅色的小棒太長了，又或者綠色和藍色的小棒太短了。筆者嘗試將此性質的認識上成微型數學實踐課，選用反證法，讓學生把不成功的案例一一排除，然后剩下可能成功的情況，再進行驗證、反思和完善，得到準確的結論。

（一）兩條線段長度的和小于第三條線段

師：請圍成功的同學到前面來展示一下。沒有圍成功的同學也拿上來看一看。

師：為什么圍不成？（電腦出示數據）誰能用一個式子說明為什么圍不成嗎？（3+5<10）上面兩根小棒的長度加起來都沒有第三根小棒長，怎么能圍成一個三角形呢？你覺得要怎樣才能圍成一個三角形？

生：可以把紅色小棒縮短或將綠色小棒延長，也可以將藍色小棒延長。

師：嗯，這幾種方法都不錯，先把紅色小棒縮短看看。猜一猜，紅色的小棒縮短成幾厘米就能圍成三角形？為方便研究，請取整厘米數。

生：9 cm、8 cm、7 cm……

師：看看這些數據，你有什么意見？其中有沒有圍不成的？

生：9 cm，3+5<9，用字母表示就是a+b

師：看來，兩條線段長度的和小于第三條線段，不能圍成三角形。

（二）兩條線段長度的和等于第三條線段

師：8 cm能不能和3 cm、5 cm圍成三角形呢？請同學們伸出小手，想象著圍一圍。

師：請大屏幕演示一下剛才想象的場景（如圖1）。這時a+b=c，能圍成三角形嗎？

師：看來，兩條線段長度的和小于第三條線段或者等于第三條線段，肯定不能圍成三角形。

（三）兩條線段長度的和大于第三條線段

師：那你覺得在什么情況下，三條線段一定能圍成三角形呢？小組合議，把發現記在學習單上。我們發現：只要 就一定能圍成三角形。（兩邊之和大于第三邊或a+b>c）

師：你們同意嗎？看看咱們的發現好不好用！

師（指著板書）：3、5、7；3、5、6；3、5、5這三組數據都是a+b>c的情況，能圍成三角形嗎？

師：真的是這樣的嗎？謎底就藏在同學們剛才的操作中。（出示三角形和數據）

師：這三組數據為什么能圍成功？

師：正好與你們的發現相吻合，難怪能圍成三角形。如果用字母來表示——

生：都是a+b>c。

（四）任意兩條線段長度的和大于第三條線段

師：這個式子可是一個法寶呀，有了這個法寶，咱行遍天下都不怕！就剩四組數據“3、5、4；3、5、3；3、5、2；3、5、1”，都是a+b>c的情況嗎？那這四組數據肯定也能圍成三角形吧？

生（疑惑）：“3、5、1”不能。

師：3+5可是大于1的，完全符合咱們剛才的發現啊，你們不是說a+b>c就能圍成三角形嗎？

請學生再次實驗，尋找原因。

師：我很奇怪，前面你們都是拿a+b的和去和c比較，為什么現在又拿a+c的和去同b比較呢？

生：因為現在b是最長的邊。

師：如果把b邊再縮短成1 cm，變成3、1、1，能圍成三角形嗎？

師：看來，要想圍成一個三角形，光有a+b>c還不夠，有時還需要——

生：a+c>b。

師：有時還需要——

生：b+c>a。

師：咱們剛才的發現有需要完善的地方嗎？

生（齊聲）：有！

師：數學學習就是這樣不斷深入和完善的過程，請同學們修改剛才的發現。

指名匯報。

《數學課程標準》提倡讓學生經歷“數學化”和“再創造”的過程。這樣一個建構性課堂，還原了知識產生的過程，學生思維充滿活力和張力。從“兩根小棒的長度和大于第三根小棒，就能圍成三角形”到“任意（較短）兩根小棒的長度和大于第三根小棒，才能圍成三角形”，學生經歷了數學性質的完善與提升，體會了數學思維的嚴密性。他們在觀察中進行猜想，在操作中尋求答案，在思維困頓處想象思考，在操作交流中總結提升。課堂成了學生的生命活力場和思維契合場。

三、動態展現，拓展視野，優化兒童對性質的興趣

筆者把這節課的課題“三角形的三邊關系”改成“三角形邊的秘密”，學生上課時自然而然地提出：三角形的角有沒有秘密？三角形的高呢？數學學習，應當有這樣的延續性和啟發性。

為了更好地激發兒童對圖形性質的興趣，課前我設計了預學單，讓每位兒童畫一個三角形并作出它的三條高。上課時，我展示了幾位兒童的作品，有幾幅作品中三角形的三條高都相交于一點，“是否所有三角形的高都相交于一點呢？”

學生紛紛猜：不是的。

教師出示幾何畫板所作的三角形（如圖2）：為了讓大家看得更清楚，老師將三角形的高延長成直線，這些直線叫作三角形的垂線。先出示兩條垂線，相交于一點。接著出示第三條，與前兩條垂線又相交于同一點（如圖3）。接著教師拉動三角形的一個端點，使學生直觀地看到，三角形的大小和形狀變了，但三條垂線卻始終相交于同一點。接著教師又選中三條垂線的交點，點出“顯示”命令中的“生成交點的動畫”，整個三角形的三個頂點都運動起來，三角形的形狀和大小隨意變化，而三條垂線卻始終相交于一點，不管這個點在三角形內還是在三角形外。

動態的展示引發了學生一陣陣的驚嘆，他們在直觀中孕育理性，在變幻中贊嘆數學的神奇，這一拓展環節雖然只有短短兩分鐘，卻激起了兒童無窮的探究欲望和強烈的學習興趣。

荷蘭數學家范希爾夫婦提出了幾何思維水平的五個層次——層次0：視覺（visuality）；層次1：分析（analysis）；層次2：非形式化演繹（informal deduction）；層次3：形式的演繹（formal deduction）；層次4：嚴密性（rigior）。數學教師有責任站在提升兒童的幾何思維水平的高度，在圖形性質的教學中，從直觀視覺感受到描述分析階段，向抽象關聯——形式的演繹、嚴密性水平慢慢過渡。圖形性質的教學，難度較大，數學教師不妨采用動態展示的方法吸引兒童的注意力，建構學習經驗，培養學習興趣，拓展學習視野。