基于極大似然估計的魯棒信息濾波算法研究

薛博陽 胡柏青 常路賓 高敬東

(海軍工程大學導航工程系 武漢 430033)

基于極大似然估計的魯棒信息濾波算法研究

薛博陽 胡柏青 常路賓 高敬東

(海軍工程大學導航工程系 武漢 430033)

為了有效提高傳統卡爾曼濾波算法的魯棒性,論文從濾波算法的極大似然估計的本質分析了傳統濾波算法不具魯棒性的原因,提出了基于廣義極大似然估計的一般性魯棒方法。同時,為了實現對粗大野值的剔除,將魯棒濾波算法擴展到信息濾波領域,推導了一般性的魯棒信息濾波框架。仿真實驗驗證了論文所研究算法的有效性。

卡爾曼濾波; 信息濾波; 魯棒; 野值; 極大似然估計

Class Number TP301.6

1 引言

以卡爾曼濾波為代表的狀態空間最優估計方法在衛星姿態估計、目標跟蹤、組合導航等領域得到了廣泛的研究和應用?？柭鼮V波是一種基于貝葉斯最優估計和統計線性回歸框架,通過線性組合的方式利用先驗信息和觀測信息來確定狀態最優后驗信息的方法[1]。要獲得貝葉斯估計的最優解需要用無窮多個參數去描述輸出的概率分布,這在實際中是無法做到的,同時貝葉斯最優估計算法中所涉及多維積分,對于非線性和(或)非高斯的情況,該積分一般沒有解析解,只能采用近似方法。針對非線性問題,我們可以采用積分近似的非線性濾波算法,如今年來廣泛研究應用的無味卡爾曼濾波算法、求容積卡爾曼濾波算法(CKF)等。這些算法在一般性的非線性問題中都得到了很好的應用效果[1～2]。

事實上,目前很多非線性濾波算法仍然采用了卡爾曼的線性遞歸框架,在線性遞歸框架中先驗信息和觀測信息通過線性組合,得到最優的后驗信息[3]。此處的最優是指最小均方誤差意義下的最優,最小均方誤差也是一種l2范數最小的準則。然而統計學的研究表明l2范數最小估計不具有魯棒性[4]。即當假設條件和現實參數不相符時,哪怕發生了微小的偏移,估計量都會發生明顯的變化,而當實際參數和假設具有較大差別時甚至會造成濾波發散。因此研究魯棒濾波算法以提高其在實際系統中的適應性是濾波算法研究領域的另一個重要研究方面[5]。近年來,相關學者基于廣義極大似然估計提出了一系列魯棒濾波算法,這些算法的核心都是通過引入新的魯棒代價函數來替代原有的基于l2范數的代價函數[6]。這其中應用最為廣泛的是Huber提出的兩段代價函數,這種代價函數在誤差較小時等效為l2范數,而當誤差較大時則對誤差進行截斷平均。然而,很容易理解,當誤差很大時,單純的截斷平均并不能很好的處理較大野值誤差,在這種情況下,應當直接剔除相應的野值[7]。針對這種問題,我們雖然可以設計相應的魯棒代價函數來實現對粗大野值的剔除,然而,魯棒代價函數在濾波框架中是通過對殘差進行加權來實現的,而該加權過程中存在一個矩陣求逆的過程。因此,如果直接將具有野值剔除功能的代價函數直接代入濾波框架中,則很容易引起數值不穩定性問題,從而造成濾波中斷[8～10]。

信息濾波是其對應卡爾曼濾波的等價形式,在信息濾波框架中,濾波過程是通過對相應方差陣和權值陣進行求逆來實現的[4]。因此,前文中提到的因矩陣求逆而引起的數值不穩定性問題可以在信息濾波框架中得到自然的避免[5]。基于上述背景,本文研究了一種基于信息濾波的魯棒濾波算法,實現了在一般魯棒化的過程中對粗大野值的剔除,從而有效提高了濾波算法精度。

2 基于極大似然估計準則的卡爾曼濾波

考慮如下線性統計狀態空間模型

xk=Fk-1xk-1+qk-1

yk=Hkxk+rk

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

則

(7)

從式(4)和式(7)可以看出,卡爾曼濾波是基于l2范數最小準則下的最優解。然而l2范數對非高斯噪聲及粗大誤差特別敏感,不具有魯棒性。

3 基于廣義極大似然估計的魯棒卡爾曼濾波

(8)

式(8)中最小化的問題可以通過對代價函數求導并置零得到,即

(9)

其中φ=ρ′一般被稱之為影響函數。定義如下兩個矩陣

(10)

(11)

則式(9)可以寫成如下矩陣形式

(12)

將式(5)和式(6)代入式(12)可得

(13)

定義如下兩個矩陣

(14)

(15)

將式(14)和式(15)代入式(12)可得

(16)

式(16)正是如下最小化問題的解

(17)

對比式(17)和式(7)可以看出魯棒卡爾曼濾波和傳統卡爾曼濾波具有相同的結構形式,區別僅僅在于狀態預測方差和量測噪聲方差的不同。因此可以將此思想應用到魯棒卡爾曼濾波中,即構造代價函數對卡爾曼濾波中的狀態預測方差和量測噪聲方差進行修正,并將修正后的量代入卡爾曼濾波框架。

不同的代價函數會產生不同的魯棒效果。Huber提出一種代價函數

(18)

這種代價函數綜合了l1和l2范數的性質,具有較好的魯棒性。當γ→∞時,這種廣義極大似然估計退化為l2范數最小的最小二乘估計,而當γ→0時,則退化為l1范數最小的中值估計。這種代價函數在魯棒卡爾曼濾波中得到了廣泛的應用,并擴展到了非線性濾波領域。該魯棒代價函數對應的加權函數(即式(10)和式(11)中權矩陣的元素)為

(19)

從權重函數中可以看到這種代價函數對于較大的誤差值即野點只是進行了截斷平均而并未剔除,因此會對濾波結果造成不利影響。針對含有較多及較大野點的情況,我們可以考慮如下形式的權重函數

(20)

這種權重函數對于較大的野點直接進行剔除,從而不會對濾波結果造成影響。

但是從式(14)和式(15)中可以看出,權重函數在對方差陣進行加權過程中有一個求逆的過程,由于式(20)中的權重函數中有一項為零,因此不能直接應用于卡爾曼濾波框架。針對該問題,本文提出在信息濾波框架下進行魯邦化的思想。

4 基于廣義極大似然估計的魯棒信息濾波

信息濾波是其對應卡爾曼濾波的等價形式,區別在于在濾波遞推的過程中傳遞的是方差的逆。首先定義I=P-1,下面給出信息濾波的具體形式:

時間更新

(21)

(22)

量測更新

(23)

(24)

從式(23)和式(24)中可以看到,在信息濾波過程中只是用到了量測方差陣的逆,因此在其對應的魯棒化算法中也是只需要修正后的量測方差陣的逆。基于這種認識,來構造基于權函數式(20)的修正量測方差陣的逆。

根據式(15)可得

(25)

其中

(26)

將修正后的量測方差陣的逆代入式(23)和式(24)中即可得到魯棒化的信息濾波算法。從該算法構造過程中可以看到,其中不涉及對零元素進行求逆的過程,因此不存在數值問題。

5 仿真實例

為了驗證本文所提算法的有效性,考慮單變量非平穩增長模型(Univariate Nonstationary Growth Model, UNGM),該模型經常被用來作為驗證濾波算法的基準模型。UNGM模型的離散時間動態系統方程如下:

由于該模型為非線性,因此需要采用非線性濾波算法,本文采用UKF算法。由于魯棒化算法從線性到非線性函數的過渡已有成熟的研究成果而且比較直接,因此此處不做詳細介紹。本文提出的魯棒信息濾波算法也很容易擴展到非線性濾波框架中。此處比較三種濾波算法:傳統UKF,基于式(19)的魯棒UKF(RUKF),以及基于式(20)和本文提出的魯棒信息濾波框架的魯棒信息UKF(RUIF)。

觀測噪聲服從如下形式的干擾高斯分布

(28)

其中,α被稱之為干擾因子,在該仿真實驗中設為0.3。λ是干擾高斯分布方差相對于主高斯分布方差的比重。實驗中,首先令σ1=1,λ依次設置為1～20之間的整數,并通過以下指標比較濾波算法的性能:

(29)

三種濾波算法在50次Monte Carlo仿真下的MSE如圖1所示,MSE對應的均值和方差如圖2所示。從圖中可以明顯看出,傳統的卡爾曼濾波算法不具有魯棒性,在觀測量中含有干擾噪聲時,對應的濾波精度會嚴重降階。在傳統濾波框架中引入魯棒代價函數可以對干擾噪聲進行有效地抑制,對應的濾波精度也明顯提高,但是由于傳統魯棒化過程中對較大的野點沒有進行剔除處理,會損失一部分濾波精度,如圖1中14,20,30,47處的濾波結果。而本文提出的方法一方面繼承了魯棒濾波算法的優勢,同時實現了對野點的有效剔除,因此濾波精度最好。

6 結語

本文從廣義極大似然估計的角度研究了魯棒卡爾曼濾波算法,該魯棒濾波框架需要對加權矩陣進行求逆運算,因此對于能夠剔除粗大野值的代價函數并不適用。針對該問題,本文提出了魯棒信息濾波算法,在保證一般魯棒卡爾曼濾波算法所具有的魯棒性同時,實現了對粗大野值的在線剔除。實驗結果證明了該算法的有效性。

[1] Kalman R. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems[J]. Journal of Basic Engineering,1960,82(1):35-46.

[2] 付夢印,鄧志紅,閆莉萍.Kalman濾波理論極其在導航系統中的應用[M].第二版.北京:科學出版社,2010.

[3] Crassidis J L, Junkins J L. Optimal Estimation of Dynamic Systems[M]. Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC,2012.

[4] Chang L B, Hu B Q, Li A, et al. Transformed unscented Kalman filter[J]. IEEE Transactions on Automatic Control,2013,49(2):1400-1402.

[5] Chang L B,Hu B Q,Chang G B,et al.Huber-based novel robust unscented Kalman filter[J]. IET Science,Measurement & Technology,2012,6(6):502-509.

[6] Chang L B,Hu B Q,Chang G B,et al.Robust derivative-free Kalman filter based on Huber’s M-estimation methodology[J]. Journal of Process Control,2013,23(10):1555-1561.

[7] Chang L B,Hu B Q,Chang G B,et al.Multiple Outliers Suppression Derivative-Free Filter Based on Unscented Transformation[J]. Journal of guidance,control,and dynamics,2012, 35(6):1902-1907.

[8] 吳楓,谷叢,朱啟舉.SINS輔助GPS檢測技術在彈載組合導航中的應用[J].彈箭與制導學報,2014,34(5):17-25.

[9] 李楊,胡柏青,覃方君,等.MEMS陀螺的抗野值自適應濾波降噪方法[J].壓電與聲光,2015,37(4):590-594.

[10] 李京書,許江寧,覃方君,等.非線性EKF對準方法進行正逆向分析的應用[J].彈箭與制導學報,2014,34(3):1-6.

Algorithm Design of Robust Information Filtering Based on Generalized Maximum Likelihood Estimation

XUE Boyang HU Baiqing CHANG Lubin GAO Jingdong

(Navigation Engineering Department, Naval University of Engineering, Wuhan 430033)

In order to robustly the traditional Kalman filters, the Kalman filters are analyzed based on the perspective of maximum likelihood and the reason of its sensitivity to the disturbance has been pointed out. Furthermore, a robust Kalman filtering algorithm is developed based on the generalized maximum likelihood. Meanwhile, in order to eliminate thick outliers, the robust algorithm is extended to the information filtering and the general roust information filter has been derived. Simulation results have demonstrated the superiority of the proposed method over the traditional methods.

Kalman filter, information filter, robust, outlier, maximum likelihood estimation

2016年7月10日,

2016年8月27日

國家自然科學基金資助項目(編號:61304241,61374206)資助。

薛博陽,男,碩士,研究方向:慣性技術及其應用。胡柏青,男,博士,教授,研究方向:慣性技術及其應用。常路賓,男,博士,講師,研究方向:慣性技術及其應用。高敬東,男,博士,教授,研究方向:慣性技術及其應用。

TP301.6

10.3969/j.issn.1672-9730.2017.01.009