高速內嚙合人字齒輪多目標優化修形

賈 超， 方宗德， 張永振

(西北工業大學 機電學院， 西安 710072)

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高速內嚙合人字齒輪多目標優化修形

賈 超， 方宗德， 張永振

(西北工業大學 機電學院， 西安 710072)

為提高高速內嚙合人字齒輪的嚙合性能，提出一種考慮彈性軸支撐變形的齒面多目標優化設計方法.通過輪齒接觸分析和承載接觸分析計算齒面接觸線離散點載荷以及一個嚙合周期的輪齒承載變形.應用基于混合彈流潤滑模型的摩擦系數回歸方程確定離散點的局部摩擦系數，利用Blok閃溫公式求得高速嚙合傳動的齒面閃溫.以承載傳動誤差幅值最小、齒面閃溫最小、齒面載荷分布均勻為優化目標，采用遺傳算法確定齒面最佳修形量.實例計算結果表明：在無誤差角和有誤差角兩種情況下，齒面修形后，承載傳動誤差幅值都大幅下降，嚙入區和嚙出區齒面閃溫都明顯降低；由于避免了邊緣接觸，齒面載荷分布得到了有效改善.提出的優化設計方法結果可靠，是高速齒輪修形設計的有效手段.

內嚙合人字齒輪；高速；修形齒面；承載傳動誤差；閃溫；載荷均勻

通常，轉速在3 000 r/min、線速度在22m/s(AGMA規定3 600 r/min、25.4 m/s)以上的齒輪傳動件被稱為高速齒輪[1].高速齒輪的輪齒交替嚙合頻率高，齒面滑動速度大，對齒輪的抗承載能力、抗膠合能力、低振動低噪音等諸多方面要求苛刻.然而,長期以來，高速齒輪修形設計多數基于經驗公式，難以得到精確的設計參數[2-3].

近些年，國內外在齒輪嚙合仿真、齒面優化修形等方面的研究發展迅速，眾多研究成果給設計人員選取精確設計參數提供了充裕數據.Litvin等[4-6]完善了齒面接觸分析(TCA)技術，通過刀具拋物線修形進行齒面修形仿真；方宗德等[7-9]應用Litvin的齒輪嚙合理論，推導了斜齒輪在修形和誤差條件下的齒面接觸分析、邊緣接觸分析，以及承載接觸分析(LTCA)；王成[10]、蔣進科[11]等以TCA和LTCA為基礎，完成了外嚙合斜齒和人字齒的優化修形仿真；唐進元等[12]構建了含安裝誤差的主動輪鼓形齒的TCA仿真模型.但是，這些研究主要集中在外嚙合方面，且多以單一目標進行齒面優化.

相比外嚙合，內嚙合結構更加緊湊，且傳動效率更高，故日益受到重視.目前，高速內嚙合人字齒輪傳動在國外航空核心部件中已經成熟應用，如：GTF發動機中的風扇齒輪驅動系統，其主動輪和內齒圈轉速分別高達約8 000～10 000 r/min和3 000～4 000 r/min[13-16].然而，相關內嚙合傳動的高端應用在國內尚屬預研階段，因此對高速內嚙合齒面仿真計算的研究，其重要意義不言而喻.

本文基于高速內嚙合人字齒仿真計算，對主動輪齒面進行三維修形(齒廓、齒向)，通過遺傳算法得到精確修形量，實現降低承載傳動誤差幅值(ALTE)、均勻齒面載荷、降低齒面閃溫的多目標優化.

1 修形齒面的構造

1.1 三維修形曲面設計

三維修形為齒廓、齒向修形的疊加，修形曲線示意圖如圖1所示：齒廓4個參數，齒向3個參數.修形曲線由兩段二次拋物線和一段直線組成，其中y1、y2、y3、y4分別為齒根和齒頂的最大修形量以及相應的修形區域長度，y5、y6、y7分別為齒向兩端最大修形量和不修形區域長度，H、B為有效齒高、齒長.本文中將旋轉投影面沿齒高、齒長方向均勻劃分為m×n網格點陣，由修形曲線計算網格節點的修形量δij(x,y)，再通過3B樣條對節點數據擬合得到光滑的修形曲面，其與理論齒面關系如下：

式中Rx、Ry、Rz為理論齒面位矢坐標分量.

圖1 齒廓(左)、齒向(右)修形曲線Fig.1 Profile (left) and longitudinal (right) modification curves

1.2 修形齒面方程

本文采用理論齒面與修形曲面疊加的方式構造修形齒面，其位矢和法矢表示如下：

R1r(u1,l1)=δ(x,y)n1(u1,l1)+R1(u1,l1),

式中：R1、n1分別為理論齒面位矢和法矢；u1、l1分別為理論齒面參數；R1r、n1r分別為修形齒面位矢和法矢；δ為修形量.

2 優化模型

2.1 優化目標一，二(ALTE,齒面載荷)[7-9]

通過TCA和LTCA可以得到接觸線離散點位置坐標、曲率半徑、載荷pij和輪齒法向位移Z(將Z轉化為嚙合線上位移，并用轉角表示即為承載傳動誤差)等.其中，LTCA方法是一種基于齒面柔度矩陣的規劃方法.齒輪嚙合傳動時，支撐軸的變形會影響齒面柔度矩陣，因此，本文基于有限元分析，將軸離散為若干單元來計算齒輪輪齒受到單位法向力作用時軸節點處的彈性變形，然后利用相關公式計算得到齒面結點的附加柔度，最后通過插值得到齒面離散點的附加柔度矩陣.

圖2所示為齒輪支承系統受力分析示意圖，齒輪嚙合力可以分解為端面法向力Fr和軸向力Fa，轉移到軸上后，分別產生扭矩T和彎矩Ma.Fr和T引起軸系變形使齒面結點產生法向位移，是應考慮的重要因素，Fa和Ma引起軸系變形使齒面結點產生切向位移，其影響可以忽略.

圖2 齒輪支承系統受力分析

接觸線上離散點載荷密度表示如下：

式中Li,j為第i條接觸線上第j個點的位置坐標.

承載傳動誤差(LTE)可以表示如下：

則承載傳動誤差幅值(ALTE)為

式中rb、β分別為被動輪基圓半徑和螺旋角.

本文采用接觸線最大載荷密度最小來表述齒面載荷均勻程度最優，最大載荷密度為

F2=max{wij}.

2.2 優化目標三(齒面平均閃溫)

計算齒面閃溫的Blok基本公式[17]為

式中：θfla為嚙合點處閃溫；μmy為局部摩擦系數的平均值；Xα、Xβ和XM分別為嚙合角系數、螺旋角系數和溫升系數(本文中Xα和Xβ分別取為1，XM=50.0 K·N-0.75·S0.5·m0.5.mm)；XB為幾何系數，可通過TCA求解；a′為嚙合中心距；V′為節圓線速度.

接觸線平均閃溫為：

式中：i表示接觸線上的某個離散點，n表示接觸線上離散點的數量.

本文參考了文獻[18]中的混合彈流潤滑摩擦系數回歸方程，計算摩擦系數如下：

hmin=2.65α0.54(η0U)0.7E′-0.03R0.43W-0.13.

式中：λ為膜厚比，hmin為最小油膜厚度，μ1和μ2為齒面粗糙度，α為Barus黏壓系數，η0為潤滑油環境黏度，U為上下齒面嚙合點平均速度，E′為綜合彈性模量，R為綜合曲率半徑，W為載荷密度.

2.3 優化模型與優化過程

優化目標函數表示為

式中： yi(i=1～7)為優化變量(見圖1), ai(i=1～3)為權系數(∑ai=1,本文權系數均等), F10、F20、F30和F1、F2、F3為修形前和修形后的承載傳動誤差幅值、最大載荷密度、接觸線平均閃溫, qmin、qmax、mmin、mmax、lmin(取0.5B)、lmax(取0.8B)為修形參數約束量[1].

圖3為齒面修形優化計算流程圖.

圖3 齒面修形優化計算流程

Fig.3 Calculation flowchart of tooth flank optimal modification

3 誤差條件下的嚙合仿真

實際工程應用中誤差不可避免，通常的應對措施是主動輪浮動安裝，因此，在優化修形齒面的基礎上，加入誤差角，使主動輪沿軸向竄動，完成了有誤差條件下的TCA和LTCA計算，流程圖如圖4所示.

圖4 有誤差角條件下的TCA和LTCA計算流程Fig.4 Calculation flowchart of TCA and LTCA with misalignment errors

4 算例與分析

齒輪副參數見表1，負載扭矩2 500 Nm，輸入轉速8 000 r/min，齒輪本體溫度為100 ℃，本體溫度下潤滑油黏度為5 MPa·s，齒面粗糙度0.8 μm.遺傳算法種群數為50，進化30代，交叉概率為0.6，變異概率為0.1.修形參數優化結果見表2.

表1 齒輪副參數

表2 修形參數優化結果

圖5(a)為主動輪三維有限元網格模型，圖6、圖7中“左”和“右”分別代表圖5(a)中的左邊齒和右邊齒；圖5(b) 為其優化修形曲線，齒廓修形左右完全一致，齒向修形關于人字齒退刀槽中心左右對稱.

(a)三維有限元模型

(b)輪齒優化修形曲線

Fig.5 Three-dimensional finite element model of pinion and optimal modification curves

圖6(a)、(b)分別展示了修形前的齒面接觸點跡和齒面載荷分布，由圖中可以看出，進入和退出嚙合時，齒面兩齒側存在邊緣接觸，且邊緣接觸線承擔著較大載荷.邊緣接觸往往會惡化齒輪傳動，尤其是在高速轉動下，會產生較大噪音和振動，進而使齒輪壽命受損；圖6(c)、(d)則分別為修形后的齒面接觸點跡和齒面載荷分布，對比圖6(a)、(b)可以發現，修形后，在嚙入區和嚙出區，嚙合點發生了轉移，完全避免了邊緣接觸；圖6(e)為修形后的幾何傳動誤差；圖6(f)給出了修形前后承載傳動誤差幅值的對比，可以看到，修形后承載傳動誤差幅值大幅下降.這是因為輪齒嚙合過程中，猶如承受動載荷的懸臂梁，單對齒嚙合和多對齒嚙合交替工作，嚙合剛度周期性變化，從而導致輪齒彈性變形量周期性變化，承載傳動誤差幅值也隨之周期性變化.齒面修形后，優良的修形參數能夠保證嚙合轉換點之間盡可能平滑過渡，因此承載傳動誤差幅值大幅下降.圖6(g)、(f)給出了修形前后齒面閃溫對比和摩擦系數對比.從圖6(g)中可以看出，修形前嚙入區為易發生膠合危險區域，工程設計中應注意.綜合對比圖6(g)、(f)可以發現，修形后嚙入區和嚙出區，摩擦系數降低明顯，閃溫大幅下降，其原因是修形后齒頂、齒根負載大幅下降，接觸線上法向間隙增加，故油膜厚度增加，潤滑狀態改善，因此，摩擦系數下降，齒面閃溫隨之降低.

當有安裝誤差時，主動輪軸向竄動，其過程實際就是左、右齒面間隙相互補償的過程，進而實現左右齒面負載均衡.圖7中的誤差角γ=18.6″為未修形齒面極限誤差角，從圖7(a)中可以看出，在此誤差角下，接觸點跡已經基本到達有效齒面的邊界，當誤差角進一步增大時，齒面將無法嚙合.圖7(c)為此誤差角下修形齒面接觸點跡，對比修形前后接觸點跡，可以充分證明齒面的優化修形有效降低了誤差敏感性；圖7(b)、(d) 、(e)、(f) 、(g)中的計算結果都是在γ=18.6″時，左右齒軸向力達到平衡后得到的.圖7(b)、(d)分別為修形前后，有誤差角條件下的左右齒面載荷分布.從圖中可以看出,軸向竄動對修形齒面和未修形齒面都能起到均布載荷的作用，但是對比圖7(b)、(d)仍然能夠發現，修形后的齒面載荷分布更均勻，齒面修形與主動輪浮動安裝相互補充，共同促進齒輪轉動平穩；圖7(e)給出了修形前后，有誤差角條件下，承載傳動誤差幅值對比，從圖中可以看出，有誤差角條件下，修形后的承載傳動誤差幅值依然大幅下降，對比結果進一步驗證了優化參數對降低承載傳動誤差幅值的有效性；圖7(f)、(g)給出了誤差條件下的齒面閃溫對比和摩擦系數對比，結果表明：有誤差條件下，修形齒面依然可以顯著提高內嚙合人字齒輪傳動的抗膠合能力，進一步驗證了優化修形參數是優良的.

(a)修形前齒面接觸點跡

(c)修形后齒面接觸點

(e)修形后幾何傳動誤差

(g)修形前后齒面平均閃溫對比

(b)修形前齒面載荷分布

(d)修形后齒面載荷分布

(f)修形前后承載傳動誤差幅值對比

(h)修形前后齒面摩擦系數對比

(a)修形前齒面接觸點跡

(b)修形前齒面載荷分布

(c)修形后齒面接觸點跡

(d)修形后齒面載荷分布

(e)修形前后承載傳動誤差對比

(f)修形前后閃溫結果對比

(g)修形前后平均摩擦系數對比

Fig.7 Comparisons of results between theoretical tooth and crowned tooth with misalignment error γ=18.6″

5 結 論

1)結合TCA、LTCA和遺傳優化算法，得到了齒面的精確修形參數.優化后的嚙合齒面仿真結果表明,修形后，承載傳動誤差幅值大幅下降，膠合危險區域(嚙入區)閃溫明顯降低，同時有效避免了邊緣接觸，使得齒面受載均勻；

2)當齒輪軸線由于受載變形、制造誤差或安裝誤差產生偏斜時，通過三維修形可以有效地減小齒輪嚙合對誤差的敏感性，避免產生過大的偏載；

3)當齒輪軸線發生偏斜時，主動輪軸向竄動，使左右齒面間隙相互補償，齒面修形與主動輪浮動安裝相互補充，使得左右齒面載荷逐步趨于相等，保證了齒輪嚙合過程的平穩；

4)本文提出的優化設計方法考慮了彈性支撐軸變形的影響，仿真優化模型更進一步貼近齒輪實際工作條件，是高速齒輪修形設計的有效手段.

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(編輯 楊 波)

Multi-objective optimal modification for internal double helical gears with high speed

JIA Chao， FANG Zongde， ZHANG Yongzhen

(School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

To improve the meshing performance of internal double helical gear with high speed, a multi-objective optimal design approach considering the influences of deformation of elastic shaft is proposed.The load distribution on tooth contact line and tooth deformation in a meshing period are got by the tooth contact analysis and loaded tooth contact analysis.The local friction coefficients of discrete points on tooth contact line are determined by the regression equation which is based on the mixed elastohydrodynamic lubrication model, and then the Blok’s basic equation is used to get the surface flash temperature with high speed.After that, applying the genetic optimization algorithm, the tooth modification values are determined to optimize the amplitude of loaded transmission error, flash temperature and load distribution.The calculation is illustrated by a numerical instance.The results show that with and without misalignment error, after the tooth modification, both ALTEs decline significantly, and the surface flash temperature obviously decreases at the coming into and out of contact zones.Meanwhile, the edge contact is avoided, and both the load distributions are improved.The calculation results of the proposed optimization design method are reliable, and the method presented is an effective means for tooth dressing of high speed gear drives.

internal double helical gears; high speed; modified surface; loaded transmission error; flash temperature; even load distribution

10.11918/j.issn.0367-6234.2017.01.025

2015-09-01

國家自然科學基金 (51175423，51375384)

賈 超(1985—)，男，博士研究生； 方宗德(1948—)，男，教授，博士生導師； 張永振(1963—)，男，教授，博士生導師

賈 超，jiachao8507@163.com

TH132

A

0367-6234(2017)01-0166-07