顆粒堆積多孔介質內冪律流體的流動阻力特性

田興旺， 王 平， 徐士鳴

(1.大連理工大學 能源與動力學院， 遼寧 大連 116024；2.大連海洋大學 海洋與土木工程學院, 遼寧 大連 116023)

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顆粒堆積多孔介質內冪律流體的流動阻力特性

田興旺1，2， 王 平1， 徐士鳴1

(1.大連理工大學 能源與動力學院， 遼寧 大連 116024；2.大連海洋大學 海洋與土木工程學院, 遼寧 大連 116023)

為深入研究冪律型非牛頓流體在均勻球顆粒堆積多孔介質內流動的阻力特性，基于經典Carman-Kozeny-Blake模型及孔喉通道模型，提出一個新的預測模型.針對冪律流體的流變特性，利用平均水力半徑理論，得到了于迂曲度、孔隙率、孔喉比、顆粒直徑及冪律指數等重要參數修正的Ergun型方程表達式，且方程中的系數表達式A、B等各物理量都有明確的物理意義.對所建模型與文獻中的理論模型及實驗數據關聯式比較的結果表明,新模型在一定流態區間內的阻力預測值與文獻吻合較好.給出了冪律流體的臨界雷諾數、修正滲透率及慣性系數的關聯式.

冪律流體；多孔介質；顆粒堆積；阻力模型；滲透率；流動特性

顆粒堆積多孔介質內流體流動的阻力特性有著重要的工程應用背景，如化工工程的填充塔的性能優化,球床氣冷堆堆芯的設計與安全運行,資源工程中的石油熱采,高溫元件的發汗冷卻等.由于顆粒堆積多孔介質內的孔隙通道具有彎曲性和隨機性特點，流體質點在其中不停地發生攙混和分離，使得內部流動阻力特性十分復雜.多年來人們從實驗和數值模擬兩方面，通過簡化顆粒堆積多孔介質內的孔隙結構，提出了許多阻力計算預測模型[1-6]，其中應用最廣泛的是Ergun型方程，方程中綜合考慮了黏性項(速度的一次方項)和慣性項(速度的平方項)對阻力壓降的影響.

牛頓流體Ergun型方程的具體形式為

(1)

式中：Δp/L為流體流過多孔介質的宏觀壓降梯度；Δp為流體流過多孔介質的阻力壓降，Pa；L為通道的長度，m；ε為多孔介質的孔隙率；dp為球顆粒的直徑，m；μ為流體的動力黏度，Pa·s-1；ρ為流體的密度，kg·m-3；u 為流體的表觀流速(達西速度)，m·s-1； A0和B0為通過實驗確定的經驗常數.

一般認為低雷諾數情況下，黏性項起主導作用；高雷諾數情況下，慣性項起主導作用.但是不同研究者所得的A0和B0值并不統一，且對阻力預測流態變化區間沒有形成一個統一的標準.

此外，在化工機械領域，很多流體表現出非牛頓流體的剪切特性，有必要對多孔介質中非牛頓流體的阻力壓降特性進行深入的理論分析和實驗研究[7-13]，并給出合理的阻力計算公式.冪律型流體是工業中常常遇到的一種非牛頓流體，其流變本構方程相對簡單，所以文獻研究采用的流體對象多為冪律型非牛頓流體.典型的如Woudberg等[9]和Smit 等[10]在求解N-S方程的基礎上,采用RUC(Rectangular Unit Cell)矩形單元模型模擬了多孔介質空隙中的流體流動，并給出了純黏冪律流體的分析模型，但求解過程十分復雜.Tang等[11]考慮黏性力、慣性力與壓力之間的力平衡關系，提出了一個預測牛頓流體和非牛頓流體流過多孔堆積床的理論模型，但模型基于簡單的有序立方堆積結構，適用范圍有限.Sabiri等[12]和Chhabra等[13]分別對冪律流體流過球形、非球形顆粒填充床進行了理論分析和實驗研究，提出了實驗模型關聯式，但對非達西流區的研究不足.

作者借鑒Wu等[14]對牛頓流體在顆粒堆積多孔介質內流動機理的研究方法，在經典的Carman-Kozeny-Blake模型[15]、孔喉通道模型及平均水力半徑理論[16]的基礎上，嘗試建立一個冪律型非牛頓流體在均勻球顆粒堆積型多孔介質中流動的阻力預測模型，得到物理意義更加明確的關于迂曲度、孔隙率、孔喉比、顆粒直徑及冪律指數等參數修正的Ergun型方程表達式.

1 物理數學模型

假設球形顆粒堆積多孔介質是各相同性的，其內部空隙、顆粒分布均勻，且認為流體通道由彎曲的具有一系列的突縮和突擴部分組成.

1.1 黏性項對壓降的影響

在流速很低時，流體流動符合經典Darcy流，流體在每個空隙內的流動近似為黏性不可壓縮流體的一維定常圓管流動，此時忽略流體流動的突擴突縮效應.而流體在通道中的橫向流動則通過引入迂曲度(定義為流體實際流過的長度與流道入口與出口之間直線距離的比值，是量綱一的量)這一運動學幾何標量間接反映.冪律流體在圓管中壓力流動的體積流量為

Q=nπR3/(3n+1)(RΔP1/(2μLt))1/n.

式中:R為毛細管半徑，n 為冪律指數，Lt為彎曲毛細管流道的實際長度.

迂曲度的定義式[15]為

τ=Lt/L .

(2)

研究表明,迂曲度和顆粒的堆積排列方式有密切聯系，一般認為迂曲度可表達為孔隙率的函數[17-22].圖1為幾種迂曲度模型隨孔隙率的變化關系，由圖1可知，除了孔隙率為0.5～0.6以外，各表達式的結果存在差異.由于顆粒間實際空隙相互交叉形成復雜多變的網狀結構，使迂曲度的準確描述比較困難，本文考慮到實際的堆積顆粒中有一部分是重疊遮擋的，所以采用具有代表性的Meredith等[17]給出的迂曲度表達式τ=ε-0.5.此表達式適用絕大多數多孔結構，這一點已被廣泛證明和接受.

圖1 迂曲度隨孔隙率的變化曲線

Fig.1 Curves of the tortuosity versus porosity for different models

對單根毛細管，其空隙通道平均速度為

(3)

引入平均水力半徑[15]

Rh=εdp/(6(1-ε)+4(dp/D)).

(4)

式中D為堆積多孔介質的通道寬度.

按照Mehta and Hawley[23]的觀點，引入邊壁效應的修正系數M，且

M=(1+2dp/(3D(1-ε))).

(5)

由R=2Rh，把式(2)、(4)、(5)帶入式(3)得

Δp1/L=2μ·((3n+1)/n·(3(1-ε)/(εdp)·M)(n+1)/n)n·τ·υn.

(6)

按照Carman[15]的觀點，修正的Dupuit-Forchheimer速度關系式為

υ=uτ/ε.

(7)

把(7)帶入(6)得低流速時考慮邊壁效應的冪律流體黏性項形成壓降方程為

Δp1/L=6·3n·((3n+1)/n)n·τ1+n·M1+n·(1-ε)n+1/ε2n+1·μun/dpn+1.

(8)

1.2 慣性項對壓降的影響

在流動速度較高時，慣性效應必須考慮，即流體在空隙流道中流過一系列的收縮-擴張部分形成的阻力必須要考慮.為了簡化模型，假定顆粒隨機堆積型多孔介質按規則菱面形排列，顆粒間距為δ.

菱面形堆積顆粒體積單元如圖2所示，采用類似于Tang等[11]對有序立方堆積單元體積的簡化方法，得到顆粒間距δ和喉部等效直徑do,CCP分別為

為方便計算，定義水力直徑dh和孔喉比λ：

dh=4Rh=2εdp/(3(1-ε)·M),

λ=do,CCP/dh.

圖2 菱面形堆積顆粒體積單元示意Fig.2 Schematic diagram of the volume element in rhombohedral geometry configuration

由于流體流動時發生的一系列突擴突縮效應跟流體性質無關，采用Wu等[14]類似的方法處理，如圖3所示.

圖3 孔喉模型示意

突擴管段的壓頭損失為

hfe=(1-λ2)2·υ2/(2g)，

突縮管段的壓頭損失為

hfc=0.5(1-λ2)·υ2/(2g).

所以流動慣性項形成總壓頭損失為hz=hfe+hfc=((1-λ2)2+0.5(1-λ2))·υ2/(2g).

同樣結合水力半徑，同時考慮邊壁效應的影響，冪律流體慣性項在一個孔喉管段上形成的壓力降為

Δp2/L=ρghz/L·Lt/dh=ρghz/(4Rh)·τ=

0.75·[(1-λ2)2+0.5(1-λ2)]·

τ3·M·(1-ε)/ε3·ρu2/dp.

(9)

1.3 阻力計算模型表達式

按照疊加原則，由式(8)、(9)得到冪律流體在堆積多孔介質內流動阻力計算模型的Ergun型方程為

Δp/L=Δp1/L+Δp2/L=

6·3n·((3n+1)/n)n·τ1+n·M1+n·

μun/dpn+1·(1-ε)n+1/ε2n+1+0.75·

[(1-λ2)2+0.5(1-λ2)]·τ3·M·

(1-ε)/ε3·ρu2/dp.

(10)

當n=1時，即簡化為牛頓流體的Ergun型表達式：

Δp/L=72·τ2·M2·μu/dp2·(1-ε)2/ε3+

0.75·[(1-λ2)2+0.5(1-λ2)]·

τ3·M·(1-ε)/ε3·(ρu2/dp).

此時，黏性項和慣性項的兩個模型系數分別為

A0=72·τ2·M2，

B0=0.75·[(1-λ2)2+0.5(1-λ2)]·τ3·M.

可以看出,牛頓流體的兩個系數是關于迂曲度、孔喉比(孔隙率)及邊壁效應的的函數表達式，代替了Ergun公式(1)中兩個經驗常數，其物理意義更加明確，當M=1時，可認為不考慮邊壁效應.

綜上，參照式(1)的形式，對冪律型非牛頓流體的式(10)，其修正的Ergun型方程可寫成：

(11)

式中模型系數A、B的表達式如下：

A=6·3n·((3n+1)/n)n·τ1+n·M1+n，

B=0.75·[(1-λ2)2+0.5(1-λ2)]·τ3·M.

圖4為模型系數A、B隨迂曲度的變化關系，并與文獻中的經驗系數做了對比.如圖4(a)所示，系數A隨著迂曲度的增大而增大.特別的，對相同冪律指數(n=0.5)的流體，當考慮邊壁效應時(如M=1.5)，系數A的數值是增大的.同樣，系數A隨著流體冪律指數的增大而增大.當τ=1.44時，系數接近Ergun方程中經驗常數150;當τ=1.58時，系數接近Mcdonald修正版Ergun方程中的經驗常數180.在圖(b)中，系數B隨著迂曲度的增大而增大，當考慮邊壁效應時(如M=1.5)，系數B的數值也是增大的，同時注意到系數B隨孔喉比的增大而增大.同樣可以找出當迂曲度在某個范圍內變化時，和經驗常數是一致的.

(a)系數A隨迂曲度τ的變化

(b)系數B隨迂曲度τ的變化

2 結果分析討論

為了驗證新建模型的有效性，同時方便和文獻作比較，統一把各模型按下面形式重組化簡.

定義冪律流體的摩擦因子為

fp=(-Δp/L)dp/(ρu2)(ε3/(1-ε)).

(12)

修正的雷諾數為

Rep=ρ(u/ε)2-n/μ(dpε/(1-ε))n.

(13)

所以式(11)可簡化為

fp=A/Rep+B.

(14)

當不考慮邊壁效應時，簡化后的各模型中的系數見表1.

表1 各模型系數A、B的表達式

注：α為單元體喉部面積與孔部面積的比值.

2.1 忽略邊壁效應時各計算模型的比較分析

圖5是剪切變稀流體和剪切變稠流體兩種流體的摩擦因子隨著冪律指數的變化示意圖，在堆積型多孔介質的孔隙率為0.5時，分別與文獻模型關聯式進行比較.

如圖5所示，現有模型的摩擦因子預測值與文獻總體上吻合較好，但是在雷諾數較大時，對于剪切變稀和剪切變稠兩種流體，預測值略低.在雷諾數較小時，摩擦因子與雷諾數近乎直線關系，且隨著冪律指數的增大而增大；隨著雷諾數的增大，摩擦因子與雷諾數呈非線性關系，且可以看出雷諾數很高時，摩擦因子與冪律指數無關，趨于某一定值.

2.2 實驗數據比較

實驗數據整理后得到摩擦因子表達式為

(15)

式中：多孔介質的動比面積avd=2 055 m-1；孔隙率ε=0.36，迂曲度τ=1.44.為了便于比較，按照式(12)、(13)的定義，把式(15)寫成：

fp=A′/Rep+B′.

式中，實驗模型系數A′、B′的表達式如下：

A′=2-n·dpn+1·τ1+n·((3n+1)/n)n·avdn+1，

B′=0.097·dp·τ3·avd.

圖6為不同冪律指數(n=0.771，n=0.634)的條件下，現有模型摩擦因子的計算值與文獻實驗數據摩擦因子的比較.雷諾數在一定范圍變化時,與文獻[11]相比，摩擦因子計算值與實驗值吻合度很高;隨著雷諾數的增大，二者開始出現偏差.一方面原因是實驗手段不完善，使實驗數據更多地落在低雷諾數范圍內，另一方面原因是隨著流速的增大，模型所忽略的邊壁效應和彌散效應對流動阻力的影響是逐漸增加的.

(a)冪律指數n=0.5

(b)冪律指數n=1.5

(a)冪律指數n=0.771

(b)冪律指數n=0.634

2.3 阻力壓降比重的計算

隨著流速的不斷變化，黏性項引起的黏滯阻力損失所占比重和慣性項引起的動力阻力損失所占比重不斷變化，冪律流體Ergun型公式中右邊的第一項(黏性項)和第二項(慣性項)所占阻力壓降比重分別用Xn和Xg表示：Xn=[6·3n·((3n+1)/n)nτ1+nM1+nμun/dpn+1·(1-ε)n+1)/ε2n+1]/(Δp/L)=(A/Rep)/(A/Rep+B),Xg={0.75·[(1-λ2)2+0.5(1-λ2)]τ3Mρu2/dp·(1-ε)/ε3}/(Δp/L)=B/(A/Rep+B).

如圖7所示，在低雷諾數時，黏性項所占比重比較大，隨著雷諾數的增大其比重不斷減小，慣性項所占比重隨著雷諾數的增大不斷增大.在雷諾數增加到某一數值時，黏性項所占比重曲線和慣性項所占比重曲線出現了交叉情況，這說明隨著流速的增加，流體由以黏性項占主導作用的流動狀態逐漸轉變為以慣性項占主導作用的流動狀態，同時說明了存在一個流態轉戾的臨界雷諾數.由圖7(a)、7(b)可知，對于冪律指數n=0.771，n=0.634的情況，所對應的臨界雷諾數分別為41、28時，兩者所占比重相等；在相同的情況下，考慮邊壁效應使臨界雷諾數增大，在M=1.5時，n=0.771，n=0.634所對應的臨界雷諾數分別為56、36；同時發現隨著冪律指數的減小，臨界雷諾數也減小.

(a)冪律指數n=0.771

(b)冪律指數n=0.634

Fig.7 Curves of viscous and inertia proportion versus Reynolds number

2.4 臨界雷諾數的確定

臨界雷諾數Rec定義為達西流區和非達西流區的轉戾點所對應的雷諾數值，按照式(14)可得

可以看出，臨界雷諾數跟冪律指數n和孔隙率ε(或孔吼比λ)有著密切關系，如圖8(a)所示，隨著孔隙率的增大，臨界雷諾數先是逐漸增大的，可以解釋為隨著流體的流動空間增大，流動阻力逐漸減小，表現為黏性阻力和慣性阻力均減小，但慣性阻力減小較快，使得多孔介質中流體流態轉變對應的臨界雷諾數增大.但是同時發現，當孔隙率繼續增大到一定程度時(ε=0.73)，臨界雷諾數趨于最大值，隨后隨著孔隙率的增大，臨界雷諾數逐漸減小，可以解釋為隨著流體的流動空間進一步增大，流動阻力越來越小，趨于無填充多孔介質的管道流，表現為黏性阻力和慣性阻力均減小，但黏性阻力減小更快，使得多孔介質中流體流態轉變對應的臨界雷諾數減小.如圖8(b)所示，隨著冪律指數的增加，臨界雷諾數是逐漸增大的，因為冪律指數的增加使得黏性阻力增大較快，而慣性阻力不受影響，所以，多孔介質中流體流態轉變對應的雷諾數也是增大的.

2.5 滲透率的確定

基于Darcy-Forchheimer流動模型[27]的修正動量主控方程為

式中: K*為冪律流體多孔介質修正滲透率，m1+n；K為牛頓流體多孔介質滲透率，m；CF為多孔介質慣性系數.

(a) 冪律指數n= 0.5

(b)孔隙率ε=0.5

Fig.8 Curves of the critical Reynolds number versus porosity and power law index

而Tang等[11]和Wu等[14]得到的慣性系數分別如式(16)和(17)所示:

(16)

(17)

可見慣性系數在形式上是非常接近的.

由此可見，所得到的滲透率與多孔介質的顆粒直徑、孔隙率、迂曲度、邊壁效應系數及冪律指數密切相關；而慣性系數只是孔隙率、迂曲度、孔喉比的函數，本質上只取決于多孔介質內部的結構特征，這一觀點與Hayes等[28]的結論一致.

3 結 論

1)建立了描述冪律流體在顆粒堆積多孔介質內的流動阻力計算模型，得到的修正Ergun型方程各物理量意義明確，且在一定流動范圍內和已有文獻數據吻合較好，模型的有效性得到證實.

2)對黏性項和慣性項在阻力預測模型中所占比重進行了計算分析，確定了臨界雷諾數的影響因素，并給出了冪律流體Darcy-Forchheimer流動動量主控方程的滲透率和慣性系數的關聯式.

3)對于冪律流體非達西流區的阻力特性研究,還需要更多實驗數據的支持，仍需要通過實驗進一步驗證模型的正確性，并考慮邊壁效應的影響，對模型進行合理修正.

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(編輯 楊 波)

Flow resistance characteristics of power law fluid flow through granular porous medium

TIAN Xingwang1,2， WANG Ping1， XU Shiming1

(1.School of Energy and Power Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，Liaoning, China;2.School of Ocean and Civil Engineering，Dalian Ocean University，Dalian 116023，Liaoning，China)

Based on the Carman-Kozeny-Blake model and the contracting-expanding channel model, this study developed a new resistance model for predicting power law fluid flow through granular porous medium with homogeneous spherical particles.For the rheological properties of power-law fluid, by employing the average hydraulic radius theory, a modified Ergun type equation was expressed as a function of tortuosity, porosity, ratio of pore diameter to throat diameter, diameter of particles, and fluid rheological index.Every parameter such as A and B in the proposed model had clear physical meaning.The validity of the present model was evaluated by comparing the predicted friction factor to the published theoretical models and the experimental data correlations, the analysis results showed that the new model predictions were in good agreement with the existing documents data in a certain regime.At last, to further understand the flow resistance characteristic, the correlations of critical Reynolds number, the modified permeability and the inertia coefficient for power law fluid were also expressed.

power law fluid；porous medium；packing of particle；resistance model；permeability；flow characteristic

10.11918/j.issn.0367-6234.2017.01.018

2015-09-07

國家自然科學基金(51276029)

田興旺(1981—)，男，博士研究生; 徐士鳴(1957—)，男，教授，博士生導師

王 平，wp2006@dlut.edu.cn

TK121, TE312

A

0367-6234(2017)01-0126-07