敷設約束阻尼薄壁圓柱殼的振動特性

王目凱， 陳照波， 焦映厚, 呂文香

(1.哈爾濱工業大學 機電工程學院， 哈爾濱 150001; 2.山東交通學院 海運學院， 濟南 264200)

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敷設約束阻尼薄壁圓柱殼的振動特性

王目凱1， 陳照波1， 焦映厚1, 呂文香2

(1.哈爾濱工業大學 機電工程學院， 哈爾濱 150001; 2.山東交通學院 海運學院， 濟南 264200)

為分析約束阻尼對薄壁圓柱殼振動特性的影響，應用哈密頓原理結合瑞利-李茲法求解敷設約束阻尼圓柱殼的動力學方程.得出自由振動時的固有頻率、損耗因子的計算公式；應用模態疊加法計算圓柱殼上任意一點的頻率響應.提出能量耗散系數，將其作為阻尼效果的評價標準，用來分析約束阻尼結構各參數對阻尼效果的影響，并與損耗因子進行比較.結果表明：約束阻尼可以有效地抑制薄壁圓柱殼振動的傳遞；在指定頻帶范圍內能量耗散系數能夠作為阻尼效果的評價標準；阻尼材料阻尼系數、約束層彈性模量、約束層厚度、阻尼層厚度均會對阻尼效果產生影響.

約束阻尼；薄壁圓柱殼；能量耗散系數；阻尼效果; 模態疊加法；哈密頓原理； 瑞利-李茲法

阻尼材料可以將結構的機械能轉化為熱能耗散.約束阻尼是指將黏彈性阻尼材料固結在基體和剛度較大的材料之間，基體為基層，剛度較大的材料為約束層.當基體振動時，基層與約束層產生相對運動，黏彈性阻尼材料發生剪切變形使一部分機械能發生損耗.約束阻尼結構形式較為簡單，阻尼效果好,振動能量耗散劇烈，易于實現，廣泛地應用在汽車、建筑、機械、航天、船舶、儀表儀器中.目前，對約束阻尼的研究主要集中在板[1]、殼[2-4]、梁[5]、桿[6]等單元上.對敷設約束阻尼圓柱殼的研究方法可分為有限元法和解析法兩種.Ruzzene等[7]和Wang等[8]通過有限元法計算了敷設約束阻尼圓柱殼的固有頻率和損耗因子，并且分析了各參數對于圓柱殼固有頻率的影響.王淼等[9]和章藝等[10]也通過有限元法對約束阻尼圓柱殼的頻率特性進行分析.有限元方法雖然對圓柱殼結構要求低，適用范圍廣，但是在參數分析時比較困難，并且由于引入離散變量使自由度過多而造成計算困難，在高頻時計算精度較低.

對敷設約束阻尼圓柱殼進行參數分析時一般采用解析法，現在較為成熟的解析法有傳遞矩陣法、瑞利法、帶有分布參數的傳遞函數法等.文獻[11-13]運用瑞利法分析了約束阻尼圓柱殼和部分敷設約束阻尼圓柱殼的頻率特性，給出了圓柱殼振動響應的計算方法，并且分析了約束阻尼各參數對圓柱殼阻尼效果的影響.向宇等[14-15]針對敷設約束阻尼圓柱殼的振動特性，利用改良的傳遞矩陣法進行分析，可以求出各種邊界條件下圓柱殼的振動.這種方法在求解敷設約束阻尼圓柱殼的自由振動時較為精確.但是由于引入各層內力，傳遞矩陣是一個12維的矩陣，計算量增加，在分析圓柱殼的受迫振動時比較困難.李恩奇等[16]利用分布參數法提出了一種分析約束阻尼圓柱殼動力學問題的傳遞函數法，分布參數的引入有利于拓展傳遞函數法的應用范圍;但是該方法對于邊界條件的描述是通過位移間接進行的，在求解不同邊界條件下的圓柱殼振動特性時比較困難，而且該方法也無法計算圓柱殼的頻率響應.

綜上所述，雖然人們對敷設約束阻尼圓柱殼的振動特性進行了深入的研究，并且提出了不同的方法.但是這些方法有以下問題： 1) 對于圓柱殼的振動特性集中在自由振動特性的研究上，沒有分析敷設約束阻尼前后圓柱殼的響應問題； 2) 對約束阻尼結構做參數分析時，僅把固有頻率下的損耗因子作為評價阻尼效果的唯一標準，無法分析在一定頻帶范圍內的阻尼效果.

本文從圓柱殼基本方程出發，首先，推導出敷設約束阻尼圓柱殼系統的應變能和動能表達式；然后，應用哈密頓原理結合瑞利-李茲求取圓柱殼的動力學方程，并對其進行求解，得出敷設約束阻尼圓柱殼的固有頻率和損耗因子，采用模態疊加法求得系統在受迫振動下的頻率響應；最后，引入能量耗散系數表示敷設約束阻尼圓柱殼在一定頻帶范圍內的阻尼效果，分析約束阻尼結構各參數的變化對于圓柱殼阻尼效果的影響.

1 動能及應變能

約束阻尼圓柱殼結構如圖1所示，3層結構分別為基層、阻尼層和約束層.為了簡化，做如下假設：1)基層和約束層滿足圓柱薄殼假設；2)各層接觸面之間無相對滑動，完全黏結，各層之間位移連續，3層材料沿徑向位移相同；3)由于阻尼材料密度較低，其面內慣量忽略不計，只考慮阻尼層的徑向慣量；4)黏彈性阻尼層只考慮剪切變形，忽略其抗拉、抗彎剛度.曲線坐標系的原點在圓柱殼端面的圓心處，其中圓柱殼母線方向為x軸，圓周方向為θ軸，圓柱殼中面外法線的方向為z軸.本文中符號h和R分別代表殼體的厚度和半徑，各式下標或者上標中的s、v和c分別代表基層、阻尼層和約束層.殼體中曲面上一點的軸向、切向、法向位移分別為u、v、w.

圖1 約束阻尼圓柱殼幾何示意圖

根據圓柱薄殼假設，基層和約束層的應變-位移關系可以表示為

(1)

基層和約束層的應變勢能為

(2)

式中：Ei、 μi和Gi分別表示第i層的彈性模量、泊松比和剪切模量.

基層和約束層的動能為

(3)

阻尼層應變-位移關系為

圖2 約束阻尼沿x方向層間位移關系

Fig.2 Displacement relationship of CLD among layers along the x direction

根據圖2，由幾何關系可得各層沿x方向位移關系：

(4)

同理，可得各層沿θ方向的位移關系：

(5)

將式(4)和(5)整理可得阻尼層沿θ、x軸的中面位移和橫向法線繞θ、x軸的轉角為

(6)

對于黏彈性阻尼層，其本構方程為

阻尼層剪切應力做功為

(7)

式中:Wv是一個復數，其實部Uv表示能量的存儲，為阻尼層的應變勢能Uv；虛部W1表示能量的耗散，阻尼力所做的功為Wv1=-W1.

根據假設(3)可得阻尼層的動能

(8)

由此可得系統的勢能為

U=Uc+Uv+Us.

(9)

系統的變形能與耗散能之和為

W=Uc+Wv+Us.

(10)

系統的動能為

T=Tc+Ts+Tv.

(11)

2 動力學方程

2.1 邊界條件和模態函數

圓柱殼單邊可能出現的約束條件有自由(F)、固支(C)、簡支(SS).因此圓柱殼的邊界條件可以分為：自由-自由(F-F)、自由-固支(F-C)、自由-簡支(F-SS)、固支-固支(C-C)、固支-簡支(C-SS)、簡支-簡支(SS-SS)6種.根據式(6)可知，阻尼層的位移可由基層和約束層的位移表示.當敷設約束阻尼圓柱殼以某一頻率ω振動時，將位移函數沿殼體圓周方向展開成富氏級數，而沿軸向則用某一系列正交函數系進行展開[17].敷設約束阻尼圓柱殼的基層和約束層中面模態振型函數可以表示為

式中φ(x)為軸向函數，采用梁函數進行構造[19],

φ(x)=a1cosh(rx/L)+a2cos(rx/L)-

λ(a3sinh(rx/L)+a4sin(rx/L));

各參數a1、a2、a3、a4是由邊界條件確定，其值是常數0或者±1; r是由具體函數確定的常數; λ是由r確定的.各參數在具體邊界條件下的表達式見文獻[19].

2.2 動力學方程

應用哈密頓原理結合瑞利-李茲法求解敷設約束阻尼圓柱殼的動力學方程.根據2.1節模態振型函數，可以表示出各層的位移為

(12)

將式(1)、(3)、(8)和(12)帶入式(11)可得由模態函數表示的系統動能為

(13)

式中:Mi為質量陣中主對角線各元素，質量陣M是對角矩陣.

同理，將式(1)、(2)、(7)和(12)帶入式(10)可得由模態函數表示的系統變形能和耗散能之和為

(14)

式中Kij為剛度陣中各元素，剛度陣K是對稱矩陣.

假設圓柱殼一端受集中力q,將q沿坐標x、θ、z方向可以分解為q1、 q2、 q3，則根據虛功原理外力q所做的虛功為

δW2=q1δus+q2δvs+q3δw.

(15)

將式(12)帶入式(15)得由模態函數表示的外力虛功為

δW2=Qp1dps+Qp2drs+Qp3ds.

(16)

哈密頓原理可以表示為

(17)

將式(7)、(9)、(10)帶入式(17)得

(18)

將式(13)、(14)和(16)帶入式(18)整理得

(19)

令Y=[ps,rs,s,pc,rc]T,式(19)可以表示為

M(d2Y/dt2)+KY=Qp.

(20)

式中M、K、Qp分別表示質量陣、剛度陣和外力矢.

3 振動特性分析

3.1 固有頻率和損耗因子

敷設約束阻尼圓柱殼的自由振動的動力學方程是式(20)的齊次形式

M(d2Y/dt2)+KY=0.

(21)

令Y(t)=Y0eiωt，其中Y0=[ABCDE]T為振動的振幅，ω為頻率，帶入式(21)得

(K-ω2M)Y0=0.

(22)

3.2 頻率響應特性

應用模態疊加法即可以求出圓柱殼中面位移沿u、v、w方向的位移響應為

式中m、n為模態疊加法截取的軸向半波數和周向波數.

4 阻尼評價標準

目前，對約束阻尼結構阻尼效果的評價標準大多是在固有頻率基礎上得到的模態損耗因子.但是損耗因子只能評價固有頻率處的阻尼效果，無法分析在一定頻率范圍內阻尼的作用.本節引出一種新的阻尼效果評價標準——能量耗散系數P*，其表達式為

P*=20 log(PCLD/P).

式中：Ps是指圓柱殼位移在指定頻帶內的平均值,PCLD是指敷設約束阻尼圓柱殼位移在指定頻帶內的平均值.當有阻尼作用時P*是一個負數，無阻尼作用時大小為0.與特定固有頻率下損耗因子不同，能量耗散系數P*用一定頻帶內能量的損耗來表示約束阻尼的阻尼效果，能夠直觀的表示出在指定頻帶內參數的改變對阻尼效果的影響.

本文中Ps的求法與PCLD的求法類似，不同之處在于進行動力學方程計算時，求取Ps僅需帶入基層動能和變形能.

5 算例分析

5.1 實例驗證

為了驗證本文方法的正確性，將本文計算結果與文獻[14]中的結果進行對比.文獻[14]中的敷設約束阻尼圓柱殼各參數：基層半徑Rs=0.1 m，長度L=0.1 m，泊松比μs=μc=0.3，基層、阻尼層和約束層厚度hs=hv=hc=1/3 mm，基層和約束層彈性模量Es=Ec=2.1×1011Pa，密度ρs=ρc=7 850kg/m3，阻尼層密度ρv=1 340 kg/m3，阻尼層復常剪切模量Gv=(8.528+2.985i) MPa，圓柱殼兩端的約束方式為簡支.計算結果如表1所示.由表1可知，本文計算結果與文獻[14]計算結果吻合較好，實部和虛部的最大誤差不超過1%.由此可以看出本文結果的有效性.

表1 ω2計算結果的對比

5.2 位移幅頻響應數值計算及分析

算例中圓柱殼兩端約束方式為簡支，敷設約束阻尼圓柱殼各參數：基層半徑Rs=0.02 m，長度L=0.7 m，泊松比μs=μc=0.3，基層、阻尼層和約束層厚度hs=hv=hc=0.001 m，基層和約束層彈性模量Es=Ec=2.1×1011Pa，密度ρs=ρc=7 850 kg/m3，阻尼層密度ρv=1 340 kg/m3，根據文獻[11]，得阻尼層復變剪切模量經驗公式Gv=0.142(ω/2π)0.492·(1+1.46i) MPa.在作用點(x*,θ*)=(0,π)處沿圓柱殼的軸向作用一幅值大小為1 N的力，響應點的坐標(x,θ)=(0.35,0).應用模態疊加法截取軸向半波數和周向波數分別為m=0～5,n=0～5.分析響應點在0～3 000 Hz的頻帶內的幅頻響應.

圖3對比在不同阻尼層厚度下圓柱殼響應點的幅頻特性，圖3中4條曲線分別表示無約束阻尼作用(shell)，阻尼層厚度為0.001 m(hv)，阻尼層厚度為0.000 5 m(hv/2)和僅有約束層(hv=0)作用時圓柱殼的響應情況.由圖3可以看出,在約束阻尼作用下，圓柱殼響應點的幅值明顯減少.減少阻尼層厚度，阻尼效果明顯降低.另外,無約束阻尼作用下圓柱殼頻率響應的求法與約束阻尼作用下類似，在求解動能和變形能時只需帶入基層的動能和變形能即可.

圖3 不同阻尼層厚度圓柱殼響應點的位移幅頻特性

Fig.3 Frequency response with CLD treatment of different damping layer thickness

圖4對比在不同約束層厚度下圓柱殼響應點的幅頻特性，圖4中4條曲線分別表示無約束阻尼作用(shell)，約束層厚度為0.001 m(hc)，約束層厚度為0.000 5 m(hc/2)和僅有阻尼層(hc=0)作用時圓柱殼的響應情況.由圖4可以看出,隨著約束層厚度的增加，阻尼效果增強，自由阻尼(hc=0)的阻尼效果比約束阻尼的阻尼效果差.

圖4 不同約束層厚度圓柱殼響應點的位移幅頻特性

Fig.4 Frequency response with CLD treatment of different constrained layer thickness

5.3 阻尼效果分析

本節對敷設圓柱殼的評價標準是損耗因子和能量耗散系數.分別用這兩種評價標準來表示參數的改變對阻尼效果的影響.對能量耗散系數分析選取的頻率范圍是1～2 000 Hz，該頻帶包含系統的前3階固有頻率.對應的模態分別為第1階(i=1, j=1)，第2階(i=2, j=1)，第3階(i=1, j=2).

圖5表示阻尼材料的阻尼系數g對阻尼效果的影響，由圖5(a)可以看出,隨著系數g的增加，前3階模態損耗因子增加.由圖5(b)可以看出在1～2 000 Hz的頻帶內隨著系數g的增加能量耗散系數增加，這說明隨著阻尼材料的阻尼系數增加，不僅在前3階固有頻率處阻尼效果增強，在指定的頻帶內阻尼效果也在增強.圖6表示約束層彈性模量變化對阻尼效果的影響.

(a)對前3階損耗因子的影響

(b)對能量耗散系數的影響

(a)對前3階損耗因子的影響

(b)對能量耗散系數的影響

當約束層彈性模量Ec在0.01Es～0.5Es之間逐漸增加時，前3階模態損耗因子急劇下降；但是當約束層彈性模量Ec在0.5Es～Es變化時，前3階模態損耗因子趨于穩定值.在1～2 000 Hz的頻帶范圍內，隨著約束層彈性模量的增加，能量損耗系數增加.這說明隨著約束層彈性模量的變化，固有頻率處的模態損耗因子和系統在指定頻帶處的阻尼效果的變化是不同的.

(a)對前3階損耗因子的影響

(b)對能量耗散系數的影響

(a) 對前3階損耗因子的影響

(b)對能量耗散系數的影響

6 結 論

1)本文基于薄殼理論，應用哈密頓原理并結合瑞利-李茲法推導出了各種邊界條件下敷設約束阻尼圓柱殼的固有頻率和損耗因子的計算公式，應用模態疊加法推導了敷設約束阻尼圓柱殼頻率響應計算公式.

2)在頻率響應的基礎上提出能量耗散系數.將能量耗散系數和損耗因子分別作為阻尼效果的評價標準對約束阻尼結構進行參數分析.

3)參數分析結果表明，隨著阻尼材料阻尼系數、約束層厚度、約束層彈性模量和阻尼層厚度的改變，前3階模態損耗因子的變化是不相同的.但是隨著阻尼材料阻尼系數、約束層厚度、約束層彈性模量和阻尼層厚度增加，能量耗散系數增加，在1～2 000 Hz的頻帶內阻尼效果增強.

4)能量耗散系數能夠作為在指定頻帶范圍內的阻尼效果的評價標準，而損耗因子只能作為在固有頻率處阻尼效果的評價標準.

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(編輯 楊 波)

Vibration characteristics of thin cylindrical shell with constrained layer damping

WANG Mukai1, CHEN Zhaobo1, JIAO Yinghou1, Lü Wenxiang2

(1.School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;2.School of Maritime, Shandong Jiaotong University, Jinan 264200, China)

To know the vibration characteristics of thin cylindrical shell with constrained layer damping, Hamilton principle with Rayleigh-Ritz method is used to solve the dynamic equation.Based on this, natural frequencies and loss factors of free vibration are analyzed.Modal Superposition method is used to calculate the formulas of frequency response on any points in the shell.In addition, based on frequency response, power dissipation coefficient is proposed.The power dissipation coefficient and loss factors are used respectively as constrained layer damping effect evaluation criteria and to analyze the influence of constrained layer damping structure parameters on the damping effect.Numerical results show that the constrained layer damping can effectively inhibit vibration transmission of thin cylindrical shell.The power dissipation coefficient can be used as damping effect evaluation criteria in the specified frequency band.The coefficient of viscoelastic damping material, elastic modulus of constrained layer, thickness of constrained layer and thickness of damping layer can affect the damping effect.

constrained layer damping; thin cylindrical shell; power dissipation coefficient; damping effect; modal superposition method；Hamilton principle; Rayleigh-Ritz method

10.11918/j.issn.0367-6234.2017.01.010

2015-10-07

國家自然科學基金(11372083)

王目凱(1990—)，男，博士研究生； 陳照波(1967—)，男，教授，博士生導師； 焦映厚(1962—)，男，教授，博士生導師

王目凱，Walker_HIT@163.com

TB535

A

0367-6234(2017)01-0072-08