并聯機構正運動學AWPSO-SM求解算法

楊 輝 郝麗娜 項超群

(東北大學機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

并聯機構正運動學AWPSO-SM求解算法

楊 輝 郝麗娜 項超群

(東北大學機械工程與自動化學院， 沈陽 110819)

通過將數值迭代算法與智能優化算法相結合，提出并聯機構正運動學問題的通用求解算法——自適應權重粒子群-弦截法(AWPSO-SM)算法，并針對3-UCU(U為萬向副，C為圓柱副)并聯機構給出AWPSO-SM的詳細求解過程。為了驗證所提算法的有效性，在Matlab環境下，分別給出3-UCU、3-PPR(P為移動副，R為轉動副)以及4-SPS(S為球副)3種典型并聯機構正運動學問題的求解算例，并分別與AWPSO和弦截法的求解結果進行對比。由仿真結果可知，AWPSO-SM克服了單一方法在局部收斂性和初值選取方面對計算結果的影響，可有效地對并聯機構的正運動學問題進行求解。

并聯機構; 正運動學; 自適應權重粒子群-弦截法

引言

并聯機構具有結構簡單、累計誤差小、承載能力大等特點，被廣泛應用于工業制造、航空航天等領域中[1-3]。然而，并聯機構普遍存在逆運動學問題簡單、正運動學問題復雜的現象，且由于機構運動學分析是機構其他性能研究及運動控制的基礎，故并聯機構正運動學問題的求解方法仍是當前國內外的研究熱點。

目前并聯機構正運動學問題的求解方法主要分為2種，即解析法和數值法。利用解析法雖可以求得機構全部運動學正解，能完整地描述機構的運動特性，但其計算過程極為復雜，且針對不同的機構其消元方法也不盡相同，缺乏通用性，故僅能作為理論分析的手段而無法實際應用[4-7]。相比之下，數值法計算過程較為簡潔，能夠快速地對正運動學問題進行求解，但是數值法往往需要約束條件，故無法求得正運動學問題的全部解[8]。常用數值求解方法有兩種，即數值迭代法和智能優化算法[9-10]。文獻[11]基于運動學逆解方程，得到并聯機構桿長微變量與運動平臺微變量之間的線性關系，通過不斷疊加連桿的微小變量，從而得到6-3型Steward平臺的運動學正解。文獻[12]則針對3-PPR型并聯機構，應用改進的蟻群算法對其正運動學問題進行求解，并通過數值算例驗證了算法的有效性。文獻[13]則針對6-SPS平臺利用帶有競爭機制的共享適應度粒子群(CSFPSO)算法實現了對其全部運動學正解的求解。然而，數值迭代法的求解精度受初值選取的影響較大，而智能優化算法則存在易陷入局部收斂的問題。針對上述問題，本文提出將數值迭代與智能優化算法相結合的思路，首先利用智能優化算法求得較為理想的迭代初值，然后利用數值迭代方法對并聯機構的正運動學問題進行求解。

1 AWPSO-SM算法描述

粒子群(PSO)算法與蟻群算法、人群搜索算法以及果蠅算法等相似，是一種基于群體的隨機優化算法，其初值是隨機的，且具有迭代格式簡單、收斂快、效率高等特點，但PSO算法與大多數優化算法一樣存在容易陷入局部最優的缺點。本文采用自適應權重粒子群(AWPSO)算法[14]，該方法比傳統PSO方法收斂速度快，在較少的迭代次數下便可獲得較好計算結果。

數值迭代算法采用弦截法，該方法是在牛頓法的基礎上得出的一種插值方法，相比牛頓法，它避免了對非線性方程的復雜求導過程，具有較好的收斂精度，但與大多數數值迭代方法一樣，其對初值的選取具有嚴格的要求。

上述2種方法分別在智能優化算法及數值迭代算法中具有一定的代表性，本文提出將上述2種方法配合使用，并基于此提出AWPSO-SM算法，即利用AWPSO算法求取弦截法所需的初值，然后利用弦截法進一步求解并聯機構的正運動學問題。AWPSO-SM算法流程圖如圖1所示。

圖1 AWPSO-SM算法流程圖Fig.1 Flow chart of AWPSO-SM algorithm

利用AWPSO-SM算法求解并聯機構正運動學問題的步驟如下：

(1)建立并聯機構運動學逆解方程。

(2)根據所建逆解方程，設計AWPSO-SM算法所需的迭代函數及適應度函數，并根據圖1所示的算法流程對并聯機構的正運動學問題進行求解。

本文以3-UCU并聯機構為例，對基于AWPSO-SM算法的并聯機構正運動學問題的詳細求解過程進行闡述。

2 3-UCU并聯機構正運動學求解

2.1 逆運動學方程的建立

圖2 3-UCU并聯機構模型Fig.2 Model of 3-UCU parallel mechanism

建立如圖2所示的空間坐標系。首先，在固定平臺中心點處建立固定坐標系OBXBYBZB，其中XB軸過固定平臺鉸鏈點B3，YB軸與邊B1B3相交且與邊B1B2平行，ZB軸垂直于固定平臺向上；然后，在運動平臺中心點處建立運動坐標系OPXPYPZP，與固定坐標系相同，其XP軸過運動平臺鉸鏈點A3，YP軸與邊A1A3相交且與邊A1A2平行，ZP軸垂直于運動平臺向上。l1、l2、l3分別為連桿B3A3、B2A2、B1A1的長度。將固定坐標系OBXBYBZB作為參考坐標系，設機構轉動順序為ZP-YP-XP，則運動坐標系OPXPYPZP相對其的旋轉矩陣R為

(1)

式中，ψ、θ、φ分別為運動平臺相對固定坐標系XB、YB、ZB軸的轉角。由于運動平臺與固定平臺半徑相等，即rP=rB=r，則鉸鏈點Ai、Bi(i=1,2,3)在其各自坐標系中的位置坐標為

(2)

(3)

運動坐標系OPXPYPZP原點相對于固定坐標系OBXBYBZB的位置坐標可表示為P=(0，0，h)T，h為機構高度。則兩平臺相應鉸鏈點之間的連桿矢量為

liei=P+RAi-Bi(i=1,2,3)

(4)

將鉸鏈點Ai、Bi的坐標代入式(4)，則可得到3根連桿的長度變化方程為

(5)

式(5)即為3-UCU并聯機構的逆運動學方程。

2.2 AWPSO-SM數值求解

算法的具體運算過程如下：

(1)根據式(5)，將非線性方程轉換為

(6)

(2)在搜索空間內對粒子群進行初始化，令x=(ψ,θ,φ),搜索速度為v。為防止計算結果出現多解，提高運算精度，故給定粒子大小及搜索速度的約束空間，即粒子最大值xmax和最小值xmin，以及粒子最大搜索速度vmax和最小搜索速度vmin。定義種群規模為n，最大迭代次數m，慣性權重w的最大值wmax及最小值wmin并初始化種群的位置速度。

(3)令F=(f1,f2,f3)，設粒子的適應度函數為

(7)

式中f(j)——第j個粒子的適應度函數

‖F‖2——向量F的2-范數

(4)粒子位置的更新過程：根據粒子當前狀態，比較粒子的適應度函數值f與粒子自身最優歷史位置pbestp對應的適應度函數值fbest_valuep，如果f

(5)計算慣性權重

(8)

式中fvagf——整個種群適應度函數的平均值

更新粒子的速度和位置

(9)

(10)

式中，i=1,2,…,n；j=1,2,3；k=0,1,2,…,m；C1和C2稱為學習因子，R1和R2為服從[0, 1]分布的隨機數。

進行越界限制

(11)

(12)

(6)為了改善粒子群算法的種群多樣性，在算法中加入隨機變異。

(13)

量中的一個隨機變量，λ1、λ2為服從[0, 1]分布的隨機數。

(7)若迭代次數未達到最大迭代次數m，則返回步驟(3)；若達到最大迭代次數則轉到步驟(8)。

(8)定義弦截法的迭代精度為10-4，并將由粒子群算法所得到的結果作為迭代初值，即x0=(ψ0,θ0,φ0)，將x0+0.000 1作為其前一個迭代值。

(9)更新過程：迭代格式為

xk+1=xk-Y(xk)-1F(xk)

(14)

其中

(15)

(10)如果迭代精度未達到要求，則返回步驟(8)繼續計算；若達到精度要求，則退出計算；若迭代次數大于500次，則強制退出計算，并提示迭代不收斂。

3 并聯機構正運動學數值算例

3.1 3-UCU機構數值算例

3-UCU并聯機構固定平臺及運動平臺半徑r=38.5 mm，運動坐標系OPXPYPZP原點相對于固定坐標系OBXBYBZB的位置坐標為P=(0，0，250)，令機構運動平臺呈現5種典型運動姿態，即分別繞3個軸的轉角、繞XB和YB軸的復合轉角以及同時繞3個軸的復合轉角，具體轉角目標值如表1～3所示；根據目標值，通過機構逆運動學方程求得連桿長度，并將其作為AWPSO-SM、AWPSO算法及弦截法的輸入量；對于AWPSO-SM，設粒子群的種群規模為n=30，最大迭代次數為m=200、xmax=0.87 rad、xmin=-0.87 rad、vmax=0.87 rad/s、vmin=-0.87 rad/s、ωmax=1.2、ωmin=0.3、C1=C2=1.8,設種群初值為[1,1,1]。對于AWPSO算法，設粒子群的種群規模為n′=100，最大迭代次數為m′=1 000，其余參數不變。對于弦截法設其迭代初值也為[1,1,1]。然后對機構的正運動學方程進行求解，并將3種方法所求結果進行對比，其結果如表1～3所示。

表1 3-UCU AWPSO-SM計算結果
Tab.1 3-UCU results of AWPSO- SM

算例ψ/radθ/radφ/rad目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差迭代次數10.082990.082981×10-500000020320000.196350.19635000020330000000.174530.17453020240.597570.597570-0.19416-0.19416000020350.285250.285250-0.55984-0.5598400.084910.084910205

表2 3-UCU AWPSO算法計算結果
Tab.2 3-UCU results of AWPSO algorithm

算例ψ/radθ/radφ/rad目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差迭代次數10.082990.08319-2×10-4000000100020000.196350.196323×10-5000100030000000.174530.17460-7×10-5100040.597570.597391.8×10-4-0.19416-0.19255-1.61×10-30-0.100810.10081100050.285250.281623.63×10-3-0.55984-0.560011.7×10-40.0849100.084911000

表3 3-UCU 弦截法計算結果
Tab.3 3-UCU results of secant method

算例ψ/radθ/radφ/rad目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差迭代次數10.08299NaNNaN0NaNNaN0NaNNaN43720NaNNaN0.19635NaNNaN0NaNNaN30830NaNNaN0NaNNaN0.17453NaNNaN4240.59757不收斂—-0.19416不收斂—0不收斂—>50050.28525NaNNaN-0.55984NaNNaN0.08491NaNNaN434

從表1和表2可以看出， AWPSO-SM彌補了AWPSO的局部收斂性，且僅需較少的迭代次數便可以獲得較為精確的結果。從表3可以看出，當初值與目標值相差較大時，弦截法處于發散狀態，而AWPSO-SM則避免了該問題對計算結果的影響，能夠精確地對3-UCU并聯機構的正運動學方程進行求解。

3.2 3-PPR機構數值算例

3-PPR并聯機構具有2個平移自由度和1個轉動自由度，根據文獻[12]可知3-PPR并聯機構的逆運動學方程為

(16)

式中，d=(d1,d2,d3)為驅動器位移，設機構固定平臺與運動平臺的半徑相等，即r=40 mm。

依照上述求解步驟，利用文獻[12]中所列目標值進行數值仿真，對于AWPSO-SM，設粒子群的種群規模為n=30，最大迭代次數為m=200、xmax1=0.42 rad、xmin1=-0.42 rad、vmax1=0.42 rad/s、vmin1=-0.42 rad/s、xmax2=60 mm、xmin2=-60 mm、vmax2=60 mm/s、vmin2=-60 mm/s、ωmax=1.2、ωmin=0.3、C1=C2=1.8，設種群初值為[10,10,10]。對于AWPSO算法，設粒子群的種群規模為n′=100，最大迭代次數為m′=1 000，其余參數不變。對于弦截法設其迭代初值也為[10,10,10]。其結果如表4～6所示。

表4 3-PPR AWPSO-SM計算結果
Tab.4 3-PPR results of AWPSO- SM

算例x/mmy/mmθ/rad目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差迭代次數110100151500.087270.087270203210100202000.174530.174530203315150151500.174530.174530203415150202000.26180.26180203520200151500.174530.174530203

表5 3-PPR AWPSO算法計算結果
Tab.5 3-PPR results of AWPSO algorithm

算例x/mmy/mmθ/rad目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差迭代次數1109.759370.240631516.16794-1.167940.087270.083843.43×10-3100021010.20419-0.204192019.036330.963670.174530.1842-9.67×10-3100031515.30890.30891513.67071.32930.174530.18159-7.06×10-3100041514.495860.504142019.12510.87490.26180.247160.01464100052019.570450.429551516.66518-1.665180.174530.160040.014491000

從表4和表5同樣可以看出， AWPSO-SM有效彌補了AWPSO的局部收斂性，且所需迭代次數更少、精度更高。從表6可以看出，初值對弦截法求解精度的影響較大，而AWPSO-SM則避免了初值問題對計算結果的影響。故相較AWPSO及弦截法，其能夠有效地對3-PPR并聯機構的正運動學方程進行求解。

表6 3-PPR弦截法計算結果
Tab.6 3-PPR results of secant method

算例x/mmy/mmθ/rad目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差迭代次數110NaNNaN15NaNNaN0.08727NaNNaN5210-29.3923139.39231202000.174539.25024-9.075715315-24.3923139.39231151500.174539.25024-9.075715415-23.6370338.63703202000.26189.16298-8.901185520-19.3923139.39231151500.174539.25024-9.075715

3.3 4-SPS機構數值算例

4-SPS并聯機構具有3個轉動自由度和1個垂直方向平移自由度，根據文獻[15]及式(1)可知4-SPS并聯機構的逆運動學方程為

(17)

式中，l=(l1,l2,l3,l4)為機構連桿桿長；a為運動平臺邊長的1/2，設a=100 mm；b為固定平臺邊長的1/2，設b=200 mm。

依照上述求解步驟，利用表7中所列目標值進行數值仿真，對于AWPSO-SM，設粒子群種群規模為n=30，最大迭代次數為m=200、xmax1=1.22 rad、xmin1=-1.22 rad、vmax1=1.22 rad/s、vmin1=-1.22 rad/s、xmax2=300 mm、xmin2=-80 mm、vmax2=100 mm/s、vmin2=-100 mm/s、ωmax=1.2、ωmin=0.3、C1=C2=1.8。設種群初值為[10,10,10,10]。對于AWPSO算法，設粒子群的種群規模為n′=100，最大迭代次數為m′=1 000，其余參數不變。對于弦截法設其迭代初值也為[10,10,10, 10]。其結果如表7～9所示。

表7 4-SPS AWPSO-SM計算結果
Tab.7 4-SPS results of AWPSO- SM

算例ψ/radθ/radφ/radz/mm目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差迭代次數10.558510.558510000000200200020420000.78540.78540000200200020230.78540.785400.628320.628320000100100020440.52360.523600.52360.523601.04721.04720200200020650.098170.0981700.44880.448800.78540.785401751750205

表8 4-SPS AWPSO算法計算結果
Tab.8 4-SPS results of AWPSO algorithm

算例ψ/radθ/radφ/radz/mm目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差迭代次數10.558510.558381.3×10-40000002002000100020000.78540.785346×10-50002002000100030.78540.8074-0.0220.628320.637799.47×10-300010097.308252.69175100040.52360.93286-0.409260.52360.7759-0.25231.04721.22173-0.17453200130.61469.386100050.098170.098574×10-40.44880.410160.038640.78540.29470.4907175200-251000

表9 4-SPS弦截法計算結果
Tab.9 4-SPS results of secant method

算例ψ/radθ/radφ/radz/mm目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差目標值實際值絕對誤差迭代次數10.55851InfInf0000NanNan200020040220NaNNaN0.7854NaNNaN0NaNNaN200NaNNaN49030.7854InfInf0.6283200.628320NaNNaN200020042040.5236發散—0.5236發散—1.0472發散—200發散—>50050.09817發散—0.4488發散—0.7854發散—175發散—>500

表7和表8再次顯示了AWPSO-SM相較AWPSO算法在求解精度以及迭代次數上的優越性。從表9可以看出，當初值為[10, 10, 10,10]時，弦截法無法對4-SPS并聯機構的正運動學問題進行求解，而AWPSO-SM則避免了初值問題對計算結果的影響。故AWPSO-SM算法也能精確、有效地對4-SPS并聯機構的正運動學方程進行求解，進而說明該算法針對并聯機構正運動學問題的求解具有一定的普適性。

4 結束語

基于數值迭代算法與智能優化算法相結合的思路，提出針對并聯機構運動學正解問題的通用求解算法：AWSPSO-SM算法。針對3-UCU并聯機構，對算法的詳細求解過程進行了闡述；最后，依照算法求解步驟，通過數值算例，分別對3-UCU、3-PPR、4-SPS并聯機構的正運動學問題進行求解，并與AWPSO算法和弦截法進行了比較，從而對算法的有效性及精確性進行了驗證。由仿真結果可知，利用AWPSO-SM可以精確地對并聯機構的正運動學問題進行求解，避免了AWPSO局部收斂性和弦截法初值問題對運算結果的影響。此外，該算法避免了求導過程，運算過程簡單快捷，相較AWPSO算法僅需很少的迭代步驟便可以獲得較為精確的運算結果，具有良好的通用性。

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15 王庚祥, 原大寧, 劉宏昭, 等. 空間4-SPS/CU并聯機構運動學分析[J/OL]. 農業機械學報, 2012, 43(3): 207- 212, 199. http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20120337&flag=1. DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2012.03.037. WANG Gengxiang, YUAN Daning, LIU Hongzhao, et al. Kinematic analysis of spatial 4-SPS/CU parallel mechanism[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2012, 43(3): 207-212, 199. (in Chinese)

16 張艷偉, 韋斌, 王南, 等. 空間轉動3-SPS-S并聯機構運動學性能分析[J/OL]. 農業機械學報, 2012, 43(4): 212- 215, 207. http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20120440&flag=1. DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2012.04.040. ZHANG Yanwei, WEI Bin, WANG Nan, et al. Kinematic performance analysis of 3-SPS-S spatial rotation parallel mechanism[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery, 2012, 43(4): 212- 215, 207. (in Chinese)

17 崔國華, 張艷偉, 張英爽, 等. 空間轉動型3-SPS/S并聯機器人的構型設計分析[J]. 吉林大學學報, 2009, 39(增刊1): 200-205. CUI Guohua, ZHANG Yanwei, ZHANG Yingshuang, et al. Configuration design and analysis of a new 3-SPS/S spatial rotation parallel manipulator[J]. Journal of Jilin University, 2009, 39(Supp.1): 200-205. (in Chinese)

AWPSO-SM Algorithm for Parallel Mechanism Forward Kinematics

YANG Hui HAO Li’na XIANG Chaoqun

(SchoolofMechanicalEngineeringandAutomation,NortheasternUniversity,Shenyang110819,China)

By a combination of the numerical iteration method and the intelligent optimization algorithm, the adaptive weight particle swam optimization with secant method (AWPSO-SM) was presented which was applied for solving the parallel mechanism forward kinematics problems. Then, the 3-UCU (U is universal pair, C is cylindrical pair) parallel mechanism was treated as the research object, and then the detailed solving process of AWPSO-SM was given, namely, the inverse kinematics model of 3-UCU parallel mechanism was established firstly; based on the model, the iterated function and fitness function was designed, and then the forward kinematics of the 3-UCU parallel mechanism was solved by AWPSO-SM. Finally, the effectiveness and accuracy of AWPSO-SM was verified via several numerical examples of 3-UCU parallel mechanism, 3-PPR (P is prismatic pair, R is revolute joint) parallel mechanism and 4-SPS (S is spherical joint) parallel mechanism which were the typical parallel mechanisms in Matlab environment. From simulation results, AWPSO-SM avoids the effects of the local convergence and the initial value on the calculation results, and could solve the forward kinematics of the 3-UCU parallel mechanism effectively. Moreover, AWPSO-SM avoids the complicated derivation process and has simple calculating process. AWPSO-SM has better accuracy with little iteration times and universality than AWPSO and secant method.

parallel mechanism; forward kinematics; AWPSO-SM

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.01.046

2016-05-23

2016-06-20

國家自然科學基金面上項目(61573093)和國家高技術研究發展計劃(863計劃)項目(2015AA042302)

楊輝(1987—)，男，博士生，主要從事機器人柔順性控制研究，E-mail： 405377205@qq.com

郝麗娜(1968—)，女，教授，博士生導師，主要從事機器人建模與智能控制研究，E-mail： haolina@me.neu.edu.cn

TH122

A

1000-1298(2017)01-0346-07