基于引導人工蜂群算法的3-RPS并聯機構正解優化

毛冰滟 謝志江 吳小勇 袁岳軍

(重慶大學機械傳動國家重點實驗室， 重慶 400044)

基于引導人工蜂群算法的3-RPS并聯機構正解優化

毛冰滟 謝志江 吳小勇 袁岳軍

(重慶大學機械傳動國家重點實驗室， 重慶 400044)

提出了一種求解3-RPS并聯機構正解優化的快速數值解算法，采用數值優化方式將正解轉換為最小化問題。針對3-RPS并聯機構位姿正解優化，采用數值法建立該并聯運動平臺正解方程，其實質為帶約束的多目標非線性方程組。建立判定方程實現方程組單目標優化，采用引導人工蜂群算法進行最小值優化求解。該算法既利用了基本人工蜂群算法中鄰近蜜蜂交換蜜源信息的方式，又采用全局最優蜜蜂引導所有蜜蜂往更優蜜源處移動，更快速地搜索到最優蜜源位置。通過求解3-RPS正解數值解優化仿真算例分析，對比改進蟻群算法和基本人工蜂群算法，結果表明引導人工蜂群算法是高精度高速求解并聯運動平臺正解優化的一種有效方法。

并聯機構； 人工蜂群算法； 運動學正解

引言

與串聯機器人相比，并聯機構具有高承載能力、高剛度、高精度等特點[1-2]。為達到運動精度高、可達精度小，機構的綜合問題分析在于運動學求解優化，并聯機構的運動學優化關鍵在于機構正解，即已知驅動得到位置和姿態[3-5]。

并聯機構的運動學正解包含一組復雜的多目標耦合非線性方程組，傳統采用的方式有數值法和解析法。任文博等[6-7]得到并聯機構的封閉解析解，需要根據機構的結構特點進行判斷，效率低，計算量大。數值法通常采用Newton-Raphson法進行迭代求解[8-9]，需計算雅可比矩陣及其逆矩陣，計算工作量大，結構受初值影響，計算精度達不到要求[8-11]。

近年來，智能優化算法發展迅速，如粒子群算法(Particle swarm optimization, PSO)[12-15]、遺傳算法(Genetic algorithm, GA)[16]、連續蟻群算法(Ant colony algorithm, ACO)[17]等在機器人運動學求解上得到了應用。粒子群算法運算速度快，算法易于應用，但全局尋優性差，容易陷入局部最優值；遺傳算法全局并行搜索，但常規的算法有收斂速度慢及早熟的缺點；連續蟻群算法為群智能算法模式，但運行速度慢。人工蜂群算法(Artificial bee colony, ABC)[18-25]仿生于蜜蜂群體采蜜時各個蜂種之間的配合，以找到最優采蜜位置。算法控制參數少，全局尋優性好，收斂速度快，具有非常好的優化搜索特性，可以有效地解決實際工程問題。利用改進的引導人工蜂群算法(Global-best artificial bee colony, GABC)，通過利用全局最優蜜蜂進行引導學習，帶領全部蜜蜂向更優蜜源移動，加快算法收斂速度。

本文對3-RPS并聯運動平臺進行運動學分析，將運動學正解多目標非線性方程組規劃問題轉換為單目標優化，建立判定方程。采用人工蜂群算法以及改進的引導人工蜂群算法進行評定方程優化求解。

1 并聯機構運動學分析

1.1 運動學逆解

圖1為3-RPS并聯機構結構簡圖。該機構是由上、下平臺以及連接兩平臺的3個支鏈組成。上平臺為運動平臺，能實現3-RPS的3個自由度，下平臺為固定平臺，位置保持不變。支鏈從下往上由轉動副(R副)、移動副(P副)和球副(S副)組成，轉動副與固定平臺連接且采用等邊三角形的布置方式，球副與運動平臺連接，布置方式與轉動副一一對應。3條支鏈的長度可通過移動副的伸長縮短進行改變，從而使得運動平臺位置和姿態改變。

圖1 3-RPS并聯機構結構簡圖Fig.1 Structure sketch of 3-RPS parallel manipulator

以右手定則在固定平臺中心建立固定坐標系OXYZ，X軸指向轉動副中心A1，Z軸垂直固定平臺平面向上。在運動平臺上相應的建立動坐標系O1X1Y1Z1，X1軸指向球副中心B1，Z1軸垂直運動平臺向上。固定坐標系不變，該平臺可實現3個自由度為繞X軸和Y軸方向的轉動，以及沿Z軸方向的移動。

由機構的封閉矢量可得

LAiBi=RLO1Bi+P-LOAi(i=1,2,3)

(1)

其中

(2)

式中R——動坐標系到定坐標系的Z-Y-X歐拉旋轉變換矩陣

P——動坐標系到定坐標系的位置變換矩陣

α、β、γ——繞X軸、Y軸、Z軸的轉動角度

xe、ye、ze——繞X軸、Y軸、Z軸的移動距離

其中sα=sinα，cα=cosα，以此類推。

根據機構的幾何關系可以確定A點和B點分別在定坐標系和動坐標系系中的位置，即

(3)

其中

式中ra——轉動副所在平臺半徑rb——球副所在平臺半徑

根據并聯機構實際的裝配關系可知，轉動副R的軸線ei與移動副P的移動方向保持垂直，則可以得到運動學約束方程

(RLO1Bi+P-LOAi)Tei=0

(4)

則可以得到3個轉動副R的軸線向量為

(5)

通過式(3)～(5)可得到xe、ye、γ關于ze、α、β的表達式

(6)

式(6)為該并聯機構的運動學約束方程。在帶約束情況下求該三自由度并聯機構的位置正解，能夠得到該機構的唯一驅動。將式(6)代入式(1)中，使得在逆解的非線性方程組中只含有代表機構位置和姿態的3個自由度ze、α、β。從而可以得到ze、α、β表示向量LAiBi。

通過式(7)～(9)可得，機構實現3個自由度的驅動為移動副的驅動位移，則機構逆解為

(7)

(8)

(9)

(10)

1.2 運動學正解多目標非線性模型優化

機構正解為已知驅動位移di的情況下得到機構的位姿α、β、ze。在得到機構逆解的情況下，正解的本質在于求解一組隱式非線性方程組，即

di-fi(α,β,ze)=0 (i=1,2,3)

(11)

采用權和法將該非線性方程組轉換為單目標線性規劃問題，其實質為帶約束的多目標非線性方程優化，轉換為最小化問題，則

(12)

因此得到該并聯運動平臺數值正解的判定方程為

(13)

2 人工蜂群算法

2.1 基本人工蜂群算法

蜜蜂為群居動物，在群體中不同的蜜蜂有不同的角色和任務。單個蜜蜂行為簡單，而群體運動時能夠適應環境的改變，通過交流蜜源信息來尋求最優蜜源。人工蜂群算法的搜索模型包括蜜源、雇傭蜂、觀察蜂和偵察蜂，不同的蜜蜂以不同的方式尋找蜜源，在采蜜過程中進行交流交換信息，最后得到最優蜜源。

算法的具體步驟如下：

(1)初始化蜂群

將蜜源抽象為n維搜索空間內的點，且參與尋找蜜源的蜜蜂個數為SN。則在搜索范圍內隨機初始化的第i個蜜源為

Xi={xi,1,xi,2,…,xi,n}

(14)

xi,j=xmin,j+rand(0,1)(xmax,j-xmin,j)

(15)

其中i=1,2,…,SN；j=1,2,…,n；Xmin,j和Xmax,j分別為搜索范圍的最小值和最大值。

通過式(14)和式(15)在搜索空間內隨機生成SN個蜜源，分別對應SN個雇傭蜂的初始搜尋位置，且其判定值fi可以根據判定方程得出。

(2)雇傭蜂運動

每個雇傭蜂在執行一次采蜜任務后尋找新的蜜源，單個蜜蜂會與隨機選擇的附近的蜜蜂交換蜜源信息，通過信息的交換得到新的蜜源位置。蜜源更新方程為

vi,j=xi,j+φi,j(xi,j-xk,j)

(16)

其中k∈{1,2,…,SN}，j∈{1,2,…,n}，且k與j隨機從范圍內選取。φi,j從[-1,1] 中隨機選取。

得到新的蜜源Vi后，每個蜜蜂會與自己之前的蜜源Xi進行比較。根據判定方程的判定值fi，通過貪婪法則進行比較。如果新的蜜源Vi優于Xi，則Vi取代Xi成為新的蜜源，如果Vi并沒有優于Xi，則該蜜蜂的蜜源保持為Xi。

(3)選擇概率

所有的雇傭蜂在完成搜索蜜源后，在舞蹈區域與觀察蜂交換蜜源信息。每只觀察蜂的蜜源信息通過所有的雇傭蜂獲得，且蜜源的位置會根據花蜜的數量得到選擇概率。這個概率的選擇是由每個蜜源的適應度決定，概率為

(17)

(18)

每個蜜源的適應度fiti由判定方程的判定值得出，適應度越高的蜜源位置越好。

(4)觀察蜂運動

根據選擇概率，每只觀察蜂從所有雇傭蜂處獲得蜜源位置信息。在選擇蜜源位置Xi后，依據式(16)更新自己的蜜源位置。運動到新的蜜源位置后，通過貪婪法則進行選擇，如果新位置優于雇傭蜂的蜜源位置，則替代雇傭蜂進入蜂群。

(5)偵察蜂運動

偵察蜂的任務在于偵察蜜源位置的更新情況。某個雇傭蜂的蜜源位置被更換的次數超過限定值，則該雇傭蜂需要被淘汰。偵察蜂會根據式(15)在搜索范圍內隨機產生一個位置，替代該雇傭蜂進入蜂群尋找蜜源。

2.2 引導人工蜂群算法

基本的算法中雇傭蜂和觀察蜂都采用式(16)來更新蜜源，即將自己蜜源信息中的一部分與鄰近蜜蜂的蜜源信息進行隨機交換。這樣交換信息更新的方式隨機性大，不易陷入局部最優位置。然而，鄰近的蜜蜂是隨機選取，其蜜源優劣程度未知，則在一定程度上會引導該蜜蜂轉向相對差的蜜源處。

引導人工蜂群算法(GABC)在更新蜜源位置時與基本人工蜂群算法不同，該算法選出全局最優的蜜蜂及其蜜源位置，且隨著蜂群的運動不斷更新全局最優。全局最優的蜜蜂找到了此時蜂群的最佳蜜源，則有責任引導和帶領其余蜜蜂向好的蜜源移動。在更新蜜源時采用

vi,j=xi,j+φi,j(xi,j-xk,j)+φi,j(xGbest,j-xk,j)

(19)

式中xGbest,j——全局最優蜜源位置

在引導人工蜂群算法中，雇傭蜂與觀察蜂均采用式(19)的方式更新蜜源位置。這樣的更新方式，一部分的信息與鄰近的蜜蜂進行交換更新，一部分的信息與全局最優蜜蜂交換更新，即可以保證搜索的全局性，不會被局部最優的蜜源干擾，又可以在全局最優蜜蜂的引導下，向更好的蜜源處移動。

3 算例

根據如圖1所示的3-RPS機構，以坐標系中心為原點，轉動副所在平臺半徑為ra=274 mm，球副所在平臺半徑為rb=158 mm。該運動平臺的工作空間如表1所示，繞X軸的轉動為α，繞Y軸的轉動為β。

表1 運動平臺工作空間
Tab.1 Workspace of moving platform

參數XYZ位移/mm00[400,700]轉角/(°)[-20,20][-20,20]0

以求解α=9°,β=13°,ze=622 mm為例分別采用連續蟻群算法、人工蜂群算法和引導人工蜂群算法進行正解運算。3-RPS并聯運動平臺的正解數值解運算為已知驅動連桿長度d1=598.849 5 mm，d2=671.584 7 mm，d3=629.495 5 mm，求解得到運動平臺的位置和姿態。本文中采用Matlab R2012b進行仿真，運行電腦配置為Intel? Core i7-4510U CPU @ 2.00 GHz 2.60 GHz RAM 7.71 GB。

采用3種算法均為群智能最優化算法，采用仿生方式在種群的基礎上進行尋優。3種算法種群數量設置為10，迭代次數為600次，獨立運行30次后得到結果進行比較。

從表2中可以看出，人工蜂群算法和引導人工蜂群算法得到的計算值相差不大，誤差都小于10-10，比較而言連續蟻群算法計算值的誤差較大。圖2為3種算法判定值誤差曲線。從圖2可以看出，連續蟻群算法曲線平緩，收斂速度慢。人工蜂群算法和引導人工蜂群算法分別在迭代170次左右和迭代90次左右收斂，達到最小值，并且引導人工蜂群算法的收斂速度最快。

表3為獨立運行30次后，判定方程誤差的平均值，標準差以及運行平均時間的比較。從表3可以看出，人工蜂群算法及引導人工蜂群算法的單次運行時間比蟻群算法長，相比較而言，引導人工蜂群算法的單次運行時間比人工蜂群算法短。但是，蟻群算法得到的誤差最大，且與人工蜂群算法和引導人工蜂群算法的誤差相差非常大，后2種算法得到的誤差非常小，優勢明顯。

表2 各個算法實際值與計算值結果
Tab.2 Results of actual value and calculated value for each algorithm

算法α/(°)β/(°)ze/mm目標值計算值絕對誤差目標值計算值絕對誤差目標值計算值絕對誤差ACO98.859831.40165×10-11313.00181.84503×10-3622621.9995.38574×10-4ABC99.000004.40234×10-111313.00007.75024×10-12622622.0005.12727×10-10GABC99.000001.07034×10-101313.00006.02700×10-10622622.0007.27595×10-12

圖2 各個算法的誤差曲線Fig.2 Fitness error curves of each algorithm

算法平均值標準差時間/msACO5.69082×10-34.36393×10-3250.567ABC5.41289×10-172.68715×10-17362.400GABC4.10317×10-172.11369×10-17361.333

根據工程需要，在實際的運動控制中，3-RPS并聯機構運動平臺絕對誤差達到10-4即可滿足需求。人工蜂群算法和引導人工蜂群算法都達到要求，且精度很高。實際控制要求中，精度滿足要求是最基本的條件，在運動過程中需要實時計算出機構正解，以達到運動平臺的連續運動，因此運行時間直接影響到控制的實時性，此工程的實時控制時間要求為100 ms以下。由此，在3種算法計算精度滿足工程實際要求情況下，對運算時間進行比較，在最高迭代次數為600次的基礎下，設置判定方程的運算精度為10-5，得到最后的計算值的絕對誤差精度在10-4以上，具體的計算值、絕對誤差、判定誤差以及單次運算時間如表4和表5所示。從這2個表中可以看出，連續蟻群算法在迭代次數內無法達到工程應用要求，且運算時間也大大超出了工程應用實時控制運算時間要求。人工蜂群算法和引導人工蜂群算法的計算值和絕對誤差都滿足工程應用要求，且運算時間也在實時控制要求以內。引導人工蜂群的收斂速度快，運算的時間最短，非常符合工程應用要求。

表4 各個算法滿足精度的實際值與計算值結果
Tab.4 Results of actual value and calculated value met precision requirement for each algorithm

算法α/(°)β/(°)ze/mm目標值計算值絕對誤差目標值計算值絕對誤差目標值計算值絕對誤差ACO98.859831.40165×10-11313.00181.84503×10-3622621.9995.38575×10-4ABC99.000333.39943×10-41312.99945.18093×10-4622622.0001.60948×10-4GABC99.000121.26283×10-41313.00003.14427×10-5622622.0002.23827×10-4

表5 各個算法滿足精度的判定誤差比較
Tab.5 Comparison of fitness error met precision requirement for each algorithm

算法平均值標準差時間/msACO5.69082×10-34.36393×10-3250.567ABC5.72884×10-53.02445×10-569.800GABC5.73793×10-53.35311×10-538.300

具體判定方程的誤差值收斂情況如圖3所示，此誤差達到了10-4以下，且收斂速度非常快，引導人工蜂群優勢明顯。

圖3 各個算法滿足精度要求誤差曲線Fig.3 Fitness error curves met precision requirement of each algorithm

該3-RPS并聯機構運動平臺在試驗過程中需到達工作空間內任意位置，要求控制連續運動，實時得到機構的運動學正解。如表6所示，列出了5種不同情況的位姿，采用引導人工蜂群算法進行求解，求解精度和求解時間均滿足工程應用運動控制要求。

表6 不同情況下引導人工蜂群計算結果
Tab.6 Results of calculated value of GABC in different situations

序號參數真實值計算值絕對誤差適應誤差時間/msα/(°)99.000121.26283×10-41β/(°)1313.00003.14427×10-55.73793×10-538.3000ze/mm622622.0002.23826×10-4α/(°)-17-16.99972.55598×10-42β/(°)88.000171.68791×10-45.83262×10-537.9000ze/mm436436.0002.77078×10-4α/(°)44.000141.40896×10-43β/(°)7-7.000131.31228×10-44.95234×10-533.8333ze/mm509509.0001.64332×10-4α/(°)-13-13.00001.37617×10-44β/(°)-19-18.99992.95497×10-44.76015×10-536.7667ze/mm574573.9999.32082×10-5α/(°)1818.00033.41270×10-45β/(°)1110.99963.08625×10-45.97693×10-534.6000ze/mm695694.9992.65672×10-5

4 結束語

對3-RPS并聯機構運動平臺進行運動學分析，建立了帶約束條件下運動學正解非線性方程組，將多目標非線性方程轉換為單目標判定方程優化。采用人工蜂群算法，通過全局最優進行引導的方式，得到高精度低運算時間的并聯運動平臺位姿參數，達到工作空間內控制策略的連續求解要求。實際仿真算例驗證了該算法在并聯機構運動學正解上的有效性和優勢。

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Forward Kinematics Optimization of 3-RPS Parallel Manipulator Based on Global-best Artificial Bee Colony Algorithm

MAO Bingyan XIE Zhijiang WU Xiaoyong YUAN Yuejun

(StateKeyLaboratoryofMechanicalTransmission,ChongqingUniversity,Chongqing400044,China)

A fast numerical algorithm for the forward kinematics optimization of 3-RPS parallel manipulator was presented. Through numerical optimization methods, the problem of forward kinematics of parallel robot was inverted to minimization problem. According to the optimization of forward kinematics for 3-RPS parallel manipulator, the forward kinematic functions, which were the multi-objective nonlinear equations with constraint, were built based on numerical method. The fitness function was established to achieve the optimization of single objective, and the minimum optimization was solved based on the global-best artificial bee colony algorithm. The information carried by employed bees was exchanged among the neighboring bees. The position information was exchanged randomly and the neighborhood bees were chosen randomly as the standard artificial bee colony algorithm. In addition, for the global-best artificial bee colony algorithm, the global best bee which carried the best position information would guide all bees to move to the better position, and convergence fast to the best position. As the simulation result of 3-RPS forward numerical kinematics showed, compared with continuous ant colony algorithm and standard artificial bee colony algorithm, the global-best artificial bee colony algorithm was an effective way, which with high precision and high speed, to solve forward kinematics of parallel manipulators.

parallel manipulator; artificial bee colony algorithm; forward kinematics

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.01.045

2016-05-27

2016-07-25

國家自然科學基金項目(U1530138)

毛冰滟(1991—)，女，博士生，主要從事機器人技術和優化算法研究，E-mail: sucaogen@163.com

謝志江(1962—)，男，教授，博士生導師，主要從事機械創新設計、機電一體化及設備故障診斷研究，E-mail: xie@cqu.edu.cn

TH112

A

1000-1298(2017)01-0339-07