恒定雅可比3PRRR移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其傳遞性能研究

趙延治 梁博文 曹亞超 趙鐵石

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004)

趙延治1,2梁博文1,2曹亞超1,2趙鐵石1,2

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成型技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004)

提出了一種具有雅可比矩陣恒定特性的3-PRRR三維移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，當(dāng)選取移動(dòng)副作為主動(dòng)輸入時(shí)，該機(jī)構(gòu)具有雅可比矩陣恒定的特性。基于螺旋理論分析了3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度，利用矢量法建立位置正/反解模型，進(jìn)而得到了該機(jī)構(gòu)的工作空間。基于傳遞力螺旋和主運(yùn)動(dòng)螺旋求解了該機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，從得到的機(jī)構(gòu)速度/力變化曲線可知，在確定的輸入下，機(jī)構(gòu)輸出參數(shù)曲線在不同位姿下相重合，從而驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)雅可比矩陣恒定。在此基礎(chǔ)上，分析了該機(jī)構(gòu)的傳遞性能，得到了分支傳遞功率與β(移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線夾角)的關(guān)系曲線，可知輸入功率不變時(shí)，機(jī)構(gòu)的傳遞功率隨著β的增大而減小。分別選取β為0°和30°時(shí)繪制該機(jī)構(gòu)輸出速度和力曲線，得到該機(jī)構(gòu)在β為0°時(shí)傳遞性能最佳。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)； 螺旋理論； 雅可比矩陣； 傳遞性能

引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣描述了機(jī)構(gòu)輸入輸出之間線性映射關(guān)系[1-2]，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的許多性能評(píng)價(jià)指標(biāo)都依賴其雅可比矩陣[2-3]。一般而言，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣會(huì)隨著機(jī)構(gòu)位姿變化而變化，其機(jī)構(gòu)的輸入輸出映射關(guān)系也會(huì)隨之變化，進(jìn)而機(jī)構(gòu)的各性能指標(biāo)也會(huì)在工作空間內(nèi)發(fā)生變化。若并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣在工作空間任意位姿下始終能保持恒定，則機(jī)構(gòu)的傳遞性能等各性能指標(biāo)在工作空間全域內(nèi)都將保持恒定，這將對(duì)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)分析與控制帶來(lái)諸多便利。

在三維移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究方面，文獻(xiàn)[4-8]從機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)、空間位置等方向?qū)θS移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了分析。在并聯(lián)機(jī)構(gòu)傳遞性能領(lǐng)域，文獻(xiàn)[9-12]為分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的傳遞性能提供了理論依據(jù)，并以機(jī)構(gòu)傳遞性能作為評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行尺度優(yōu)化[13-19]。本文在分析得到3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)雅可比矩陣始終保持恒定的基礎(chǔ)上，利用瞬時(shí)傳遞功率分析機(jī)構(gòu)的功率傳遞性能，通過(guò)速度/力雅可比矩陣，對(duì)機(jī)構(gòu)的速度/力傳遞性能進(jìn)行分析，并給出該機(jī)構(gòu)傳遞性能達(dá)到最佳時(shí)的條件。

1 3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

1.1 結(jié)構(gòu)與約束特征

3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模型及坐標(biāo)建立如圖1所示。

圖1 3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.1 3-PRRR parallel mechanism

3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線互相平行，且與移動(dòng)副軸線夾角為β。移動(dòng)副沿著定平臺(tái)上的導(dǎo)桿運(yùn)動(dòng)，3根導(dǎo)桿與水平面夾角為α，且導(dǎo)桿延長(zhǎng)線在水平面上投影組成等邊三角形，三角形外接圓半徑為R。Oi(i=1,2,3)為導(dǎo)桿端點(diǎn)，Di(i=1,2,3)為移動(dòng)副中心。3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副之間通過(guò)第1連桿li1(i=1,2,3)和第2連桿li2(i=1,2,3)相連，長(zhǎng)度均為l，Ai、Bi、Ci(i=1,2,3)為轉(zhuǎn)動(dòng)副中心，各分支第1轉(zhuǎn)動(dòng)副中心與移動(dòng)副中心的距離為m，第3轉(zhuǎn)動(dòng)副中心C1、C2、C33點(diǎn)組成等邊三角形，其外接圓半徑為r。

在定平臺(tái)上建立基坐標(biāo)系OXYZ，其中O點(diǎn)為定平臺(tái)中心點(diǎn)，Z軸為定平臺(tái)法線方向，Y軸垂直于第三導(dǎo)桿，X軸由右手定則確定。在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)坐標(biāo)系Pxyz，其中P為等邊三角形C1C2C3的中心，x軸、y軸、z軸方向均與定坐標(biāo)系X軸、Y軸、Z軸方向相同。在Ai(i=1,2,3)點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)ixiyizi，其中zi軸沿導(dǎo)桿向上，yi軸沿著轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線方向，xi軸由右手定則確定。

1.2 機(jī)構(gòu)自由度分析

通過(guò)建立的分支坐標(biāo)系可以寫(xiě)出分支中各運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)螺旋

(1)

式中i——機(jī)構(gòu)的第i(i=1,2,3)個(gè)分支Pi3、Ri3——第二轉(zhuǎn)動(dòng)副位置參數(shù)Pi4、Ri4——第三轉(zhuǎn)動(dòng)副位置參數(shù)

由式(1)中分支的運(yùn)動(dòng)螺旋可求出各分支的約束螺旋為

(2)

1.3 位置反解

(3)

由于該機(jī)構(gòu)是三維移動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)，所以動(dòng)坐標(biāo)系與基坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為單位陣。通過(guò)Ci點(diǎn)坐標(biāo)建立在不同坐標(biāo)系下的關(guān)系

OCi=PCi+lOP

(4)

OCi=RiAiCi+lOAi

(5)

聯(lián)立式(3)～(5)求得方程組，其中包含結(jié)構(gòu)變量

化簡(jiǎn)消去其中的結(jié)構(gòu)變量求得3-PRRR機(jī)構(gòu)的位置反解表達(dá)式

其中

A=cos(α-β)B=sin(α-β)
C=cosαD=sinα

1.4 位置正解

位置正解是已知并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)變量d1、d2、d3求解動(dòng)平臺(tái)的位置參數(shù)Px、Py、Pz，根據(jù)得到的位置反解表達(dá)式可知

1.5 工作空間

并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間是指動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)可達(dá)到的工作區(qū)域。假定該機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)為：R=300 mm、r=200 mm、m=90 mm、α=15°、β=30°。以動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)為參考點(diǎn)，根據(jù)位置正解表達(dá)式，應(yīng)用Matlab軟件編程，在0 mm≤d1≤600 mm，0 mm≤d2≤600 mm，0 mm≤d3≤600 mm范圍內(nèi)，基于蒙特卡洛法繪制出該機(jī)構(gòu)的工作空間，如圖2所示。

圖2 3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間Fig.2 Workspace of 3-PRRR parallel mechanism

2 雅可比矩陣

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣表示了操作空間與關(guān)節(jié)空間之間速度與力的傳遞關(guān)系，是并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能分析與評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)。基于螺旋理論，得到3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣求解公式[20]

(6)

其中

(7)

(8)

式中Lai、Mai、Nai——分支傳遞螺旋軸線的方向數(shù)

$bi——分支傳遞力螺旋

$ai——分支主動(dòng)螺旋

選取移動(dòng)副作為主動(dòng)副，將主動(dòng)副剛化，求出分支的傳遞力螺旋

將分支的傳遞力螺旋在基坐標(biāo)系中表示，可知傳遞力螺旋過(guò)Ai點(diǎn)沿yi軸正向，與主動(dòng)螺旋夾角為β，如圖3所示。根據(jù)式(7)、(8)可求出

根據(jù)式(6)求出3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，分析可知當(dāng)選取移動(dòng)副作為主動(dòng)輸入時(shí)，該機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣僅決定于結(jié)構(gòu)參數(shù)α和β，即3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)在任何位姿下，雅可比矩陣保持恒定。

圖3 分支傳遞力螺旋Fig.3 Limb transmission wrench screw

假定機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)α=15°、β=30°，在移動(dòng)副作為主動(dòng)輸入情況下，假定各分支驅(qū)動(dòng)速度方程為

(9)

(10)

機(jī)構(gòu)在不同位姿下，動(dòng)平臺(tái)輸出力變化曲線如圖5所示。其中，fij(i=1,2,3;j=X,Y,Z)表示動(dòng)平臺(tái)在第i種位姿下，沿j方向的輸出力。

圖4 動(dòng)平臺(tái)輸出速度曲線Fig.4 Output speed curves of moving platform

圖5 動(dòng)平臺(tái)輸出力曲線 Fig.5 Output force curves of moving platform

當(dāng)給定移動(dòng)副確定的輸入速度/力，該機(jī)構(gòu)在不同位姿下，動(dòng)平臺(tái)沿X、Y、Z3個(gè)方向的輸出速度/力曲線完全重合，從而驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)雅可比矩陣恒定，即機(jī)構(gòu)的輸入與輸出映射關(guān)系不因機(jī)構(gòu)位姿的變化而改變。

3 3-PRRR傳遞性能分析

3.1 功率傳遞性能分析

一般并聯(lián)機(jī)構(gòu)在不同位姿下，瞬時(shí)傳遞功率絕對(duì)值不同，并不能直接將瞬時(shí)功率作為評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)傳遞性能的指標(biāo)。因此在分析和評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的傳遞性能時(shí)，可采用能效系數(shù)進(jìn)行分析，即并聯(lián)機(jī)構(gòu)的瞬時(shí)傳遞功率和理論上可能的最大傳遞功率之比定義為能效系數(shù)。而本文所提3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有雅可比矩陣恒定的特性，在給定確定的輸入情況下，機(jī)構(gòu)具有恒定的傳遞功率，因此可用瞬時(shí)傳遞功率絕對(duì)值分析該機(jī)構(gòu)的傳遞性能。

(11)

式中 P——單位輸入下分支傳遞功率

$O1——?jiǎng)悠脚_(tái)運(yùn)動(dòng)螺旋

Sb1——傳遞力螺旋的方向矢量

由式(11)得到，3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的功率傳遞性能與α無(wú)關(guān)，僅決定于β。同樣假定機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)α=15°，分析傳遞功率隨β的變化關(guān)系，計(jì)算β為0°、15°、30°、45°、60°和90°時(shí)的分支傳遞功率，得到數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 單位輸入下分支傳遞功率與β對(duì)應(yīng)
Tab.1 Relationship between limb power andβunder unit input

β/(°)01530456090功率/(N·mm·s-1)1.0000.9560.8660.7070.5000

由表1分析可知，單位輸入功率下分支傳遞功率隨著β的增大而減小，當(dāng)β=0°時(shí)，即分支傳遞力螺旋與主動(dòng)螺旋軸線平行時(shí)，分支的輸入功率全部轉(zhuǎn)為動(dòng)平臺(tái)的輸出，此時(shí)該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的功率傳遞性能最佳，當(dāng)β=90°時(shí)，分支不具備傳遞性能。

以下，將對(duì)3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行整體功率傳遞性能分析。假定各分支驅(qū)動(dòng)速度方程為

(12)

在不同位姿下，分別得出β在0°、15°、30°和60°時(shí)的輸入/傳遞功率曲線，如圖6～9所示。計(jì)算β=0°和β=30°時(shí)的輸入/傳遞功率，得到的數(shù)據(jù)如表2、表3所示。

圖6 β=0°分支輸入功率與傳遞功率Fig.6 Limb input power and transfer power at β=0°

圖7 β=15°分支輸入功率與傳遞功率Fig.7 Limb input power and transfer power at β=15°

圖8 β=30°分支輸入功率與傳遞功率 Fig.8 Limb input power and transfer power at β=30°

由圖6～9分析可知，3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)α不變時(shí)，隨著β增加，各分支傳遞功率減小。比較表2和表3中數(shù)據(jù)，在相同總輸入功率下，β=0°時(shí)機(jī)構(gòu)傳遞性能優(yōu)于β=30°時(shí)的傳遞性能。同理，計(jì)算比較β為0°～90°內(nèi)其他值時(shí)的輸入/傳遞功率，得到β=0°時(shí)該機(jī)構(gòu)傳遞性能最佳。

圖9 β=60°分支輸入功率與傳遞功率 Fig.9 Limb input power and transfer power at β=60°

N·mm/s

表3 β=30°分支輸入功率與傳遞功率Tab.3 Limb input power and transfer power at β=30° N·mm/s

3.2 速度與力傳遞性能分析

假定機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α=π/6，假定各分支驅(qū)動(dòng)速度為

(13)

根據(jù)式(6)～(8)求出β=0°和β=30° 2種情況下的雅可比矩陣，在此基礎(chǔ)上，得到動(dòng)平臺(tái)的輸出速度隨時(shí)間的變化曲線，如圖10所示。

在同一情況下，假定各個(gè)分支驅(qū)動(dòng)力fi方程為

(14)

當(dāng)其在β=0°和β=30°時(shí)，動(dòng)平臺(tái)輸出力隨時(shí)間變化曲線如圖11所示。

圖10 動(dòng)平臺(tái)輸出速度曲線Fig.10 Output speed curves of moving platform

圖11 動(dòng)平臺(tái)輸出力曲線Fig.11 Output force curves of moving platform

由圖10和圖11分析可得：當(dāng)給定移動(dòng)副確定的輸入速度/力后，該機(jī)構(gòu)在不同β下，動(dòng)平臺(tái)X、Y、Z3個(gè)方向的輸出速度/力變化曲線并不相同。對(duì)于同樣的輸入速度/力，β=0°高于同一時(shí)刻下β=30°時(shí)的輸出速度/力絕對(duì)值。同理，取β為0°～90°內(nèi)其他值進(jìn)行計(jì)算比較，得到β=0°時(shí)的輸出速度/力絕對(duì)值最高，速度/力傳遞性能最佳。

4 結(jié)論

(1)提出了一種具有雅可比矩陣恒定特性的3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)，基于傳遞力螺旋和主運(yùn)動(dòng)螺旋求解出機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣，分析并驗(yàn)證了移動(dòng)副作為主動(dòng)輸入時(shí)，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有雅可比矩陣恒定的特性。

(2)利用瞬時(shí)傳遞功率絕對(duì)值分析了3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的功率傳遞性能，得到機(jī)構(gòu)功率傳遞性能最佳的條件。

(3)對(duì)3-PRRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)速度/力傳遞特性分析，根據(jù)性能動(dòng)平臺(tái)輸出速度/力曲線，得到該機(jī)構(gòu)速度/力傳遞性能最佳的條件。

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ZHAO Yanzhi1,2LIANG Bowen1,2CAO Yachao1,2ZHAO Tieshi1,2

(1.HebeiProvincialKeyLaboratoryofParallelRobotandMechatronicSystem,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China2.KeyLaboratoryofAdvancedForging&StampingTechnologyandScience,MinistryofEducation,YanshanUniversity,Qinhuangdao066004,China)

A novel 3-PRRR three-dimensional translational parallel mechanism was proposed. Its Jacobian matrix was constant, when its prismatic pairs were chosen as the actuators. The degrees of freedom of the parallel mechanism was analyzed based on screw theory. The forward/inverse kinematic solution models were established to obtain its workspace by the vector method. Jacobian matrix of the mechanism was solved by the main twist screw and transmission wrench screw. Then, the curves of the output speed and force were drawn. According to the figures, the curves were completely coincident in different poses when the input parameters were certain. Thus, the conclusion that the Jacobian matrix of the 3-PRRR parallel mechanism kept constant was verified. On this basis, the transmissibility performance of the mechanism was further analyzed in order to obtain relationship between transmission power and angleβ(the angle between axis of the prismatic pair and its nearest pair-the revolute pair ) of each limb. Finally, another important conclusion was got. It can be expressed as: when the input power was definite and invariant, the transmission power of the mechanism was decreased with the increase ofβ. Comparison was made between output speed and force curves in two cases thatβwere equal to 0° and 30°, the transmissibility performance of the mechanism varied withβand the former was better than the latter. Similarly, after the transmissibility performances with other values ofβwere analyzed, the performance was optimal whenβwas 0°.

parallel mechanism； screw theory； Jacobian matrix； transmissibility performance

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.01.044

2016-05-05

2016-06-13

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51105322)、河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(E2014203176)、河北省高等學(xué)校自然科學(xué)研究基金項(xiàng)目(QN2015040)、中國(guó)博士后科學(xué)基金項(xiàng)目(2016M590212)和燕山大學(xué)研究生創(chuàng)新項(xiàng)目(2017XJSS001)

趙延治(1981—)，男，副教授，主要從事并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論與應(yīng)用研究，E-mail： yzzhao@ysu.edu.cn

TH112

A

1000-1298(2017)01-0333-06