無耦合空間移動并聯機構型綜合

張彥斌 趙浥夫 李躍松 王增輝 丁 丁

(河南科技大學機電工程學院， 洛陽 471003)

無耦合空間移動并聯機構型綜合

張彥斌 趙浥夫 李躍松 王增輝 丁 丁

(河南科技大學機電工程學院， 洛陽 471003)

為解決利用一般型綜合方法得到的并聯機構具有強運動學耦合性的問題，基于驅動力螺旋理論提出了一種無耦合空間移動并聯機構型綜合的系統方法。首先建立了無耦合移動并聯機構運動輸入輸出關系的數學模型；然后根據機構速度雅可比矩陣為對角陣的條件推導出分支運動鏈驅動力螺旋和主動運動螺旋的形式；再根據互易積原理建立了分支運動鏈非主動運動螺旋的確定方法，給出了分支運動鏈型綜合準則和步驟；最后將所綜合的3條分支運動鏈按照指定的配置方式將動平臺和靜平臺連接起來即可得到具有預期運動特性的機構。本文共綜合出60種具有對稱結構的無耦合空間移動并聯機構，其中非過約束機構有47種，含有惰性副的有29種。所得到的部分機構的雅可比矩陣為單位陣，且其條件數恒等于1。這些機構具有較好的運動和力學傳遞性能，進一步豐富和完善了并聯機構的型綜合理論。

并聯機構； 型綜合； 驅動力螺旋理論； 無耦合； 雅可比矩陣

引言

并聯機構因其在運動學性能、剛度和精度性能方面的優點，已得到廣泛的應用[1-4]。型綜合是并聯機構研究領域的重點和難點，也是機構原始創新的理論基石。并聯機構的型綜合是通過對特定自由度機構可動性的研究，建立運動副配置的理論，從而得到一類新型機構。目前，國際上常用的并聯機構型綜合的方法有：基于自由度計算公式的列舉法[5]、基于位移子群理論的型綜合方法[6-7]、基于GF集理論的型綜合方法[8]、基于方位特征集的型綜合方法[9-11]、基于機構演化的型綜合方法[12]和基于螺旋理論的型綜合方法[13-14]等。每一種型綜合方法各有其自身的優勢和特點，但很難使用任何一種方法或理論體系綜合出所有結構形式的并聯機構。因此各種型綜合方法相互補充，共同構成了并聯機構的型綜合理論體系。

強運動耦合性是一般并聯機構的共同特性，即機構動平臺的一個輸出運動同時由若干個(甚至全部)主動輸入聯合控制。盡管運動耦合性有助于提高并聯機構的剛度和承載能力，但也造成機構運動學解復雜、控制設計困難和工作空間減小，影響并聯機構的實際應用。而在承載能力要求不高的應用場合，解耦并聯機構有效地解決了耦合性強的難題。目前，已有諸多國內外學者對于解耦并聯機構的設計做了大量工作與研究[15-20]。

本文基于驅動力螺旋理論提出無耦合空間移動并聯機構分支運動鏈的構型理論，從而建立無耦合空間移動并聯機構的型綜合方法。

1 理論基礎

1.1 螺旋

1.2 互易螺旋

若2個旋量$和$r(圖1)滿足以下條件，則可以稱他們為互易螺旋，或稱為反螺旋，即

$°$r=$(Π$r)T=SSr0+S0Sr=0

(1)

其中

式中O——3×3階0矩陣I3——3×3階單位陣 ° ——旋量互易積Π——對偶算子

圖1 互易螺旋Fig.1 Reciprocal screws

物理意義上講，當一個旋量表示剛體的運動螺旋，另一個表示剛體受到的力螺旋時，互易積表示力螺旋對運動螺旋所做的瞬時功。如果互易積等于零，則表示該剛體此時的運動狀態不受此力螺旋的影響，即力螺旋在該運動方向上不做功。

根據互易積原理可以推導得2個螺旋的互易條件，有

(2)

式中h、hr——螺旋$和$r的節距λ——兩旋量軸線的夾角，規定由$到$r為其正方向

r——兩旋量軸線間的垂直距離

對于線矢量和偶矢量，由式(2)可以得出互易的形式：①兩軸線相交或平行的線矢量互為反螺旋。②兩軸線相互垂直的線矢量和偶矢量互為反螺旋。③任意2個偶矢量互為反螺旋。

1.3 驅動力螺旋

物理意義上看，驅動力螺旋是由分支運動鏈中的主動副施加到動平臺上的一個力螺旋，即主動副向動平臺提供的一個驅動力。故驅動力螺旋與同一分支運動鏈中除主動運動螺旋外的其他所有運動螺旋都互為反螺旋，其中主動運動螺旋為分支主動副所對應的運動螺旋。

(3)

2 無耦合并聯機構輸入-輸出關系的數學模型

并聯機構動平臺的瞬時輸出運動可用機構分支運動鏈的運動螺旋系表示，即

(4)

式中v——機構動平臺輸出的廣義速度矢量 $ji——第i條分支中的第j個單自由度關節的運動螺旋

Fi——第i條分支的連接度

如果用第i條分支的驅動力螺旋$ai與式(4)左右兩邊同時作互易積，得

(5)

式中 $1i——第i條分支中主動副的運動螺旋(假定每條分支的主動副直接安裝在靜平臺上，即為分支的第一個運動副)

將式(5)改寫成矩陣形式，有

(6)

其中

由式(6)可知正雅可比矩陣Jdir為對角陣，若其可逆，則式(6)可改寫為

(7)

其中

gi=$ai(Π$1i)T

對于n自由度并聯機構，其動平臺上不存在寄生運動特定點的獨立輸出速度數目亦為n，那么輸出速度矢量v中存在6-n個零元素。若去除v中的零元素，同時去除正雅可比矩陣Jdir中對應的列元素，那么式(7)將變形為

(8)

(9)

根據驅動力螺旋的定義可知，它是由分支運動鏈中的主動副施加到動平臺上的一個力螺旋，當其為零節距螺旋時(即為線力)，將驅使機構動平臺沿線力矢方向產生移動趨勢(即產生線位移)；而當其為無窮大節距螺旋時(即為偶力)，將驅使動平臺繞偶力矢方向產生轉動趨勢(即產生角位移)。對于空間移動并聯機構，由于其動平臺上任一點在運動過程中僅沿標定方向移動，而不會產生角位移(或角速度)，因此機構分支施加到動平臺的驅動力螺旋必為零節距螺旋。根據式(9)可進一步寫出無耦合空間移動并聯機構的運動學方程，為

(10)

式中v1、v2和v3為動平臺上一點沿笛卡爾坐標軸線方向的線速度，即這3個速度方向呈正交分布。

3 無耦合空間移動并聯機構的分支運動鏈型綜合

3.1 分支運動鏈型綜合準則

并聯機構型綜合的關鍵和前提就是其分支運動鏈的型綜合。根據機構的輸出運動特性確定分支運動鏈中運動副的類型、數目和排列次序，以及運動副軸線的配置方位等。尤其是對無耦合空間移動并聯機器人機構，要求其一條分支運動鏈僅為動平臺沿某一個特定方向的運動提供驅動力，而對其他方向的運動不提供任何驅動力。因此，建立分支運動鏈構造的型綜合準則成為機構型綜合的重要理論基礎。本文根據推導的方程(10)建立了無耦合移動并聯機構分支運動鏈的型綜合準則和步驟，具體如下：

(1)按照并聯機構動平臺的運動輸出特性，分配各運動分支的控制目標，根據式(10)確定各分支運動鏈的驅動力螺旋。

(2)根據同一運動分支中的驅動力螺旋與該分支中主動運動螺旋互易積不為零的準則，即gi≠0的條件，確定出各運動分支的主動運動螺旋。

(3)根據驅動力螺旋與同一運動分支中除主動運動螺旋外其他所有運動螺旋都互為反螺旋的特性，列舉出分支中所有可能的從動運動螺旋，并基于運動螺旋系最大線性無關組條件，確定運動分支中可能存在的各類運動螺旋的數目。

(4)根據所求出的主動運動螺旋和從動運動螺旋的形式，確定分支運動鏈中主動副和從動副的類型、數目和配置方位，同時考慮惰性副的存在情況。

(5)按照各運動分支中連接度的不同進行分支運動鏈的型綜合，列舉所有可行的分支運動鏈結構。

3.2 第1條分支運動鏈的型綜合

不失一般性，設第1條分支運動鏈僅控制機構動平臺沿X軸方向的線性移動，即vx=v1。為簡化問題的分析，假定運動鏈中僅含有移動副和轉動副2種基本類型，其他多自由度運動副可由相鄰基本運動副組合而成。

如圖2所示，靜坐標系OXYZ的坐標原點O固結于靜平臺，動坐標系oxyz的坐標原點o固結于動平臺，而動坐標系的3個坐標軸與靜坐標系的3個坐標軸對應平行。

圖2 分支驅動力螺旋與主動運動螺旋Fig.2 Actuation wrench screws and actuation twist screws of mechanism limbs

根據式(10)可知，由于機構雅可比矩陣對角線上的第1個元素為非零數值，可確定出第1條分支運動鏈施加在動平臺上的驅動螺旋形式，即

(11)

故該驅動力螺旋為平行于X軸的純力螺旋，將驅動機構動平臺沿X軸方向產生移動趨勢。同時，該力螺旋必過坐標點(0,ya1,za1)，于是可計算出Qa1=za1，Ra1=-ya1。

若式(10)矩陣中第1個對角線元素有意義，那么該元素的分母部分必不為零，即

g1=$a1(Π$11)T≠0

(12)

式中$11為第1條分支的主動運動螺旋，即主動副所對應的運動螺旋。$11可能的形式有2種：無窮大節距螺旋或零節距螺旋。

g1=$a1(Π$11)T=L11

(13)

(14)

將式(14)代入式(13)得g1=1，滿足上述分母非零的條件，所以第1條分支的主動運動螺旋可為平行于X軸的無窮大節距螺旋，如圖2所示，即該分支的主動副可選為軸線平行于X軸的移動副。

g1=$a1(Π$11)T=P11+za1M11-ya1N11

(15)

根據式(15)可知，g1的值與$11的方向矢量在Y軸和Z軸方向的分量(M11和N11)有關，而與其在X軸方向的分量L11無關，因此可取L11=0。由于主動螺旋$11固定于靜平臺上，故可將靜坐標系原點O落在該螺旋軸線上，即$11通過該坐標原點，那么有P11=Q11=R11=0。因而式(15)可化簡為

g1=za1M11-ya1N11

(16)

(17)

將式(17)代入式(16)得，g1=za1。因此，只要za1不等于零，g1值就不為零，也就滿足上述分母不為零的條件。所以第1條分支的主動運動螺旋也可為平行于Y軸的零節距螺旋(圖2)，即該分支的主動副也可選為軸線平行于Y軸的轉動副。

至此，確定了第1條分支運動鏈的所有可行的主動運動螺旋形式，從而也確定了該分支主動副的類型及其裝配方位。

根據驅動力螺旋與同一條分支運動鏈中所有非主動運動螺旋互為反螺旋的特點，以及所選取的主動運動螺旋的形式，那么可確定分支中非主動螺旋的類型。

(Ⅰ-1) 平行于X軸的零節距螺旋，其數量至少為2，最多為3，此類螺旋所組成的螺旋系可直接或通過無窮大節距螺旋與動平臺相連。

(Ⅰ-2) 垂直于X軸的無窮大節距螺旋，其數量最多為2，此類螺旋可布置在分支螺旋系中的任何位置。

(Ⅰ-3) 與驅動力螺旋$a1軸線相交的零節距螺旋，其數量最多為2，這種運動螺旋對機構的運動性能不起任何作用，因此稱為惰性運動螺旋。

(Ⅱ-1) 平行于X軸的零節距螺旋，其數量至少為2，最多為3，此類螺旋所組成的螺旋系可直接或通過無窮大節距螺旋與動平臺相連，但該螺旋系中不能插入任何可動零節距螺旋系。

(Ⅱ-2) 垂直于X軸的無窮大節距螺旋，其數量最多為2，但若其數量為2時所組成的螺旋系不能放在2個非惰性零節距螺旋中間。

(Ⅱ-3) 與驅動力螺旋$a1軸線相交且平行于主動螺旋$11軸線的零節距螺旋，其數量有且僅有一個。

(Ⅱ-4) 與驅動力螺旋$a1軸線相交且垂直于主動螺旋$11軸線的零節距螺旋，該螺旋為惰性運動螺旋。

當運動分支運動鏈中的主動運動螺旋和可能的非主動運動螺旋確定后，便可確定出分支的主動副和可能的非主動副的類型、數目，以及這些運動副的配置方位。然后按照運動分支連接度Fc的不同，列舉了不含有惰性副的基本分支運動鏈結構，共有3P、2P2R、1P3R、1P4R和5R 5種。在不含有惰性副的分支中可插入一個與分支驅動力螺旋$ai軸線相交的轉動副R即可得到含有惰性副的運動鏈，基本類型有2P3R、1P4R、1P5R和6R 4種。雖然惰性副的存在并不能改變機構的運動學性能，但能增加運動分支的連接度以降低機構的過約束數和裝配要求。

3.3 第2條分支運動鏈的型綜合

設第2條分支運動鏈僅控制機構動平臺沿Y軸方向的線性移動，即vy=v2。根據機構雅可比矩陣對角線上第2元素為非零的條件，可確定出該分支施加到動平臺的驅動力螺旋$a2，且有

(18)

該驅動力螺旋為平行于Y軸的純力螺旋，驅動動平臺沿Y軸方向產生移動趨勢。同時，該力螺旋必經過靜坐標系中的點(xa2,o,za2),于是可計算出Pa2=-za2,Ra2=xa2，若式(10)矩陣中第2個對角線

表1 無耦合移動并聯機構的分支運動鏈類型及結構
Tab.1 Types and structures of limb for uncoupled spatial translational parallel mechanism

連接度數Fc類型序號基本分支結構含有多自由度運動副的分支結構主動副為Pa分支結構33P1PuPvPw42P2R211PuPvRwRwPuRuPnRuCtuPnRuPuRuRuPvCtuRuPvRvRvPvPwRvCvPwPaPvPwRvPvRvPwCrvRvPw1P3R1213PuRuRuRuCtuRuRu51P4R1432PuRuRuRuRvPuRuRuUuv;CtuRuRuRv;CtuRuUuv;CtuUuvRu;PuUuvRuRu;PuUuvRuRuRvRvRuRuPwRvUvuRuPwPaRuRuPwRvRvRuPnRuRvUvuPnRuPaRuPnRuRvRvPvRuRuRvCvRuRuPaPvRuRuRvPvRvRuRuCrvRvRuRu;CrvUvuRu2P3R3357PuPvRuRuRvPuPvRuUuv;PuPvUvuRu;PuCvRuRuPuRuPnRuRvPuRuPnUuv;PuRuCvRu;CuPnUuv;CuRvPnRu;CtuCnRu;CtuPnRuRv;PuUuvPnRuPuRuRuPvRvPuRuRuCv;CtuRuPvRv;CtuRuCv;CtuUuvPv;PuRuUuvPu;PuUuvRuPv;RvRvPwPvRuRvUvuPwPvPaPwPvRuRvPvRvPwRuCrvRvPwRu;CrvUvuPw5R5760RvRvRuRuRuRvUvuRuRuPaRuRuRu61P5R6181RvRvRwPwRuRuRvUvwPwRuRu;RvRvCwRuRuPaRwPwRuRu;PaCwRuRuRvRvRwRuRuPwRvRvUwuRuPw;RvUvwRuRuPw;RvSRuPwPaRwRuRuPw;PaUwxRuPwRvRvRwRuPnRuRvUvwRuPnRu;RvSPnRu;RvRvUwuPnRuPaRwRuPnRu;PaUwuPnRuRvPvRyRwRuRuCrvRvRwRuRu;CrvUvwRuRu;CrvSRu6R8287RvRvRwRuRuRuRvUvwRuRuRu;RvRvUuwRuRu;RvSRuRuPaRwRuRuRu;PaUuwRuRu

元素有意義，該元素的分母部分也不能為零，即

g2=$a2(Π$12)T≠0

(19)

式中$12為第2條分支的主動運動螺旋，其可能的形式也是2種：無窮大節距螺旋或零節距螺旋。采用與求解第1條分支主動運動螺旋類似的方法便可確定第2條分支的主動運動螺旋形式，有

(20)

或

(21)

式(20)表明第2條分支的主動運動螺旋為平行于Y軸的無窮大節距螺旋(圖2)，即該分支主動副可為沿Y軸配置的轉動副。式(21)則表明該分支的主動螺旋也可為平行于Z軸的零節距螺旋，即分支主動副為軸線平行于Z軸轉動副。

當第2條分支的驅動力螺旋$a2、主動運動螺旋$12的形式確定后，根據螺旋互易積原理便可確定出所有可行的非主動運動螺旋的類型。具體如下：

(Ⅰ-1) 平行于Y軸的零節距螺旋，其數量至少為2，最多為3，此類螺旋所組成的螺旋系可直接或通過無窮大節距螺旋與動平臺相連。

(Ⅰ-2) 垂直于Y軸的無窮大節距螺旋，其數量最多為2，此類螺旋可布置在分支螺旋系中的任何位置。

(Ⅰ-3) 與驅動力螺旋$a2軸線相交的零節距螺旋，其數量最多為2，這種運動螺旋對機構的運動性能不起任何作用，因此稱為惰性螺旋。

(Ⅱ-1) 平行于Y軸的零節距螺旋，其數量至少為2，最多為3，此類螺旋所組成的螺旋系可直接或通過無窮大節距螺旋與動平臺相連，但該螺旋系中不能插入任何可動零節距螺旋系。

(Ⅱ-2) 垂直于Y軸的無窮大節距螺旋，其數量最多為2，但若其數量為2時所組成的螺旋系不能放在2個非惰性零節距螺旋中間。

(Ⅱ-3) 與驅動力螺旋$a2軸線相交且平行于主動運動螺旋$12軸線的零節距螺旋，其數量有且僅有一個。

(Ⅱ-4) 與驅動力螺旋$a2軸線相交且垂直于主動運動螺旋$12軸線的零節距螺旋，該螺旋為惰性螺旋。

當分支主動運動螺旋、非主動運動螺旋的形式確定后，便可按照分支連接度的不同綜合出所有可行的分支運動鏈結構。因與第1條分支具有相同的拓撲結構，令表1中的u=y，v=z，w=x，便可得到第2條支鏈。

3.4 第3條分支運動鏈的型綜合

設第3條分支運動鏈僅控制機構動平臺沿z軸方向的線性移動，即vz=v3。利用與前2條分支運動鏈型綜合相同的方法列舉出第2條分支的運動鏈結構，令表1中的u=z，v=x，w=y，便可得到第3條支鏈，這里不再詳述綜合過程。

4 無耦合空間移動并聯機構型綜合

分支運動鏈型綜合完成后，從3條分支中各取一條按照分支運動鏈的配置要求將動平臺和靜平臺連接起來就可以得到預期的無耦合空間移動并聯機器人機構，但在選取運動鏈時必須考慮構成機構的3條分支的連接度總數。非過約束并聯機構的分支連接度應滿足

(22)

式中F——機構連接度總數Fci——第i條分支連接度數m——機構分支數M——機構自由度數d——機構階數l——機構獨立回路數

對于非過約束空間移動并聯機構，m=3，M=3，λ=6，l=2，將這些數據代入式(22)可計算得F=15。因此，在分支運動鏈的選擇時，3條分支運動鏈的連接度之和必須小于或等于15。當3條分支運動鏈的連接度之和小于15時，該機構為過約束并聯機構；而當3條分支運動鏈的連接度之和等于15時，該機構為非過約束并聯機構。同時需要注意的是，如果分支中含有惰性副，相鄰分支中的惰性副軸線應相互垂直。

根據表1得到的分支運動鏈結構，本文共可綜合出60種具有對稱結構的無耦合空間移動并聯機構，其中非過約束機構有47種，含有惰性副的有29種。而只要滿足連接度約束條件，便可得到更多的非對稱機構。圖3為綜合出的一種非過約束3-RRRPR機構，該機構的運動學表達式為

(23)

圖3 無耦合3-RRRPR移動并聯機構Fig.3 Uncoupled 3-RRRPR translational parallel mechanism

由式(23)可知，機構的雅可比矩陣為對角陣，機構動平臺的一個線性輸出運動僅由一個關節的轉動輸入運動控制，故該機構為無耦合移動并聯機構。

(24)

圖4 無耦合移動并聯機構Fig.

根據式(24)可知，該機構的運動雅可比矩陣不僅為對角陣，而且還是單位陣，因此該機構在整個工作空間內表現為完全各向同性，即機構在工作空間內沿任何方向的運動學和力學性能皆相同。此類機構在運動和力傳遞過程中不會失真，是最為理想的運動結構形式。

5 結束語

基于驅動力螺旋理論建立無耦合移動并聯機構的型綜合系統方法，從理論上給出了一條分支運動鏈控制機構動平臺沿某一方向移動時主動副的選取依據，建立了分支運動鏈中可動非主動副的選取原則和配置方法。利用所提出的方法綜合出多種無耦合移動并聯機構，其雅可比矩陣為對角陣，即動平臺的一個輸出運動僅由一個主動副的輸入運動控制，解決了一般并聯機構運動學和動力學耦合性強的弱點。特別是當采用線性移動作為主動輸入時，機構的雅可比矩陣為單位陣，因此在整個工作空間內機構表現為完全各向同性。本文所做的研究不僅可以應用于無耦合空間移動并聯機構的構型設計，而且還可以應用于動平臺含有轉動輸出元素的無耦合并聯機構的型綜合。

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20 秦友蕾, 曹毅, 陳海, 等. 完全解耦3T2R并聯機器人構型綜合方法[J]. 航空學報, 2016, 37(6): 1983-1991. QIN Youlei, CAO Yi, CHEN Hai, et al. Structural synthesis method of fully decoupled 3T2R parallel robotic manipulators[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2016, 37(6): 1983-1991.(in Chinese)

Structural Synthesis of Uncoupled Spatial Translational Parallel Mechanisms

ZHANG Yanbin ZHAO Yifu LI Yuesong WANG Zenghui DING Ding

(SchoolofMechatronicsEngineering,HenanUniversityofScienceandTechnology,Luoyang471003,China)

In order to solve the strong kinematics coupling problem of parallel mechanisms obtained by the normal type synthesis approach, a systematic method for structural synthesis of the uncoupled spatial translational parallel mechanisms (USTPM) was presented based on the actuation wrench screw theory. Firstly, mathematic model mapping the relationship between the inputs and the outputs of USTPM was set up. Secondly, both the actuation wrench screw and actuated twist screw’s forms of the kinematical chains were obtained according to the condition that the velocity Jacobian matrix was a diagonal one. Then the rules to determine the non-actuated screws of the limbs were established in terms of the reciprocal product principle. Both criterion and steps of the limb’s type synthesis were proposed as well. Finally, the mechanisms with the expected motion characteristics were designed by selection three limbs synthesized above to connect the platform and the base. Totally 60 symmetrical USTPMs were designed. Among them, 47 mechanisms were non-overconstrained and 29 mechanisms were composed of the open single kinematic chains with idle joints. The Jacobian was a diagonal matrix of the synthesized parallel mechanisms. It was more interesting that some mechanisms’ Jacobian was the identical matrix, in which there existed one-to-one linear mapping relationship between the input velocities of the actuated joints and the output velocities of the moving platform for these mechanisms, and condition number of their Jacobians was equal to 1. So these mechanisms showed fully-isotropic throughout their whole workspace. Meanwhile, they performed very well with regard to motion and force transmission. This work contributed to enriching and improving the structural synthesis theory of the parallel mechanisms.

parallel mechanism; structural synthesis; actuation wrench screw theory; uncoupled; Jacobian matrix

10.6041/j.issn.1000-1298.2017.01.043

2016-09-17

2016-10-10

國家自然科學基金項目(50905055)、河南省高?？萍紕撔聢F隊支持計劃項目(15IRTSTHN008)、河南科技大學重大科技項目培育基金項目(2015XTD012)和河南科技大學研究生創新基金項目(CXJJ-2016-ZR03)

張彥斌(1974—)，男，教授，博士，主要從事機構學與并聯機器人理論研究，E-mail: yanbin_zh@163.com

TH112； TP242

A

1000-1298(2017)01-0325-08