辨析幾何概型中基本事件的選取角度

黃光鑫

(四川師大附中 610066)

學(xué)生在解答某些幾何概型問題時，有時會因為思考的角度不對導(dǎo)致解題出錯.請看下面兩個問題.

例1 如圖1所示，在等腰直角△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)任作一條射線CM，與直線AB交于點M， 求AM小于AC的概率.

例2 如圖2所示，在等腰直角△ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率.

辨析從第(1)小題的敘述可知，射線CM是在直角∠ACB的內(nèi)部區(qū)域等可能的出現(xiàn).

從第(2)小題的敘述可知，點M是在線段AB上等可能的出現(xiàn).對于第(2)問學(xué)生沒有疑問.對于第(1)問，不少學(xué)生都搞不清楚為什么不是長度之比？關(guān)于這個問題我們從數(shù)學(xué)和物理兩個方面進行分析.

從數(shù)學(xué)的角度看，當(dāng)CM轉(zhuǎn)動相同的角度如圖3，∠ACM=∠MCM1時，在AB上產(chǎn)生的線段AM與MM1是否相等.連接MD，易知△ACM≌△DCM，顯然∠CM1B>∠CAB，∠CM1B=∠MM1D,∠CAB=∠M1DM,∴∠MM1D>∠M1DM，從而MD>MM1.

綜上所述，第(1)小題的概率應(yīng)該是角度之比而不是長度之比.所以對于背景相似的問題，當(dāng)?shù)瓤赡艿慕嵌炔煌瑫r，其概率是不一樣的.這就要求我們求解幾何概型問題時，一定要準(zhǔn)確理解題意，弄清實驗的基本事件是什么，且保證基本事件是等可能發(fā)生的，正確選取思考問題的角度.

[1]杜志建.中學(xué)教材學(xué)習(xí)講義高中數(shù)學(xué)必修3[Z]. 烏魯木齊：新疆青少年出版社 ，2012第1版.