Nekrasov矩陣的逆矩陣無窮范數的估計式

李艷艷

（文山學院 數學學院，云南 文山 663009）

Nekrasov矩陣是H矩陣的新子類，1998年黎穩在文獻[1]中給出了Nekrasov矩陣的定義，隨后關于該矩陣的判定方法，行列式的估計問題在文獻[2-4]中得到了廣泛的研究，2013年，L.Cvetkovic,P.F.Dai等在文獻[5]中研究了該矩陣的逆矩陣無窮范數的界的估計。本文繼續研究該問題，通過構造參數可調節的新估計式，提高了上界估計的靈活性和精確度。

1 預備知識

令Cn×n（Rn×n）表示復（實）矩陣的集合，N表示自然數的集合。

設A=(aij)∈Rn×n，若A的比較矩陣可逆，且＜A＞-1≥0，則稱＜A＞是M矩陣，同時稱A是H矩陣。

設A=(aij)∈Rn×n，若，則稱A是嚴格對角占優矩陣；若|aij|＞hi(A)（h1(A)=r1(A)=則稱A是Nekrasov矩陣。

將矩陣A分裂為A=D-L-U，其中D=diag(a11,a22, …ann)，

引理 1(Varah 界 )[6]設矩陣A=(aij)∈Rn×n是嚴格對角占優矩陣，則

引 理 2[7]矩 陣A=(aij)∈Rn×n，n≥ 2 是 Nekrasov矩陣的充要條件是

(|D|-|L|)-1|U|e＜e，

同時，該條件還隱含了E-(|D|-|L|)-1|U|是嚴格對角占優矩陣，其中E是單位矩陣。

引理 3[8]設A=(aij)∈Rn×n，是非奇異H矩陣，則

|A-1|≤ ＜A＞-1。

引 理 4[5]設 矩 陣A=(aij)∈Rn×n是 Nekrasov矩 陣，則有

2 Nekrasov矩陣無窮范數的上界

本部分，通過構造參數可調節的新估計式，提高了上界估計的靈活性和精確度。

設A為Nekrasov矩陣，令C=E-(|D|-|L|)-1|U|，B=|D|C，則

定 理 1 設 矩 陣A=(aij)∈Rn×n是 Nekrasov矩 陣，B=E-(|D|-|L|)-1|U|,B(μ)=BD(μ),

則B(μ)是嚴格對角占優矩陣且

證明：由B(μ)的定義知，B(μ)改變矩陣B的第三列，對其他列沒有改變，又由μ的定義知，因為, 則|b33| μ＞r3(B)（第 3 行）

則B(μ)是嚴格對角占優矩陣。

由引理1的Varah界得

由B(μ)的定義知，[B(μ)]i3=bi3μ，i∈N，[B(μ)]ij=bij，j ≠3，i∈N，

所以 [B(μ)]33=b33μ，r3(B(μ)) =r3(B),

即|[B(μ)]33|-r3(B(μ))=|b33| μ-r3(B)，

對于i∈N，i ≠3 有

結合以上分析得

定理 2 設矩陣A=(aij)∈Rn×n是 Nekrasov矩陣，則

證明：由于矩陣A是Nekrasov矩陣，則由引理2知E-(|D|-|L|)-1|U|，B是嚴格對角占優矩陣。

由定理1的證明知，B(μ)是嚴格對角占優矩陣。

因為 ＜A＞=(|D|(|D|-|L|)-1)-1B(μ)D(μ)-1=(E-|L||D|)-1)-1B(μ)D(μ)-1。

所以由引理3知

||A-1||∞≤||＜A＞-1||∞≤||D(μ)||∞||B(μ)-1||∞||(E-|L||D|-1||∞。

由E-|L||D|-1是M矩 陣， 則||(E-|L||D|-1)-1||∞=||(E-|L||D|-1)-1e||∞，

定義z(A)=(E-|L||D|-1)-1e，那么e=(E-|L||D|-1)z(A)，

則z1(A)=1，

即||(E-|L||D|-1)-1||∞=||z(A)||∞=maxi∈N zi(A)。

結合以上分析得

3 數值算例

計算得z1(A)=1,z2(A)=2,z3(A)=1.2971,z4(A)=1.2394;

h1(A)=3.2000，h2(A)=8.2000，h3(A)=2.9609，h4(A)=0.7359;

||A-1||∞=0.1921，由引理 4 知||A-1||∞≤0.5263，應用本文定理 2 當μ=1.2092 時，||A-1||∞=0.1985。

該例說明本文所得估計式的有效性，且一定情況下，優于文獻[5]中的估計式。

[1] Li W.On Nekrasov matrices[J].Linear Algebra and Its Applica tion,1998,281:87-96.

[2] 郭愛麗,鄧慧琳.廣義Nekrasov矩陣的一組充分條件[J].貴州工程應用技術學院學報，2016（2）：139-143.

[3] 蘇安兵.Nekrasov矩陣的性質及其判定研究[D].湘潭:湘潭大學，2016.

[4] 郭愛麗,聶祥榮,武玲玲.Nekrasov矩陣行列式界的估計[J].安徽大學學報（自然科學版），2015（6）：15-18.

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[7] SZULC T. Some remarks on a theorem of Gudkov [J]. Linear Algebra and Its Application, 1995, 225:221-235.

[8] BERMAN A, PLEMMONS R J. Nonnegative matrices in the mathematical sciences[J]. Classics in Applied Mathematics,1994, 9:32-40.