定積分和二重積分概念的MATLAB實驗教學

鄭玉軍　華玉春湯　瓊

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定積分和二重積分概念的MATLAB實驗教學

鄭玉軍1華玉春1湯瓊2

（1.湖南科技學院 理學院，湖南 永州 425199；2.湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412008）

在傳統的定積分和二重積分概念教學方式的基礎上，進一步運用MATLAB進行輔助實驗教學，通過描繪出圖形以直觀形象的方式解釋概念，有助于學生更深入地理解定積分和二重積分的概念，以達到輔助教學的目的。

定積分；二重積分；概念；MATLAB；實驗教學

1 引　言

定積分是數學發展中的重要一環，沒有定積分的數學可以說是不完整的數學。定積分的作用不僅體現在數學教學和數學研究上，它在許多領域如物理、軍事、機械等方面都有著很好的應用。而二重積分的概念又是定積分概念的推廣，但對于學生來說，定積分和二重積分的概念卻是難于理解的。在此，我們利用MATLAB[1,2]軟件做數值實驗的方法以直觀形象的方式研究定積分和二重積分的概念，有助于學生深入理解定積分和二重積分的概念，從而達到輔助教學的目的。

2　定積分和二重積分概念的MATLAB實驗教學

2.1定積分概念的MATLAB實驗教學

定積分是數學分析、高等數學、微積分中的重要內容，而教材[3,5-7]幾乎都是以求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程作為引例，然后抽象出定積分的定義的。在教學中，對定積分概念的介紹，一般也是通過“作分割、近似代替、求和、取極限”四個步驟求曲邊梯形的面積(定積分的幾何意義就是求曲邊梯形的面積)引入的：

（1）作分割：把[]分成個小區間[i-1,x](12)，小區間長度記作△x=x-x1(12)，曲邊梯形就分成了個小曲邊梯形；

（3）求和：曲邊梯形的面積等于個小曲邊梯形的面積的和，也近似等于個小矩形的面積的和；

還有一個例子就是求變速直線運動的路程，做法相似，然后可緊接著介紹定積分的定義。

定積分的定義[3,5-6]設函數()在[]上有界，在[]中任意插入若干個分點

012<…<x<x=b,

把區間[]分成個小區間

[0,1],[1,2],…,[n-1,n],

各個小區間的長度依次為

△110△221△x=x-x1,

其中()叫做被積函數，()叫做被積表達式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，[]叫做積分區間。

圖1.求曲邊梯形面積時的圖形

盡管如此，學生對定積分的概念仍然模糊不清，存在很多疑問，比如為什么先對區間有限分割后來又要分割得越來越細，為什么是區間的最大長度?0而不是，為什么定積分與區間[]的分法以及的取法無關，等等。即便老師講解多次，學生仍然疑惑叢生。在教學中，不妨再借助MATLAB數學軟件作出具體例子的圖形加以解釋。如求定積分，即求由曲線和直線11及軸所圍成的平面圖形的面積。我們將區間[-1,1]均勻分割（實際上可任意分割）成5,10,15,20個小閉區間，在每個小閉區間上都取區間中點（實際上也可取小閉區間上的其它點）的函數值作為小矩形的高，如圖1所示。從圖1可觀察到，當逐漸增大時各個小矩形面積的和與由曲線和直線11及軸所圍成的曲邊梯形的面積之間的誤差越來越小，當無限增大時，各個小矩形面積的和（也即面積和的極限）就是所求曲邊梯形的面積（即定積分）。把在每個小閉區間上都取區間中點的函數值換成取區間上其它點的函數值作為小矩形的高，結論相同，說明定積分與的取法無關。這樣，以圖形直觀的方式呈現勝于老師多次費力的講解，并且有助于學生加深求曲邊梯形面積過程的印象和理解定積分的概念。

2.2二重積分概念的MATLAB實驗教學

二重積分也是數學分析、高等數學、微積分中的重要內容，教材[4-6,8]幾乎都是以求曲頂柱體的體積和平面薄片的質量作為引例，然后抽象出二重積分的定義的。鑒于二重積分的概念是定積分概念的推廣，在教學中可用類比法，對定積分和二重積分概念的引入、介紹及幾何意義作對比，循序漸進的介紹二重積分的定義。

二重積分的定義[4-6]設()是有界閉區域上的有界函數。將閉區域任意分成個小閉區域△1△2△,

圖2.求曲頂柱體體積時的圖形

定積分和二重積分概念的定義都是基于微元法的思想，而二重積分的定義是由定積分的定義推廣得到的，在計算二重積分的時候又要把二重積分化為定積分來計算。

3　結束語

在傳統的定積分和二重積分概念教學方式的基礎上，進一步利用MATLAB軟件進行輔助實驗教學，以圖形直觀的方式解釋概念，有助于學生更深入地理解定積分和二重積分的概念，激發學生學習數學的興趣，提高學生學習數學的積極性和學習效率，培養學生應用數學知識和數學軟件解決實際問題的意識和能力，從而起到輔助教學的作用。

[1]張智星.MATLAB程序設計與應用[M].北京:清華大學出版社,2002.

[2]重慶大學數學系.數學實驗[M].北京:科學出版社,2000:1- 25.

[3]同濟大學數學系.高等數學(第七版上冊)[M].北京:高等教育出版社,2014:224-293.

[4]同濟大學數學系.高等數學(第七版下冊)[M].北京:高等教育出版社,2014:135-139.

[5]黃浩.高等數學[M].上海:同濟大學出版社,2014:107-222.

[6]曹定華,李建平.微積分(第四版)[M].上海:復旦大學出版社, 2011:164-258.

[7]復旦大學數學系.數學分析(第二版上冊)[M].北京:高等教育出版社,1983:266-307.

[8]復旦大學數學系.數學分析 (第二版下冊)[M].北京:高等教育出版社,1983:246-275.

（責任編校：宮彥軍）

2017－02－08

湖南科技學院2016年教學改革研究項目（項目編號XKYJ2016027）。

鄭玉軍（1982－），男，湖南永州人，講師，碩士，研究方向為計算數學。

O241.8

A

1673-2219（2017）10-0016-02