巧用單位圓解決三角函數(shù)問題的思考

王宏偉

（甘肅省慶陽市第二中學(xué)）

巧用單位圓解決三角函數(shù)問題的思考

王宏偉

（甘肅省慶陽市第二中學(xué)）

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)階段，單位圓是應(yīng)用較為廣泛的一種解題策略，尤其是在與三角函數(shù)相關(guān)的題目類型當(dāng)中，其所能發(fā)揮的解題作用尤為明顯，將就“利用單位圓解決三角函數(shù)問題”展開討論。

三角函數(shù)問題;單位圓;解題技巧

單位圓上的三角函數(shù)線是實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的一種有效方式，是能夠?qū)θ呛瘮?shù)進(jìn)行幾何表示的一種方法。很多學(xué)生在進(jìn)行三角函數(shù)這一章節(jié)的學(xué)習(xí)時(shí)，會(huì)將學(xué)習(xí)的重點(diǎn)置于公式記憶、函數(shù)性質(zhì)的掌握以及圖像性質(zhì)的理解，對于單位圓三角函數(shù)線的部分卻掌握的不夠牢固。本文中筆者就將從以下幾個(gè)角度來著手探討這一類型問題的具體解題思路。

一、利用單位圓的三角函數(shù)線比較函數(shù)值大小

利用單位圓的三角函數(shù)線來比較函數(shù)值的大小，其解題關(guān)鍵就在于對三角函數(shù)、角等相關(guān)數(shù)學(xué)量的轉(zhuǎn)化過程，以這樣一道題目為例：

本題解題的難點(diǎn)在于sinα屬于三角函數(shù)值，但是α本身屬于角，二者之間屬于不同的領(lǐng)域，看似無法做尋常的加減運(yùn)算，所以如果單純地想依靠計(jì)算的方式來進(jìn)行判斷，顯然會(huì)陷入求解的瓶頸當(dāng)中。

但是如果將題目當(dāng)中所涉及的sinα、α等置于單位圓當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)，其本身在圖形領(lǐng)域所富含的另外一層含義，我們可以利用單位圓將所要比較大小的部分轉(zhuǎn)化為其他的、可以量化和具象化的內(nèi)容。如圖所示，將A、B、D視為單位圓上的點(diǎn)，E、C分別為D、B在x軸上的垂點(diǎn)，α=∠EOB，β=∠AOB，則：

sinα=ED、sinβ=BC（單位圓斜邊大小視為1，正弦函數(shù)值等于對邊比斜邊，即等于角所對應(yīng)的邊長）

到此為止，比較大小過程中所涉及的sinα、sinβ、α和β，已經(jīng)轉(zhuǎn)化成了統(tǒng)一的比較值，即全部通過面積來表示。

而“a-sinα”就可以視作“扇形AOD的面積減去S△AOD”的二倍，“β-sinβ”就可以視作“扇形AOB的面積減去S△AOB”的二倍，換言之a(chǎn)-sinα和β-sinβ就可以通過比較弓形AD和弓形AB的面積來求解，我們可以通過圖像觀察到弓形AB的面積明顯要大于弓形AD的面積，即2（β-sinβ）＞2（α-sinα），而題目所求解的sinα-α和sinβ-β的大小，也自然能夠判斷了。

二、利用單位圓確定變量的取值范圍

再利用單位圓確定變量的取值范圍的過程中，單位圓承擔(dān)了鮮明的解題工具的作用，相對于傳統(tǒng)的三角函數(shù)圖像，其所能達(dá)成的效果更為直接，其不僅提高了解題效率，也間接提升了高中生解題的準(zhǔn)確率。這類題目的階梯關(guān)鍵在于要求學(xué)生必須掌握被平面直角坐標(biāo)系所劃分的單位圓的四個(gè)區(qū)域當(dāng)中，不同象限的正負(fù)，以及曾見性的判斷。以這樣一道題目為例：

求函數(shù)f（x）=log（1-2cosx）（2sinx+1）的定義域

通過取交集的過程可以看出，利用單位圓來求解這樣的題目，要比單純觀看函數(shù)三角函數(shù)波狀圖像更為鮮明，甚至通過畫圖或勾畫區(qū)間的方式就能達(dá)到求解的目的。

［1］程光宇.利用單位圓解三角函數(shù)題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志：高中版，2010（2）.

［2］俞少華.單位圓在三角函數(shù)中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（13）.

［3］王勇.利用單位圓比較三角函數(shù)值的大小［J］.新課程：教育學(xué)術(shù)，2012（4）.

●編輯 賀軼群