巧求數列的通項公式

趙異荷

摘 要： 高中數學中數列是一個難點，難就難在它的捉摸不定、毫無頭緒，作者針對高中數列中求通項公式問題總結一些巧妙求解方法.

關鍵詞： 數列 數列通項 疊加法 累乘法

數列在高中數學中占有非常重要的地位，每年高考都會出現數列方面的試題，一般分為小題和大題兩種題型，求數列的通項公式是常考的一個知識點，也是數列的一個難點，因此掌握好數列的通項公式求法不僅有利于掌握好數列知識，更有利于在高考中取得好成績.本文介紹了中學數學中有關巧求數列通項公式的方法.

1.數列的有關概念

數列的定義：按一定次序排列的一列數叫做數列（sequence of number），如1，2，4，6，…

數列的項：數列中的每個數都叫做這個數列的項（term）.各項依次叫做這個數列的第1項（或首項），第2項，…，第n項，….

數列的通項公式：如果數列{a}的第n項與項數之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式（the formula of general term）.

等差數列的概念及通項公式：從數列的第二項起，每一項減去前一項所得的差都等于同一個常數，這樣的數列稱為等差數列，這個常數叫公差，一般用d表示，其通項公式為：a=a+（n-1）d .

等比數列的概念及通項公式：如果一個數列，從第二項起，每一項與其前一項的比等于同一個常數，這樣的數列稱為等比數列，這個常數叫公比，一般用q表示，其通項公式為：a=aq.

2.巧求數列通項公式的幾種方法

數列的通項公式的求法是數列這章的難點，下面我就簡單遞推數列的通項公式的做法做一些介紹.

2.1疊加法

對于形如a=a+f（n）型的數列，可用疊加法求出通項公式.

例1 已知數列{a}滿足a=a+n，a=1，求a.

解析：由a=a+n得：a-a=n，于是有：

a=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+（a-a）+a

=（n-1）+（n-2）+（n-3）+…+2+1+a

=1+

所以通項公式為：a=1+.

2.2 累乘法

對于形如a=a·f（n）型的數列，可用此法.

例2 已知數列{a}滿足na=（n+1）a，a=4，求a.

解析： a=···…···a

=···…····a

=×4

=2（n+1）

所以通項公式為a=2（n+1）.

2.3 轉化為等差數列的求法

對于形如a=ra+r的數列，運用乘、除、去分母、添項、去項、取對數、待定系數等方法，將遞推公式變形為f（n+1）-f（n）=A（其中A為常數）形式，根據等差數列的定義知f（n）是等差數列，根據等差數列的通項公式，先求出f（n）的通項公式，再根據f（n）與a的關系，從而求出a的通項公式.

例3：已知數列{a}滿足a=2a+2，a=2，求a.

解析：由a=2a+2兩邊除以2，可化為：

=+1，

設b=，則b=b+1，b=1，根據等差數列的定義知，數列{b}是一個以1為首項，1為公差的等差數列，根據等差數列的通項公式可得：b=1+（n-1）·1，

由b=可得a=n·2，

所以數列的通項公式為：a=n·2.

2.4 轉化為等比數列的求法

形如a=ca+d（d為常數）型的數列，運用乘、除、去分母、添項、去項、取對數、待下系數等方法，將遞推公式變形為f（n+1）=Af（n）（其中A為非零常數）形式，根據等比數列的定義，求出f（n）的通項公式，再根據f（n）與a的關系，求出的通項公式.

例4：已知數列{a}滿足a=2a+3，a=1，求a.

解析：設a+x=2（a+x），對比原式得出，x=3，

設b=a+3，則b=4，說明{b}是一個以4為首項，2為公比的等比數列.

根據等比數列的通項公式得， b=4·2=2，

所以，數列通項公式為a=2-3.

2.5 轉化后可用疊加法

對于形如a=a·q的數列，先轉化，再用疊加法求通項公式.

例5：已知數列{a}中，a=1，a=a·2，求{a}的通項.

解析：由a=a·2，兩邊取對數，得：

lga=lga+nlg2

∴lga=（lga-lga）+（lga-lga）+…+（lga-lga）+lga

∴lga=（n-1）lg2+（n-2）lg2+…+lg2+lg1

=lg2[（n-1）+（n-2）+…+1]

=lg2·

=lg2

∴a=10=2

注：此題若取以2為底的對數更簡單.

3.結語

對于數列求通項問題，首先看是不是等差或等比數列，如果是直接用公式求解，再看是否可以用疊加法和累乘法，然后再看能否轉換為等差或等比數列，再復雜點的就先轉化再疊加求通項公式.

參考文獻：

[1]人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.數學必修5[M]. 北京：人民教育出版社，2014.6.