三角形中的不等式問題

王可

三角形中的范圍與不等式問題是學生學習解三角形過程中比較困惑的問題，不僅需要用到三角變換、正余弦定理，還涉及基本不等式及求函數(shù)值域.現(xiàn)就以教學過程中遇到的該類問題與大家共同分享、探討.

題型一：求三角函數(shù)值范圍問題

例1.若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+sinB=2sinC，則cosC的最小值是 .

【解析】cosC=，由sinA+sinB=2sinC可得：a+b=2c，

∴c=

∴cosC====·+·-

≥2=.

【點評】所求cosC的最值可想到余弦定理用邊表示，cosC=，考慮sinA+sinB=2sinC角化邊得到：a+b=2c，進而消去c，計算表達式的最值即可.

題型二：求邊的比值范圍問題

例2.在銳角△ABC中∠A=2∠B，∠B、∠C的對邊長分別是b、c，則的取值范圍是（）.

A.（，）B.（，）C.（，）D.（，）

【思路分析】本題所給條件為角的關(guān)系，不易從邊入手，所以將所求進行邊化角：==，只需求出的范圍即可.條件所給的是A，B關(guān)系，從而=，利用∠A=2∠B減少角的個數(shù)：sinA=sin2B=2sinBcosB，cosA=cos2B=2cosB-1，代入可得：=4cosB-1，根據(jù)銳角三角形求出B的范圍即可.

【解析】==

∵==

由∠A=2∠B？圯sinA=sin2B=2sinBcosB，cosA=cos2B=2cosB-1

∴==2cosB+cos2B=4cosB-1

因為△ABC為銳角三角形，∴0

∴cosB∈（，）∴=4cosB-1∈（1，2），=∈（，）.

【點評】本題的關(guān)鍵點有兩個，一個是解題系統(tǒng)的確定，由于題目中沒有涉及邊關(guān)系，只給了角的條件，因此優(yōu)先選擇角的系統(tǒng)，從而進行角化邊處理，并進行一個分式的常見變形，將變量集中在分母上.另一個就是主元的確定：本題的主元是B，所以在求表達式范圍時將A，C均用B表示，以便于求得值域.

題型三：面積范圍問題

例3.已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且a+b=c+ab，若△ABC的外接圓半徑為，則△ABC面積的最大值為 .

【思路分析】：由a+b=c+ab可聯(lián)想到余弦定理求cosC，所以cosC==，從而sinC=，所求面積可表示為S=absinC，則只需解出ab的最大值即可.

【解析】由外接圓半徑R=及sinC可得：c=2RsinC=4，所以a+b=16+ab，而a+b≥2ab，所以有16+ab≥2ab？圯ab≤12，所以S≤·12·=4.

【點評】本題的入手點來自于條件中對余弦定理的暗示，從而解出C，計算面積時有三組邊角可供選擇：S=absinC=bcsinA=acsinB，通常是“依角而選”，從而把目標轉(zhuǎn)向求ab的最值.要注意到余弦定理本身含有平方和與乘積項，再配上均值不等式往往可以找到最值.