計算星期幾問題的數(shù)學(xué)模型

何守元

摘 要： 本文應(yīng)用數(shù)論的同余理論和高斯函數(shù)，建立計算任意給定的公元m年n月k日星期數(shù)的數(shù)學(xué)模型.

關(guān)鍵詞： 計算 星期幾 數(shù)學(xué)模型

要求幾十天后是星期幾，只需計算被7除所得余數(shù)即可.但要求任意的公元m年n月k日是星期幾，就比較麻煩.因?yàn)橛虚c年，需要建立一個便于計算的數(shù)學(xué)模型.

公元1600年以來，全世界大部分地區(qū)都使用現(xiàn)行公歷歷法.平年有365天，二月有28天.閏年則有366天，二月有29天.除二月外，平年、閏年的其他月份，小月各有30天，大月各有31天.閏年的確定：公元年份數(shù)能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除，這些年份為閏年，其他均不閏.如果某年是閏年，其二月比平年的二月多一天，從該年的三月一日開始，星期數(shù)都受到影響，但一月、二月里的星期數(shù)不受影響.因此，我們把三月一日作為計算星期數(shù)的基點(diǎn).為討論方便，先約定記號：

m=100x+y表示年份，其中0≤y≤99；n表示月份，3≤n≤14，其中n=13表示m+1年的1月，n=14表示m+1年的2月；k表示日期，w（m，n-2，k）表示公元m年n月k日的星期數(shù).分三步建立數(shù)學(xué)模型：

第一步：先建立“計算公元m年3月1日星期數(shù)”的數(shù)學(xué)模型.要找到從1600年起使用的計算w（m，3-2，1）即“公元m年3月1日的星期數(shù)”的公式，先假設(shè)w（1600，3-2，1）是已知的，由數(shù)論知識知：365≡1（mod7），故每過一個平年，星期數(shù)就增加1；每過一個閏年，星期數(shù)就增加2.若用s表示從公元1600年到公元m年的閏年數(shù)，立得：w（m，3-2，1）≡w（1600，3-2，1）+（m-1600）+s（mod7）.（1）

由閏年的確定方法，根據(jù)數(shù)論中高斯函數(shù)的定義知：

（其中：m=100x+y）（5）

第二步：再建立“計算公元m年n月1日星期數(shù)”的數(shù)學(xué)模型.注意到本文開頭n的取值約定，考慮到大、小月天數(shù)，容易知道m(xù)年其余各月的星期數(shù)：

4月1日的星期數(shù)為：w（m，4-2，1）≡w（m，3-2，1）+3（mod7）；5月1日的星期數(shù)為：w（m，5-2，1）≡w（m，4-2，1）+5（mod7）；6月1日的星期數(shù)為：w（m，6-2，1）≡w（m，5-2，1）+8（mod7）；7月1日的星期數(shù)為：w（m，7-2，1）≡w（m，6-2，1）+10（mod7）；8月1日的星期數(shù)為：w（m，8-2，1）≡w（m，7-2，1）+13（mod7）；9月1日的星期數(shù)為：w（m，9-2，1）≡w（m，8-2，1）+16（mod7）；10月1日的星期數(shù)為：w（m，10-2，1）≡w（m，9-2，1）+18（mod7）；11月1日的星期數(shù)為：w（m，11-2，1）≡w（m，10-2，1）+21（mod7）；12月1日的星期數(shù)為：w（m，12-2，1）≡w（m，11-2，1）+23（mod7），

而m+1年1月1日的星期數(shù)為：w（m，13-2，1）≡w（m，12-2，1）+26（mod7），

m+1年2月1日的星期數(shù)為：w（m，14-2，1）≡w（m，13-2，1）+29（mod7）.

由上可知，從m年3月1日到m+1年2月1日的11個月中，星期數(shù)“增加”了29天，平均每月“增加”約2.6天.構(gòu)造高斯函數(shù)：f（n-2）=[2.6（n-2）-0.2]-2，經(jīng)過驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)它完全滿足這些條件：f（3-2）=0，f（4-2）=3，f（5-2）=5，…，f（14-2）=29.從而得到“計算公元m年n月1日星期數(shù)”的數(shù)學(xué)模型：w（m，n-2，1）≡w（m，3-2，1）+[2.6（n-2）-0.2]-2（mod7）.

第三步：最終建立“計算m年n月k日星期數(shù)”的數(shù)學(xué)模型.顯然，m年n月k日的星期數(shù)是：w（m，n-2，k）≡（m年n月1日的星期數(shù)）+（k-1）≡w（m，3-2，1）+[2.6（n-2）-0.2]+（k–3）（mod7），由（5）式，立得“計算m年n月k日星期數(shù)”的數(shù)學(xué)模型：

w（m，n-2，k）≡k+5x+y+[2.6（n-2）-0.2]（mod7） （6）

（m=100x+y，3≤n≤14，其中：n=13表示m+1年的1月，n=14表示m+1年的2月.）

特別注意：①計算公元m年1月k日和2月k日的星期數(shù)（即n=13，14）時，（6）式中的年份數(shù)要用m-1，而不是m.②公式中的中括號表示高斯函數(shù)，其值取整數(shù)部分.

例問：公元2018年2月24日是星期幾？

解：因?yàn)?月對應(yīng)n=14，所以對應(yīng)的年份數(shù)m=2018-1=2017，x=20，y=17，k=24，代入（6）式，得：

w（2017，14-2，24）≡24+5×20+17+[2.6×（14-2）–0.2]≡6（mod7），

即2018年2月24日是星期六.

參考文獻(xiàn)：

[1]王進(jìn)明主編.初等數(shù)論[M].人民教育出版社，2002.12，第一版.