用方程(函數)思想審視一個問題的流行解法

四川省瀘縣二中 (646106)

廖興建

用方程(函數)思想審視一個問題的流行解法

四川省瀘縣二中 (646106)

廖興建

問題1已知1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1，求5x-y的取值范圍.

問題1是線性規劃問題,用現行教科書的圖像(幾何)解法可解,除教科書的圖像(幾何)解法外,還有一個比較流行的二元函數值域法,即下面的解法1.

解法1流行，教師在教學中多數強調用此法，但也有用換元法求解.

問題2已知1≤x+y≤2，-2≤x-y2≤1，求5x+2y-3y2的取值范圍.

解:令x+y=t,x-y2=s,5x+2y-3y2=k,則x=t-y,y+y2=t-s,y2=t-s-y,所以,k=5x+2y-3y2=5(t-y)+2y-3(t-s-y)=2t+3s,即k=2t+3s(-2≤s≤1,1≤t≤2),求這二元函數值域得-4≤k≤7,即-4≤5x+2y-3y2≤7.

問題3已知1≤x+y≤2，-2≤x2-y≤1，求3x2+2x-y的取值范圍.

解:令x+y=t,x2-y=s,3x2+2x-y=k,則y=t-x,x2+x=t+s,x2=t+s-x,所以,k=3x2+2x-y=3(t+s-x)+2x-(t-x)=2t+3s,即k=2t+3s(-2≤s≤1,1≤t≤2),求這二元函數值域得-4≤k≤7,即-4≤3x2+2x-y≤7.

問題3正確解法:令x+y=t,x2-y=s,3x2+2x-y=k,則y=t-x,x2=t+s-x,由關于x的方程x2=t+s-x有實解得1+4(t+s)≥0,所以,k=3x2+2x-y=3(t+s-x)+2x-(t-x)=2t+3s,即k=2t+3s(-2≤s≤1,1≤t≤2,1+4(t+s)≥0),就是方程、不等式混合組

從上面的分析和正確解法可知,問題1的流行解法1是一個使用很有限的特殊方法,如問題1中稍加條件就是下面的問題.

問題4已知y≥0,1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1，求5x-y的取值范圍.

問題5已知x≥0,1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1，求5x-y的取值范圍.

很明顯,用問題1的流行解法1解問題4,問題5得出的結果就不一定正確了.問題1的解法2通過換元產生方程,由方程發現問題并解決問題才是一個既自然,又簡單的通法,問題1的流行解法1,由于不換元,就容易忽略進入方程(組)中的未知數的取值范圍(因為表示實數的字母進入方程都有確定的取值范圍,但比較隱蔽(即隱蔽條件),通過方程分離變量才容易發現并求出來(文[1],文[2],文[3]),也就容易出現錯誤.因此,換元產生方程(函數),使問題在方程(組),或方程、不等式混合組中,用最基本的方程(函數)的思想才能自然,本質的解決問題.

[1]熊福州.換元讓問題進入方程,使本質暴露更完美[J].河北理科教學研究(河北)，2011,3.

[2]李 敏,熊福州.取值范圍漫無邊,全在方程函數中[J].中學數學研究(江西)，2012.

[3]熊福州.用方程思想深究一道選擇題的病結果[J].數學通訊(上半月)，2013,4.