也談齊次化方法在圓錐曲線中的應用

深圳大學數學與統計學院 (518060)

關麗娜* 曹麗華

也談齊次化方法在圓錐曲線中的應用

深圳大學數學與統計學院 (518060)

關麗娜*曹麗華

圓錐曲線中常見于一類問題，這類問題的特點是條件中的兩直線斜率之和或之積是一個指定常數.這種問題的求解方法多種多樣，但是采用齊次化方法，可以將這兩種題型統一處理.接下來談談齊次化方法在處理圓錐曲線這些問題中的應用.

1.處理兩直線斜率之積為常數的問題

現在我們假設(2)式是存在的，那么有Ay2+Bxy+Cx2=0.(3)

也就是說我們需要從已知條件得到(3)式這樣一個關于x、y的2次齊次等式，于是便有了下面的齊次化方法：

(1)求直線PA與PB的斜率之積；

(2)設直線l交橢圓E于M，N兩點，且以MN為直徑的圓恒過點A.求證直線l恒過定點，并且求出此定點的坐標.

2.處理兩直線斜率之和為常數的問題

圖1

評注：從上面的解答過程可以看到，條件中斜率之間的關系可以推導出直線方程中m，n之間的一個關系式.

3.處理與斜率之和或者斜率之積相關的問題

(1)求橢圓C的方程；

(2)設不過原點O的直線l2與該橢圓交于P、Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數列，求ΔOPQ面積的取值范圍.

余下略.

[1]徐守軍.巧構“齊次式”解一類解析幾何問題[J].廣東教育(高中版)，2008:21-23.

* 作者現為碩士研究生，本文通訊作者為曹麗華老師.