特殊相似橢圓的一組性質

北京市陳經綸中學 (100020)

張留杰

特殊相似橢圓的一組性質

北京市陳經綸中學 (100020)

張留杰

根據相似形的定義，我們不難定義相似橢圓：

如果兩個橢圓的長軸和短軸對應成比例，則稱它們是相似橢圓.

顯然對于中心在原點的兩個相似橢圓，其方程可以設為C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=λ2，它們的相似比為λ(λ>0且λ≠1).

首先，類比同心圓的性質，給出相似橢圓的一條重要性質定理：

定理相似橢圓C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=λ2(λ>1)，如圖1，過C2上一點P作C1的兩條切線PA、PB，交橢圓C2于A、B兩點，切點分別為M、N.則M、N分別為PA、PB中點，且OP平分切點弦MN.

圖1

證明：設P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以C1的切線PM:αx1x+βy1y=1，PN:αx2x+βy2y=1，將點P(x0,y0)的坐標代入，得αx1x0+βy1y0=1和αx2x0+βy2y0=1，所以切點弦MN所在直線方程為αx0x+βy0y=1.

下面探究兩對相似比為特殊值的相似橢圓的性質.

命題1相似橢圓C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=2，過C2上一點P作C1的兩條切線(切線與坐標軸不平行)，交橢圓C2分別為A、B，切點分別為M、N，如圖2，則

(1)四邊形OMPN為平行四邊形；

(2)切線PA與PB的斜率之積為定值；

(3)四邊形OMPN的面積為定值；

(4)A、O、B三點共線.

圖2

證明：設P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

(4)連結OA、OB，由定理知PM=MA，PN=NB，又由(1)知MN平分PO，所以MN∥AO且MN∥OB，所以A、O、B三點共線.

二、相似比λ=2的相似橢圓性質

對于相似比為2的相似橢圓，除了相似橢圓共有的性質之外，還有如下性質.

圖3

命題2相似橢圓C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)和C2:αx2+βy2=4，過C2上一點P作C1的兩條切線，交橢圓C2分別為A、B，切點分別為M、N，如圖3，則(1)AB是橢圓C1的切線；(2)△PAB的面積為定值.

證明：設P(x0,y0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

=1，所以AB切橢圓C1于點D.

(2)由(1)可得S△PAB=4S△PMN，又OQ∶OP=1∶4，所以S△PMN=3S△OMN，所以S△PAB=12S△OMN.而

經過探究，筆者還發現上述三個橢圓之間存在如下關系

命題3過橢圓C1:αx2+βy2=1(α>0,β>0且α≠β)上一點M作切線，交橢圓C2:αx2+βy2=2于A、B兩點，如圖4，橢圓C2在A、B兩點處的切線交于點P，則點P的軌跡是橢圓αx2+βy2=4.

圖4

經歷以上探究過程，不僅得出這兩組特殊相似橢圓的優美性質，為進一步研究相似橢圓奠定了基礎，還凸顯了橢圓方程αx2+βy2=1在論證過程中所起的簡便作用.