一道解析幾何題的變式拓展

浙江省金華市第六中學 (321000)

虞 懿

浙江省麗水中學 (323000)

曹 斌

一道解析幾何題的變式拓展

浙江省金華市第六中學 (321000)

虞 懿

浙江省麗水中學 (323000)

曹 斌

每年高考都會留下一份十分寶貴的資源——數學高考試卷，其中許多試題內涵豐富、立意新穎、視角獨特，彰顯著數學永恒的魅力，也為我們的學習和探究提供了廣闊的平臺.2013年高考江西理科第20題就是難得的優質高考試題，文[1]對此題進行了探究和拓廣，本文在此基礎上進行變式拓展，得到了幾個好的結果，與諸位分享.

圖1

一道好的試題往往是命題者研究成果的結晶，在一個背景下，交換部分條件和結論，或給出某個問題一般結論的特例，便生成出一道新題，又能挑戰你的思維.筆者結合對相關題目的研究，又做了如下探究：

2ma4k2x+a6k2-a2b2m2=0.其中

其中Δ=4m2a4k4-4(a2k2+b2)(a2m2k2-a2b2)=4a2b2(a2k2+b2-k2m2)>0.

=2k+[k(x0-m)-y0]

=2k+[k(x0-m)-y0]·

由PA、PM、PB的斜率成等差數列，則

2k+[k(x0-m)-y0]·

若k(x0-m)-y0≠0,有

=m(a2k2+b2-m2k2).

而a2k2+b2-m2k2=k2(a2-m2)+b2>0,所以x0=m,即點P在直線x=m上.

綜上，點P必在直線AB或直線x=m上.

由于直線AB不過點P，則有km+t-y0≠0,

由于直線PA、PM、PB的斜率成等差數列，且

y0≠0,則

滿足直線AB的方程y=k(x-m),從而A﹑B、M三點共線.

上述結論對雙曲線、拋物線是否成立呢？留給有興趣的讀者去探究.

[1]張國良.圓錐曲線的一個完美性質—一道2013年江西高考試題的推廣[J].中學數學，2014(6).