數學教學要體現數學知識的意蘊

江蘇省海州高級中學 (222023)

徐進勇

數學教學要體現數學知識的意蘊

江蘇省海州高級中學 (222023)

徐進勇

知識的意蘊是指知識所蘊含的理性內涵，包括知識的價值、知識的精神、知識的情感等，它是知識的精義和主旨所在.[1]數學知識的意蘊是啟動、維持與深化數學活動的引擎，是推動數學知識產生的內驅力.只有感知和領悟了數學知識的意蘊，才能理解數學的基本思想，才能領會數學思維的奧秘，才能把握數學的基本方法.所以，理解數學知識的意蘊是提升數學學科核心素養的前提.

一、數學知識的意蘊是在挖掘知識的過程中形成的

《普通高中數學課程標準》指出課堂教學應“努力揭示數學概念、結論發展過程，體會蘊涵在其中的數學方法，追尋數學發展的歷史足跡，把數學的學術形態轉化成學生易于接受的教育形態.”因此，體驗、揭示知識發生、發展的過程，并進行合理有序的建構，是數學教學的核心任務.

在講述三角函數概念時，筆者作了如下安排：

問題情境：水車的半徑為r，若水車的中心正好處在水面上(如圖1)，水車在逆時針轉動過程中，如何求水車上點P離水面的高度h？

問題1當轉動角度α為銳角時，如何求點P離水面的高度？

圖1 圖2 圖3

問題2當水車轉動角度α為鈍角時，如何求P點離水面的高度？角度超過π？任意給定角度呢？

借助任意角的學習經驗，現將圖2三角形也放到坐標系中，如圖3，你認為如何定義角α的正弦、余弦、正切？

學生主要有兩種思考結果：

師：兩種定義哪種更好？為什么？

生1：按結果1定義，和初中定義相同，但比值出現了負值.按結果2定義取絕對值，避免了負數的出現，但會出現終邊不同時，比值會出現許多相等的情況，不容易分清楚.

師：比值出現負值時，點P在何處？

生2：負數的含義正好說明點P在水面的下方.

師生通過分析比較，統一認識，還是不取絕對值好，這樣初中定義可以看成是現在坐標定義的特殊情況，而且也與要解決的問題相吻合.

通過學生自主操作與小組交流，體會比值與點在終邊的位置無關，與角終邊存在一一對應關系，感受比值符號與終邊所在象限的變化規律.

問題4情境中提出的問題如何解決？如果改為摩天輪，如何計算摩天輪上一點離地面的高度？(若摩天輪半徑為10米，中心離地面的距離為11米)

通過以上4個問題，引導學生思考，在解決實際問題的過程中合理建構新概念，新概念的形成又為我們順利解決問題提供理論依據.整個教學過程自然、自由、自主，體現數學源于生活并經理性分析與抽象升華形成嚴密邏輯體系的過程，讓學生體會到數學的創新與應用價值，感受到自身的創造與潛能.

二、數學知識的意蘊是在構建知識的聯系中形成的

科學知識是相通、相容、相生的，之間構成多種關聯，形成共同的思想方法、情感態度與價值取向，可以為我們正確理解問題、解決問題提供多種轉換角度與思路.教學中如能從問題的本質出發，多方聯系，“引經據典”，一方面能觸動學生的思維，打開學生的心智，促進學生理解，同時也能激發學生興趣，增長見識，培養數學文化素養.

圖4 圖5

教師在講授直線與平面平行時，為強化判定定理的應用(如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行)，教學中可作如下安排:如圖4，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E是PD的中點，(1)試證明PB∥平面EAC；(2)在邊BC上是否存在一點F，使EF∥平面PAB?

教師在巡視過程中發現學生在證明第(2)問時大都采用將EF“平行投影”到面ABP上得直線BG，在此基礎上教師利用第(1)問的證明方法啟發學生用“中心投影”來證明，如圖5得直線PQ.此時，教師通過插入多媒體展示“中心投影與平行投影在中西繪畫中的應用”片段，如圖6，讓學生感受數學與藝術的完美結合，兩者一個處于高度理性化的巔峰，另一個居于情感世界中；一個是自然科學的典范，另一個卻是美學構筑的杰作.贊嘆數學與藝術極其豐富的普遍意義.學生興致高，理解透徹，印象深刻.不僅拓寬了學生思考問題的渠道，更是提高了學生理性思考這類問題的技能，為學生在平面內順利找到這條直線提供抓手.

圖6

人是感情的動物，人的思維狀態與其情感有著密切的聯系.用情感激活學生的學習心向，這是有意義學習的前提.在教學中只有注重情感教育，才能激發學生內在動力，才能使其樂學、好學、勤學，創造性地學.因此，數學教師要對數學知識理解得十分透徹，能抓住數學知識的本質，并不斷挖掘數學與其它知識的聯系，從感知到認知再到情感，達到“潤物細無聲”的教學效果.

三、數學知識的意蘊與數學的文化價值、美育價值有著天然聯系

學科教育具有知識教育和文化教育兩層含義:知識教育是基礎，文化教育是知識教育基礎上的文化升華.只停留在知識教育的基礎上，不能從文化角度進行升華，則必然失去教育的深遠意義.因此，必須從文化視角研究數學教學.數學文化是提高數學教育質量、進行教學改革的邏輯起點和突破口.

在講數列概念時，課本“隆重”推出數列1,1,2,3,5,8,13,…，一方面反映該數列與現實生活相關聯，如蘇教版書中有插圖顯示樹的枝杈數，同時也是下一步提出數列的遞推公式概念的典例.教師可以安排《斐波那契數列與黃金分割》探究性課題，以增強學生學習數列的興趣，提高學生認識世界、探索自然的積極性，體現學習數列的價值與意義.課題內容可作如下安排：意大利數學家斐波那契(1170-1250)1202年在《算盤書》中從兔子問題得到斐波那契數列1,1,2,3,5,8,13,…，并沒有進一步探討此數列，且在19世紀初以前，也沒有人認真研究過它.幾百年后，19世紀未和20世紀，這一問題派生出廣泛的應用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題.斐波那契數列定義：若一個數列，前兩項都等于1，從第三項起，每一項是其前兩項之和，則稱該數列為斐波那契數列，其遞推公式是

新課程標準非常注重知識的運用與文化的滲透，明確給定了數學建模與數學文化的教學建議與教學要求，提出了要開展研究性課題的探索.以數學發展中蘊含的思想方法為紐帶串聯知識應用的教學，為知識應用教學設計增添了新的視角，使得課時教學呈現形散而神不散的特點，教學的知識性、技能性、思想性都有所增強，對學生素養的培養更為全面.

四、數學知識的意蘊只有在領悟知識的本質、解決數學問題中得到理解

數學源于生活，又高于生活服務生活.學習數學的意義不僅在于知識本身和它的內涵，更由于它廣泛的應用價值.結合近年來國家對食品、禮品的包裝提出“摒棄奢華包裝，力求樸素節儉”，筆者以此為背景，在導數的應用中安排了一節數學應用課.

例1如圖7，有一個各條棱長均為a的正四棱錐，現用一張正方形包裝紙將其完全包住，不能剪裁，但可以折疊，則包裝紙的最小邊長是多少.

圖7

例2某商場為促銷要準備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10cm的圓形包裝紙包裝.要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達到三棱錐的頂點，如圖8所示.設正三棱錐的底面邊長為xcm，體積為Vcm3.在所有能用這種包裝紙包裝的正三棱錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時x的值.

圖8

例3(2011年江蘇數學卷第17題)請你設計一個包裝盒，如圖9所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=FB=xcm.

(1)若廣告商要求包裝盒側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？

(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值.

圖9

解決上述包裝問題的關鍵是把立體圖形展開為平面圖形，通過兩種圖形的聯系建立目標函數，結合函數式特點求最值，過程中學生學會解決一類問題的方法和處理最值問題的一種手段.我們常見的市場銷售問題、節約用水用電問題、運輸問題、稅收問題、醫療費用問題、銀行儲蓄問題等，都是以生活實際為背景，這些教學的具體素材，可以使學生進一步了解數學科學與人類社會發展之間的相互關系，學生運用所學的知識和方法解決了這些問題，獲得了成功的享受，并能更好地理解數學知識與數學方法.

教學中突出知識的意蘊，就是在知識教育基礎上，上升到心靈與智慧的培養、價值觀念的形成和精神陶冶上，充分利用數學知識和相應的其它一切可以利用的文化資源，進行文化積累和文化升華，以實現審美、陶冶、文化遺傳的教育功能，從而為認識自然和社會，適應生存環境，并能夠創造出新的人類文明作出應有的貢獻.教學中突出知識的意蘊，正是使得“教育是知識獲得過程”向“教育是文化過程”轉變的最有力的手段和契機，從而能夠真正實現教育是“通過攝取吸收文化價值,體驗陶冶多維的人，促進生命個體總體生成”的文化過程[2].

[1]章建躍.數學知識的意蘊與數學素養的提升[J].中小學數學,2015(6)：封四.

[2]趙祥麟.外國教育家評傳-斯普朗格[M].上海：上海教育出版社，2009.

* 本文為江蘇省教育科學規劃2015年度研究課題(D/2015/02/095)《現代數學教育觀下高中數學文化課堂的實踐研究》階段成果.