淺談“命題的否定”與“否命題”

柏青

摘要：否命題與命題的否定是兩個比較容易混淆的概念，本文將對否命題與命題的否定進行一下辨析。

關鍵詞：命題的否定；否命題

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2016）11-0398-01

"命題的否定（非p或）"與"否命題"是高中數學的難點，準確無誤地理解和寫出一個命題的否定形式和否命題是解決許多問題的關鍵.

1.命題“若A，則B”的否命題與命題的否定形式

設命題 "若A，則B"為原命題，那么，"若非A，則非B"就叫做原命題的否命題，否命題只是"若……則……"命題的四種形式中的一種，如果一個命題不能化為"若……則……"形式，那么該命題就沒有討論否命題的可能；對于命題p，非p叫做命題p的否定（記作），任何一個命題都有否定形式，命題"若A，則B"的否定形式為“若A，則非B”.顯然，“否命題”是對原命題的條件和結論同時否定，“命題的否定”只是否定命題的結論，即“命題的否定”與原命題的條件相同，結論相反.

例1.命題“若a>b，則2a>2b-1”的否命題為_______。

解：由題意原命題的否命題為“若a≤b，則2a≤2b-1，”.評注：該命題的否定形式為“若a>b，則2a≤2b-1”，只是否定原命題的結論.

例2.寫出下列命題的否定形式及其否命題.

（1）若x=3且y=2，則x+y=5； （2）若|x|+|y|=0，則x，y全為0.

解：（1） 命題的否定為：若x=3且y=2，則x+y≠5；否命題為：若x≠3或y≠2，則x+y≠5；（2） 命題的否定為：若|x|+|y|=0，則x，y不全為0；否命題為：若|x|+|y|≠0，則x，y不全為0.

如果一個命題不是“若……則……”的形式，可以將其改寫成“若……則……”形式的命題，使原命題的條件和結論更加明確，便于寫出命題的否定形式及其否命題.這種"改寫"的形式有時不是惟一的，因此，同一命題的否定形式也可能不一樣.

例3.將下列命題改寫成“若A，則B”的形式，并寫出它們的否命題與否定形式：（1）對角線互相垂直的四邊形是菱形；（2）a>0時，函數y=ax+b的值隨x值的增加而增加.

解：（1）原命題可改寫為：若一個四邊形的兩條對角線互相垂直，則它是菱形，否命題為：若一個四邊形的兩條對角線不互相垂直，則它不是菱形；否定形式（）為：若一個四邊形的兩條對角線互相垂直，則它不是菱形；（2）原命題可改寫為：a>0時，若x增加，則函數y=ax+b的值也隨著增加，否命題為：a>0時，若x不增加，則函數y=ax+b的值也不增加；否定形式（）為：a>0時，若x增加，則函數y=ax+b的值不增加；

常用詞語的否定如下：

正面詞語反面詞語

等于不等于

大于不大于（或小于等于）

小于不小于（或大于等于）

是不是

一定是一定不是

都是不都是（至少有一個不是）

必有一個一個也沒有

任意的某一個

且或

存在不存在

2.不能轉化成“若A，則B”形式的命題的否定形式

除了可以轉化為“若A，則B”形式的命題外，其它不能轉化成“若A，則B”形式的命題都有其相應的否定形式，根據命題本身形式的不同，可以分為以下幾類：

2.1簡單命題的否定。不含邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”的命題稱為簡單命題，它應被看作是一個不可再分割的整體，其最簡單的命題形式是p："A是B”，它的否定形式是“A不是B”或“并非A是B”，其中A是一個特定對象.

例4.寫出下列命題的否定：

（1）2是方程x2-4=0的根；（2） 四條邊都相等的四邊形不是正方形；（3）正數的絕對值是它本身；（4）方程x2-3x+2=0有兩個相等的實根；（5）a，b都是1.

解：（1） 命題的否定形式為：2不是方程x2-4=0的根；（2） 命題的否定形式為：四條邊都相等的四邊形不都是正方形；（3） 命題的否定形式為：正數的絕對值不是它本身；（4） 命題的否定形式為：方程x2-3x+2=0沒有兩個相等的實根（5）命題的否定形式為：“a，b不都是1”或者“a≠1或b≠1”. 評注：“是”的否定有時為“不是”，有時為“不都是”，要視“是”的含義而定.

2.2復合命題的否定。

由簡單命題與邏輯聯結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題.“p或q”、 “p且q”、“非p”形式的命題中，p，q都是命題，命題“p或q”的否定為“且”；命題“p且q”的否定為“或”；命題“非p”的否定為“ ”就是命題p，所以，命題“非p”與命題“p”互為否定形式.

例5.寫出下列命題的否定： （1）8≥5； （2）a>5且b>1；（3）2是6的約數且是8的約數；（4）3是偶數或奇數.

解：（1）命題的否定形式為：8不大于5且8不等于5即8<5.（2）命題的否定形式為：a≤5且b≤1.（3）命題的否定形式為：2不是6的約數或2不是8的約數.（4）命題的否定形式為：3不是偶數且3不是奇數. 評注：（1）需要說明的是，常用的“或”有兩種意義：可兼的和不可兼的。而在復合命題中的"或"是可兼的；（2） “p或q”、 “p且q”、“非p”形式出現在“若A，則B”形式的命題中，該命題的否定或否命題的寫法規則相同，例如例2中第（1）小題的解法.

3.含有一個量詞的命題的否定

命題中出現“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為“”與“”來表示）；由這樣的量詞構成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題.全稱命題“， p（x）”的否定為“”；存在性命題“”的否定“，”.解題時就是把命題p中的全稱量詞改成存在性量詞，存在性量詞改成全稱量詞，并把量詞的作用范圍進行否定.

例6.寫出下列命題的否定：（1），x2+x+1≤0；（2）有些三角形是直角三角形；（3）不存在實數x，x2+1<2x；（4）對任意的x∈A，都有f（x）>2；（5）正數的絕對值是它本身；（6）可以被5整除的整數，末位是0.

解：（1）命題的否定為：不存在x∈R，使x2+x+1≤0，即：，x2+x+1>0；

（2） 命題的否定為：沒有一個三角形是直角三角形，即所有三角形都不是直角三角形（在這里，不是用“不”否定“是”，而是用“無”否定“有些是”）；（3）命題的否定為：并非“不存在實數x，x2+1<2x”，即存在實數x，x2+1<2x；（4）命題的否定為：總在x∈A，使得f（x）≤2或f（x）無意義（抽象函數需要考慮函數的定義范圍）；（5）命題的否定為：有的正數的絕對值不是它本身； （6）命題的否定為：存在可以被5整除的整數，其末位不是0.

評注：（1）解題中遇到省略量詞的命題時，應先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的命題的完整形式，再依據規則來寫出命題的否定形式；（2）含量詞的命題的否定形式的關鍵仍然是關鍵詞語的否定.另外，命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者的真值必然相反（即要么一真一假，要么一假一真）；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假.

總之，認真理解和分析一個命題的結構，挖掘命題中隱含的所有信息，是解決命題類問題的基礎.

參考文獻：

[1]李亞麗：“否命題”與“命題的否定”辨析，求實篇·基本概念點精，2006年第9期

[2]李建軍：淺談命題的否定與否命題的聯系與區別，求實篇·基本概念點精，2010年第10期